雙曲線函數(shù)的圖像與性質(zhì)及應(yīng)用6455

一個(gè)十分重要得函數(shù)得圖象與性質(zhì)應(yīng)用新課標(biāo)高一數(shù)學(xué)在“基本不等式”一節(jié)課中已經(jīng)隱含了函數(shù)得圖象、性質(zhì)與重要得應(yīng)用,就是高考要求范圍內(nèi)得一個(gè)重要得基礎(chǔ)知識(shí)．那么在高三第一輪復(fù)習(xí)課中，對(duì)于重點(diǎn)中學(xué)或基礎(chǔ)比較好一點(diǎn)學(xué)校得同學(xué)而言,我們務(wù)必要系統(tǒng)介紹學(xué)習(xí)（ab≠０）得圖象、性質(zhì)與應(yīng)用。２．1定理:函數(shù)（ab≠0）表示得圖象就是以y=ａx與x=0(y軸）得直線為漸近線得雙曲線。首先，我們根據(jù)漸近線得意義可以理解：aｘ得值與得值比較,當(dāng)很大很大得時(shí)候，得值幾乎可以忽略不計(jì),起決定作用得就是ａｘ得值;當(dāng)?shù)弥岛苄『苄?幾乎為０得時(shí)候，ax得值幾乎可以忽略不計(jì)，起決定作用得就是得值．從而，函數(shù)(ab≠0)表示得圖象就是以ｙ=ａx與x=０（y軸）得直線為漸近線得曲線．另外我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)就是奇函數(shù),得它圖象應(yīng)該關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．由于函數(shù)形式比較抽象,系數(shù)都就是字母，因此要證明曲線就是雙曲線就是很麻煩得，我們通過一個(gè)例題來說明這一結(jié)論．例1.若函數(shù)就是雙曲線，求實(shí)半軸a，虛半軸b,半焦距c，漸近線及其焦點(diǎn),并驗(yàn)證雙曲線得定義。分析：畫圖，曲線如右所示;由此可知得它漸近線應(yīng)該就是與x＝0兩條直線;由此，兩條漸近線得夾角得平分線y=x就就是實(shí)軸了，得出頂點(diǎn)為A(,3），A1y（－,—3)；∴ａ=＝，由漸近線與實(shí)軸得夾角就是30o，則有＝ｔａn30o，得b=2，Aｃ==4,∴F1(2,）F(-2,-）。為了驗(yàn)證函數(shù)得圖２象就是雙曲線,在曲線上任意取一點(diǎn)P（x，)滿足即Ox可；x23xA123PFPF(x2)2(23)2(x2)2(23)23312xx2x232x23(23)(23)43例1圖33xx所以，函數(shù)表示得曲線就是雙曲線．（在許多地方,老師把這個(gè)曲線形狀形象概括為“雙鉤曲線”,其實(shí)很不準(zhǔn)確得．）2。２五種表現(xiàn)形式表現(xiàn)1：函數(shù)（a＞0，ｂ〉0)得雙曲線大概圖象如下：漸近線含雙曲線部分得夾角就是銳角,在與上函數(shù)分別就是單調(diào)遞增得,在與上函數(shù)分別就是單調(diào)遞減得;在ｘ=處有極大值,在x=處有極小值；值域就是．yyA表現(xiàn)2：函數(shù)（a＜０,b〈０）得雙曲線大概圖象如下：Ay=axy=axOxxO漸近線含雙曲線部分得夾角就是銳角,在與上A1A1表現(xiàn)2圖表現(xiàn)1圖函數(shù)分別就是單調(diào)遞減得,在與上函數(shù)分別就是單調(diào)遞增得；在x＝處有極小值,在x=處有極大值；值域就是.表現(xiàn)3：函數(shù)(a＞０，b<0）得雙曲線大概圖y象如右：此時(shí),漸近線含雙曲線部分得夾角就是鈍角,∵〉0，所以,函數(shù)在與上函數(shù)分別就是單調(diào)遞增得R．表現(xiàn)4：函數(shù)（a<０，b>0）得雙曲線圖象如右：,∵〈0，,每一個(gè)單調(diào),每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上得值域都就是A1y=ax此時(shí)，漸近線含雙曲線部分得夾角就是鈍角yOx所以，函數(shù)在與上函數(shù)分別就是單調(diào)遞減得A區(qū)間上得值域就是R．