高等數(shù)學(xué) 殷錫鳴4.3 平面曲線的曲率(1-16)_第1頁
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文檔簡介

§4.3

平面曲線的曲率問題:

如何定量化的刻畫曲線的彎曲程度及其計(jì)算10曲率的概念BAA

B

BA（1）（3）可以看出：(2)AB（a）對于等長的弧段，轉(zhuǎn)角大，則彎曲程度也大問題在于:

S>S,即兩弧段不等長,稱為

AB的平均曲率稱為曲線在A點(diǎn)的曲率（2）的弧段AB的彎曲程度>(1)的弧段AB的彎曲程度（b）弧AB與AB的轉(zhuǎn)角相等，但AB的彎曲程度>AB的彎曲程度所以刻畫一段弧的彎曲程度應(yīng)考慮它的平均彎曲程度才是合理的絕對值稱為曲線在A點(diǎn)的曲率即當(dāng)B沿弧段趨于A點(diǎn)時(shí)，平均曲率的極限的下面考慮如何計(jì)算曲率K解

由于

=曲率

求半徑為R的圓的平均曲率與曲率例設(shè)則ABR每一點(diǎn)都相等）并且與半徑R呈倒數(shù)關(guān)系

即圓在任一點(diǎn)處的曲率都是相等的（即彎曲程度一般地，設(shè)平面曲線為并假定

x(t)

,y(t)

在

,

上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)

在曲線L上，取一定點(diǎn)P，并選取曲線的一方向作為曲線的正向?qū)τ谇€上的一點(diǎn)A,若PA與曲線的正向一致，反之取負(fù)值-

PA.弧的概念：而且是t的單調(diào)函數(shù)于是s=s(t),t則s取正值

PA，xy即若曲線的正向與t

上升描繪圖形的方向一致時(shí),s(t)單調(diào)增加,反之s(t)單調(diào)減少至此我們有下對應(yīng)關(guān)系:xy

則AB=s設(shè)

s

對應(yīng)于點(diǎn)A,s+

s

對應(yīng)于B,

我們把切線上向著弧s增加的方向叫做切線的正方向

(正切向)

記切線

A與

x

軸正向的夾角為

(s),切線

B與x

軸正向的夾角為

(s+s)即曲率由于下面考慮計(jì)算弧微分ds設(shè)t

A(x,y),t+tB(x

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