矩陣理論及應(yīng)用-jordan標準型

第六節(jié)矩陣的Jordan標準形一、—矩陣及其Smith標準形1、—矩陣以數(shù)域上的變量的多項式為元素的矩陣

其中，是數(shù)域上的變量的多項式。例如：矩陣的特征矩陣就是一個—矩陣。9/12/20231電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形—矩陣的秩:

不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為—矩陣的秩，記為例：—矩陣的逆:

若兩個階的—矩陣和滿足則稱為可逆矩陣（或為單模矩陣），并稱是的逆矩陣

記為定理1.6.1

—矩陣可逆的充要條件是是數(shù)域中的非零常數(shù)。9/12/20232電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形2、—矩陣的初等變換三種初等變換為：（1）兩行（或列）互換位置；（2）某行（或列）乘以不等于零的數(shù)；（3）某行（或列）乘以的多項式加到另一行（或列）。三種初等變換對應(yīng)三個不同的初等矩陣

（由單位矩陣作相應(yīng)的初等變換即可得其對應(yīng)的初等矩陣）初等矩陣都是可逆矩陣當對—矩陣進行行變換時，相當于左乘相應(yīng)的初等矩陣；當對—矩陣進行列變換時，相當于右乘相應(yīng)的初等矩陣，且施行初等變換不改變—矩陣的秩。9/12/20233電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形定義1.6.4

（等價變換）若—矩陣經(jīng)有限次初等變換化為—矩陣，則稱與等價，記為?！仃嚨牡葍r關(guān)系與數(shù)字矩陣一樣，滿足自反性、對稱性和傳遞性。3、—矩陣的標準形定理1.6.2

任一非零的—矩陣都等價于一個如下形式的標準對角形—矩陣

其中是的秩，是的首一多項式，且，將稱為的Smith標準形。9/12/20234電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形例1.6.1求的Smith標準形。解：9/12/20235電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形例1.6.2已知矩陣，求特征矩陣的Smith標準形。解：9/12/20236電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形可以證明，在—矩陣的標準形中，對角線上的非零元素不隨矩陣初等變換而改變，稱為的不變因子。4、—矩陣的行列式因子定義1.6.4

設(shè)—矩陣的秩為，對正整數(shù)中，必有非零的階子式，稱中所有的階子式的首一最大公因式為的階行列式因子，記為。（行列式因子）9/12/20237電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形。由定義可知，一個階—矩陣的階行列式因子能整除任一個階子式，而由行列式的展開可知一個階行列式可表示為個階子式的代數(shù)和，從而能整除任一個階子式，因此，能整除，即定理1.6.3等價矩陣具有相同的秩與相同的各階行列式因子。由上述定理可以得到：可以通過求的各階行列式因子把化為Smith標準形。9/12/20238電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形例1.6.3已知矩陣，求其特征矩陣的Smith標準形。解：的特征矩陣為9/12/20239電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形于是有9/12/202310電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形5、—矩陣的初等因子將—矩陣的不變因子分解成各因式的乘積形式，即其中互異，且由不變因子的整除性，有所有指數(shù)大于零的因子都稱為的初等因子；全部初等因子稱為的初等因子組；其中稱為與相當?shù)某醯纫蜃咏M。9/12/202311電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形例1.6.4已知矩陣，求其特征矩陣的不變因子、初等因子及Smith標準形。解：于是不變因子為初等因子組為Smith標準形為9/12/202312電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形由初等因子求不變因子的情況，主要應(yīng)用于對角矩陣或分塊對角矩陣的不變因子或Smith標準形的計算。設(shè)有分塊對角—矩陣定理1.6.4則的初等因子組的全體就是的初等因子組。

如：—矩陣其初等因子組為不變因子為Smith標準形為9/12/202313電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形定理1.6.5與均為的—矩陣：（1）的充要條件是存在可逆的與使得（2）的充要條件是與具有相同的不變因子。（3）的充要條件是與具有相同的Smith標準形。

（4）的充要條件是與有相同的各級行列式因子。

（5）的充要條件是與有相同的秩和初等因子組。

9/12/202314電子信息工程學院第六節(jié)矩陣的Jordan標準形二、矩陣的Jordan標準形1、Jordan形矩陣和Jordan塊定理1.6.6

設(shè)是復數(shù)域上的線性空間的線性變換，任意取的一個基，在該基下的矩陣為,（或）的特征多項式可分解因式為，,則可分解為不變子空間的直和，其中是線性變換的核子空間。如果給每個子空間選擇一個適當?shù)幕?，每個子空間的