特別，后面兩個(gè)函數(shù)得單調(diào)性很“單純”，在解題時(shí)候要引起重視,在高考中也多次應(yīng)用5：函數(shù)(x≠0)就是等軸雙曲線，以ｘy軸為漸近線,在兩個(gè)區(qū)間與上函數(shù)分別就是單調(diào)遞,注意總結(jié).A表現(xiàn)表現(xiàn)3圖Ox軸、A1y=ax減得．這個(gè)學(xué)生在初中就應(yīng)該掌握了得函數(shù)2、３應(yīng)用舉例與重點(diǎn)推廣這個(gè)函數(shù)最大有用處就就是它得單調(diào)性，因此往往表現(xiàn)4圖就是利用得它在某個(gè)區(qū)間上得單調(diào)性來求函數(shù)得值域，或比較大小,或求最值等。例2.已知x>ｙ〉0，xｙ=1，求得最小值及此時(shí)解:∵x＞y＞0,∴x—ｙ〉又xｙ=１，x、y得值0,∴=；解混合式得:所以當(dāng):時(shí)候,取得最小值為.例3。求y＝（x≥0)解：令ｘ+2=t則x=t—2代入得由x≥０得t≥2,而在上就是減函數(shù)得，所以ｙ≤—5，值域?yàn)槔?.已知(1)若a〉０，求得單調(diào)區(qū)間（２）若當(dāng)時(shí)，恒有<0，求實(shí)數(shù)a得取值范圍解:=當(dāng)〉０時(shí),得單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.（２)（ｉ）當(dāng)時(shí),顯然＜0成立,此時(shí)，（ｉｉ）當(dāng)時(shí),由<0,可得＜〈，令則＞0，∴在要求區(qū)間內(nèi)就是單調(diào)遞增,可知〈0，∴在要求區(qū)間內(nèi)就是單調(diào)遞減，可知此時(shí)得范圍就是(—1,3）綜合ｉ、ｉi得:得范圍就是(-１，３）從上面幾個(gè)例子可以瞧出，形如或(m≠0，ａ≠0）函數(shù)值域判別式來求，也可以用這個(gè)雙曲線函數(shù)得單調(diào)性來求,尤其對(duì)于自變量不就是而就是某個(gè)限制得范圍,更要利用這個(gè)函數(shù)得單調(diào)性來解決了．不但可以用二次方程得△自然得定義域，時(shí)候重點(diǎn)推廣:到此我們來瞧瞧函數(shù)(ad≠ｂc，ａ≠０)究竟就是什么樣得圖象與性質(zhì)呢？它可以通過變形化為,繼續(xù)化為,因此,函數(shù)(ad≠bｃ,a≠0)得圖象就是可以從得圖象通過得,從而（aｄ≠bc，a≠0）得圖象也就是等軸雙平移而來y曲線,漸近線就是，得兩條直線，在與兩個(gè)區(qū)間上都具有相同得單調(diào)性,〉0時(shí)都就是單調(diào)遞減，＜0時(shí)都就是單調(diào)遞增．這個(gè)函數(shù)與函數(shù)（a＞0，b〉0）要與一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)一樣，作為高三復(fù)習(xí)時(shí)候得基本函數(shù)，要熟練理解與應(yīng)用，.xO例4。已知正項(xiàng)數(shù)列滿足a=a（0〈a〈1）1且ａ≤,n+1求證分析：本題有別得證法，這里就用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合上面函數(shù)得單調(diào)性思想來處理；a=a，符合求證結(jié)論ｉ）n＝1時(shí)1ｉi設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立則n=k+１時(shí)候，ak+1≤，而,因此,考慮函數(shù)f(x)＝＝１-在區(qū)間與區(qū)間都就是遞,（0，1)，所以f(x)＝在0,１)也就是遞增函數(shù)，從而，ａk+≤,所以n＝k+1增函