立體幾何中的向量方法完整版

3.2立體幾何中的向量方法法向量思考：

如何確定一個點、一條直線、一個平面在空間的位置？OP一、點的確定：AB二、直線的確定：直線l的方向向量O三、平面的確定：A平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.

給定一點A和一個向量,那么過點A,以向量為法向量的平面是完全確定的.l平面的法向量：注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;l求法向量的步驟：11研究

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.你能用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角嗎？你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小嗎？思考2：平行與垂直lmllml四、平行關(guān)系：五、垂直關(guān)系：鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行鞏固性訓(xùn)練21.設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系.垂直平行相交鞏固性訓(xùn)練31、設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，則m=

.例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB平面EFDABCDPEF空間角1.異面直線所成角lmlm若兩直線所成的角為,

則復(fù)習(xí)引入2.線面角l設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，且直線與平面所成的角為(),則a注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角L

將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角。如圖，向量，則二面角的大小＝〈〉

3、二面角若二面角的大小為,

則②法向量法2、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是______.3、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為______.基礎(chǔ)訓(xùn)練:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個法向量是______.6001350【典例剖析】

N解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)