2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊(cè) 第五章　§2　實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型 課件（46張）

激趣誘思假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案回報(bào)如下:方案一:每天回報(bào)40元;方案二:第一天回報(bào)10元,以后每天比前一天多回報(bào)10元;方案三:第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.(1)請(qǐng)你分析比較三種方案每天回報(bào)的增長(zhǎng)情況,各方案每天回報(bào)的變化情況可用什么函數(shù)模型來(lái)反映?(2)你會(huì)選擇哪種投資方案?知識(shí)點(diǎn)撥一、實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)1.在現(xiàn)實(shí)世界中,事物之間存在著廣泛的聯(lián)系,當(dāng)面對(duì)的實(shí)際問(wèn)題中存在幾個(gè)變量,并且它們之間具有依賴(lài)關(guān)系時(shí),我們往往用函數(shù)對(duì)其進(jìn)行刻畫(huà).函數(shù)刻畫(huà)的方法可以使用圖象,但常見(jiàn)的還是使用解析式.2.函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一.許多實(shí)際問(wèn)題一旦被認(rèn)定是函數(shù)關(guān)系,就可以通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì),使問(wèn)題得到解決.通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律,往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),觀察這些點(diǎn)的整體特征,看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象,選定函數(shù)形式后,將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式,求出具體的函數(shù)解析式,再做必要的檢驗(yàn),基本符合實(shí)際,就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律,這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合.在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中,很多規(guī)律、定律都是先通過(guò)實(shí)驗(yàn),得到數(shù)據(jù),再通過(guò)數(shù)據(jù)擬合得到的.微練習(xí)某地為了改善生態(tài)環(huán)境,政府決定綠化荒山,計(jì)劃第一年先植樹(shù)0.5萬(wàn)公頃,以后每年比上年增加1萬(wàn)公頃,每年植樹(shù)的公頃數(shù)y(單位:萬(wàn)公頃)是時(shí)間x(單位:年)的函數(shù),這個(gè)函數(shù)的圖象是下圖中的(

)解析由題意知該一次函數(shù)的圖象必過(guò)(1,0.5)和(2,1.5)兩點(diǎn),故排除B,C,D.答案A二、數(shù)學(xué)建模1.定義:用數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程叫作數(shù)學(xué)建模.2.過(guò)程:如下圖所示.名師點(diǎn)析

常見(jiàn)的函數(shù)模型及其特點(diǎn):(1)一次函數(shù)模型:y=kx+b(k≠0),其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線式上升(k>0)或下降(k<0),其特例是y=kx(k≠0).(2)一元二次函數(shù)模型:y=ax2+bx+c(a≠0),其增長(zhǎng)特點(diǎn)是函數(shù)值先減小后增大(a>0)或先增大后減小(a<0).(3)反比例函數(shù)模型:y=

(k≠0)型,其增長(zhǎng)特點(diǎn)是當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小(k>0)或y隨x的增大而增大(k<0).(4)指數(shù)型函數(shù)模型:y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快(底數(shù)b>1,a>0),常形象地稱(chēng)為指數(shù)爆炸.(5)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢(底數(shù)a>1,m>0).(6)冪函數(shù)模型:y=a·xn+b(a≠0),其增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).微練習(xí)某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,獲得了如下一組數(shù)據(jù):x-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02則x,y的函數(shù)關(guān)系最符合(其中a,b為待定系數(shù))函數(shù)(

)A.y=a+bx

B.y=bxC.y=ax2+b

解析畫(huà)出散點(diǎn)圖(如圖所示):由散點(diǎn)圖可知,此函數(shù)圖象不是直線,排除A;此函數(shù)圖象是上升的,是增函數(shù),排除C,D,故選B.答案B課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一建立一元二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題例1設(shè)某市現(xiàn)有從事第二產(chǎn)業(yè)人員100萬(wàn)人,平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值a萬(wàn)元(a為正常數(shù)),現(xiàn)在決定從中分流x萬(wàn)人去加強(qiáng)第三產(chǎn)業(yè),分流后,繼續(xù)從事第二產(chǎn)業(yè)的人員平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值可增加2x%(0<x<100).而分流出的從事第三產(chǎn)業(yè)的人員平均每人每年可創(chuàng)造產(chǎn)值1.2a萬(wàn)元.(1)若要保證第二產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值不減少,求x的取值范圍;(2)在(1)的條件下,問(wèn)應(yīng)分流出多少萬(wàn)人,才能使該市第二、第三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加最多?分析求解(1)時(shí)應(yīng)明確第二產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值不減少的條件是分流之后剩余人員創(chuàng)造的產(chǎn)值應(yīng)不小于沒(méi)有分流時(shí)創(chuàng)造的產(chǎn)值100a.求解(2)時(shí)應(yīng)根據(jù)題意求出分流后第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加量f(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求其最值.∴0<x≤50,x∈N+.因此當(dāng)0<x≤50,x∈N+時(shí),能保證第二產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值不減少.(2)設(shè)該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)萬(wàn)元,則

∵x∈(0,50]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=50時(shí),f(x)max=60a.即應(yīng)分流出50萬(wàn)人,才能使該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加最多.要點(diǎn)筆記

求解本題時(shí),應(yīng)注意以下兩點(diǎn):一是x∈N+,二是第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加量為剩余人員創(chuàng)造的產(chǎn)值與分流人員創(chuàng)造產(chǎn)值的和減去沒(méi)有人員分流時(shí)創(chuàng)造的產(chǎn)值.變式訓(xùn)練

1有A,B兩城相距100km,在A,B兩城之間距A城xkm的D地建一核電站給這兩城供電.為保證城市安全,核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月,B城供電量為10億度/月.(1)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù),并求其定義域;(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)時(shí),才能使供電費(fèi)用最小?探究二建立指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題例2某種商品進(jìn)價(jià)為每個(gè)80元,零售價(jià)為每個(gè)100元,為了促銷(xiāo),決定用買(mǎi)一個(gè)這種商品,贈(zèng)送一個(gè)小禮品的辦法.實(shí)踐表明:禮品價(jià)值為1元時(shí),銷(xiāo)售量增加10%,且在一定范圍內(nèi),禮品價(jià)值為(n+1)元時(shí)比禮品價(jià)值為n元(n∈N+)時(shí)的銷(xiāo)售量增加10%.(1)寫(xiě)出禮品價(jià)值為n元時(shí),利潤(rùn)yn(單位:元)與n的函數(shù)關(guān)系式;(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)禮品的價(jià)值,以便商店獲得最大利潤(rùn).分析(1)根據(jù)題意易得;(2)需借助函數(shù)的單調(diào)性,使得n取某個(gè)值時(shí),其前面和后面的取值都比它小即可,即解(1)設(shè)沒(méi)有禮品時(shí)銷(xiāo)售量為m,則當(dāng)禮品價(jià)值為n元時(shí),銷(xiāo)售量為m(1+10%)n,利潤(rùn)yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0<n<20,n∈N+).(2)令yn+1-yn≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9.∴y1<y2<y3<…<y9=y10.令yn+1-yn+2≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,解得n≥8.∴y9=y10>y11>y12>y13>…>y19,∴當(dāng)禮品價(jià)值為9元或10元時(shí),商店獲得最大利潤(rùn).反思感悟

1.指數(shù)型函數(shù)模型應(yīng)用非常廣泛,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利息、細(xì)胞分裂等問(wèn)題都可以建立指數(shù)型函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題,建立函數(shù)解析式時(shí)要善于通過(guò)列舉、歸納等方法尋求變量之間的關(guān)系,探尋內(nèi)在的規(guī)律.2.對(duì)于本題通過(guò)作差探討出函數(shù)的單調(diào)情況是解題的關(guān)鍵所在.變式訓(xùn)練

2大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上2000m,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速可以表示為函數(shù),單位是m/s,其中x表示鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù).(1)當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是8100個(gè)單位時(shí),它的游速是多少?(2)計(jì)算一條鮭魚(yú)靜止時(shí)耗氧量的單位數(shù).(3)若鮭魚(yú)A的游速大于鮭魚(yú)B的游速,問(wèn)這兩條鮭魚(yú)誰(shuí)的耗氧量較大?并說(shuō)明理由.即log3xA>log3xB,則xA>xB,所以鮭魚(yú)A的耗氧量較大.探究三建立分段函數(shù)模型例3WAP手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500min以下(包括500min),按30元計(jì)費(fèi);超過(guò)500min的部分按0.15元/min計(jì)費(fèi).假如上網(wǎng)時(shí)間過(guò)短(小于60min)使用量在1min以下不計(jì)費(fèi),在1min以上(包括1min)按0.5元/min計(jì)費(fèi).WAP手機(jī)上網(wǎng)不收通話費(fèi)和漫游費(fèi).(1)寫(xiě)出上網(wǎng)時(shí)間x(單位:min)與所付費(fèi)用y(單位:元)之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)12月份小王WAP上網(wǎng)使用量為20h,要付多少錢(qián)?(3)小王10月份付了90元的WAP上網(wǎng)費(fèi),那么他上網(wǎng)的時(shí)間是多少?分析由于上網(wǎng)時(shí)間不同,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同,因此對(duì)所付費(fèi)用作分段討論,以確定付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),建立函數(shù)關(guān)系式,解決付費(fèi)與上網(wǎng)時(shí)間的問(wèn)題.解(1)由已知條件所付費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

(2)當(dāng)x=20×60=1

200(min)時(shí),x>500,應(yīng)付y=30+0.15×(1

200-500)=135(元).(3)90元已超過(guò)30元,所以上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)500

min,由30+0.15(x-500)=90,解得x=900,所以10月份的上網(wǎng)時(shí)間為900

min.反思感悟

1.在刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題中,變量之間的關(guān)系因自變量x取值范圍的不同,對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不能用同一個(gè)解析式表示時(shí),常用分段函數(shù)建立函數(shù)模型解決問(wèn)題.2.分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)有著不同對(duì)應(yīng)法則的函數(shù).求解分段函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意分段函數(shù)的最大值是各段函數(shù)最大值中最大的一個(gè),分段函數(shù)的最小值是各段函數(shù)最小值中最小的一個(gè).變式訓(xùn)練

3為支持福利事業(yè),解決殘疾人就業(yè)問(wèn)題,銀行決定給某福利企業(yè)免息貸款46.8萬(wàn)元,用于經(jīng)營(yíng)某種商品.已知該種商品的進(jìn)價(jià)為每件40元,每月銷(xiāo)售量q(單位:百件)與銷(xiāo)售價(jià)格p(單位:元/件)之間滿足關(guān)系式:該企業(yè)職工每人每月工資為1200元,其他經(jīng)營(yíng)性費(fèi)用為每月13200元.(1)如果暫時(shí)不考慮還貸的前提下,當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格p為52元/件時(shí),每月剛好收支平衡,求該企業(yè)的職工人數(shù);(2)若該企業(yè)只有20名職工,在保證職工工資及其他經(jīng)營(yíng)性支出外,剩余的利潤(rùn)都用來(lái)償還貸款,試問(wèn)最早幾年后還清貸款?解(1)設(shè)該企業(yè)職工人數(shù)為t,依題意p=52時(shí),q=36時(shí),則(52-40)×36×100=1

200t+13

200,∴t=25.即該企業(yè)有25名職工.(2)設(shè)每個(gè)月的利潤(rùn)為f(p),則f(p)=∵當(dāng)p=55時(shí),[(-2p+140)(p-40)]max=450,當(dāng)p=61時(shí),[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴p=55時(shí),能更早還清貸款,∴當(dāng)定價(jià)為55元時(shí),最早5年后能還清貸款.探究四擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題例4某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開(kāi)始六個(gè)月試銷(xiāo)售A,B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤(rùn)列成下表:投資A種商品金額/萬(wàn)元123456獲純利潤(rùn)/萬(wàn)元0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額/萬(wàn)元123456獲純利潤(rùn)/萬(wàn)元0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備第七個(gè)月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種產(chǎn)品,但不知投入A,B兩種商品各多少萬(wàn)元才合算.請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案,使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn),并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者下月可獲得的最大純利潤(rùn).解以投資額x為橫坐標(biāo),純利潤(rùn)y為縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖,如圖①②所示.觀察散點(diǎn)圖可以看出,A種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬,如圖①所示.取(4,2)為最高點(diǎn),則y=a(x-4)2+2(a≠0),再把點(diǎn)(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的,可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬,如圖②所示.設(shè)y=kx+b(k≠0),取點(diǎn)(1,0.25)和(4,1)代入,即前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=0.25x.設(shè)第七個(gè)月投入A,B兩種商品的資金分別為x,12-x(單位:萬(wàn)元),則0<x<12.設(shè)總純利潤(rùn)為W(單位:萬(wàn)元),那么W=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x)=-0.15x2+0.95x+2.6.即該經(jīng)營(yíng)者下月用3.2萬(wàn)元投資A種商品,8.8萬(wàn)元投資B種商品,可獲得最大純利潤(rùn)約為4.1萬(wàn)元.反思感悟

解決擬合函數(shù)模型問(wèn)題一般有以下步驟:(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出兩個(gè)變量之間的散點(diǎn)圖.(2)通過(guò)散點(diǎn)圖,畫(huà)出“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線.如果所有實(shí)際點(diǎn)都落到了擬合直線或曲線上,“點(diǎn)滴”不漏,那么這將是一件十分完美的事情,但在實(shí)際應(yīng)用中,這種情況一般不會(huì)發(fā)生.因此,使實(shí)際點(diǎn)盡可能均勻分布在直線或曲線兩側(cè),使兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)大體相等,得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了.(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí),結(jié)合已知數(shù)據(jù),求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式.(4)利用函數(shù)解析式,根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和檢驗(yàn),為決策和管理提供依據(jù).變式訓(xùn)練

4為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響,在山上建立了一個(gè)觀察站,測(cè)量最大積雪深度x(單位:cm)與當(dāng)年灌溉面積y(單位:hm2).現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料,如下表所示:年序最大積雪深度x/cm灌溉面積y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描出灌溉面積y隨積雪深度x變化的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y);(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x),并作出其圖象;(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型,若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉的土地面積是多少?解(1)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布如圖①所示.(2)從圖①中可以看到,數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近,由此,我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型y=a+bx(a,b為常數(shù),b≠0).取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1),(24.0,45.8),用計(jì)算器可算得a≈2.4,b≈1.8.這樣,我們得到一個(gè)函數(shù)模型y=2.4+1.8x.作出函數(shù)圖象如圖②,可以發(fā)現(xiàn),這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說(shuō)明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.(3)由(2)得當(dāng)x=25時(shí),y=2.4+1.8×25=47.4,即當(dāng)最大積雪深度為25

cm時(shí),可以灌溉土地47.4

hm2.素養(yǎng)形成圖表型應(yīng)用問(wèn)題典例

客車(chē)從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)乙地,在乙地停留了半小時(shí),然后以80km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)丙地.下列描述客車(chē)從甲地出發(fā),經(jīng)過(guò)乙地,最后到達(dá)丙地所經(jīng)過(guò)的路程s(單位:km)與時(shí)間t(單位:h)之間關(guān)系的圖象中,正確的是(

)分析本題有兩種求解方法:一是依據(jù)各時(shí)間段內(nèi)路程的變化情況,逐一排除;二是由實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)解析式,再確定圖象.解析(方法一)根據(jù)已知條件知,在第1個(gè)小時(shí)內(nèi)四個(gè)選項(xiàng)中的圖象都正確;之后的半小時(shí),選項(xiàng)B中的圖象不正確,因?yàn)樵搱D中此段時(shí)間內(nèi)路程為0,與事實(shí)不符;最后1個(gè)小時(shí),選項(xiàng)A中的圖象錯(cuò)在時(shí)間和路程上,選項(xiàng)D中的圖象錯(cuò)在時(shí)間上.選項(xiàng)C中的圖象正確.(方法二)由題意可知客車(chē)在整個(gè)過(guò)程中的路程s與時(shí)間t之間的關(guān)系為答案C反思感悟

解圖表型應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟以圖表信息為背景的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考中一道亮麗的風(fēng)景線,這類(lèi)問(wèn)題由圖表給出數(shù)據(jù)信息,探求變量之間的關(guān)系,再綜合應(yīng)用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)加以分析,從而解決實(shí)際問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖表,捕捉有效信息;(2)對(duì)已有信息進(jìn)行加工,分清變量之間的關(guān)系;(3)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,通過(guò)建模加以解決;(4)進(jìn)行檢驗(yàn),去偽存真,找出符合實(shí)際情形的答案.變式訓(xùn)練

某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià).該地區(qū)的電網(wǎng)銷(xiāo)售電價(jià)表如下:高峰時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量/(千瓦·時(shí))高峰電價(jià)/(元/(千瓦·時(shí)))50及以下的部分0.56850至200的部分0.598超過(guò)200的部分0.668低谷時(shí)間段用電價(jià)格表低谷月用電量/(千瓦·