數(shù)學(xué)人教A版選修2-3課堂探究1.2排列與組合（第1課時(shí)）

課堂探究探究一簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題在“樹形圖”的操作中，先將元素按一定順序排出，然后以安排哪個(gè)元素為首位為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，再在余下的元素中確定第二位并按順序分類，依次一直進(jìn)行到完成一個(gè)排列．這樣就能不重不漏地依照“樹形圖”寫出所有的排列．【典型例題1】(1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成不同的兩位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？(2)寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列．思路分析：解答時(shí)按順序分步解決，然后利用樹形圖列出所有排列．解：(1)由題意作樹形圖，如下．故組成的所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12個(gè)．(2)由題意作樹形圖，如下．故所有的排列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.規(guī)律總結(jié)解決排列問(wèn)題的步驟：(1)分清問(wèn)題是否與元素的順序有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問(wèn)題；(2)注意排列對(duì)元素或位置有無(wú)特殊要求；(3)借助排列數(shù)公式計(jì)算．探究二排列數(shù)公式(1)排列數(shù)的第一個(gè)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)適用于具體計(jì)算以及解當(dāng)m較小時(shí)的含有排列數(shù)的方程和不等式；在運(yùn)用該公式時(shí)要注意它的特點(diǎn)．(2)排列數(shù)的第二個(gè)公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，應(yīng)注意先提取公因式，再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“m≤n且m∈N*，n∈N*”的運(yùn)用．【典型例題2】(1)計(jì)算2Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(4,4)；(2)計(jì)算eq\f(4A\o\al(4,8)＋2A\o\al(5,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))；(3)求3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)中的x.思路分析：(1)，(2)兩題直接運(yùn)用排列數(shù)的公式計(jì)算．(3)用排列數(shù)的公式展開得方程，然后求解．要注意x的取值范圍，并檢驗(yàn)根是否合理．解：(1)2Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72.(2)eq\f(4A\o\al(4,8)＋2A\o\al(5,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))＝eq\f(4A\o\al(4,8)＋2×4A\o\al(4,8),4×3×2A\o\al(4,8)－9A\o\al(4,8))＝eq\f(4＋8,24－9)＝eq\f(4,5).(3)原方程3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)可化為eq\f(3×8！,8－x！)＝eq\f(4×9！,10－x！)，即eq\f(3×8！,8－x！)＝eq\f(4×9×8！,10－x9－x8－x！)，化簡(jiǎn)，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－1≤9，))解得x≤8.所以原方程的解為x＝6.規(guī)律總結(jié)應(yīng)用排列數(shù)公式時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：(1)準(zhǔn)確展開：應(yīng)用排列數(shù)公式展開時(shí)要注意展開式的項(xiàng)數(shù)要準(zhǔn)確．(2)合理約分：若運(yùn)算式是分式形式，則要先約分后計(jì)算．(3)合理組合：運(yùn)算時(shí)要結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn)，應(yīng)用乘法的交換律、結(jié)合律，進(jìn)行數(shù)據(jù)的組合，可以提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性．探究三常見(jiàn)的排列問(wèn)題涉及有約束條件的排列問(wèn)題，首先考慮元素的排法或特殊位置上元素的選法，再考慮其他元素的位置(這種方法稱為特殊元素法或特殊位置法)；或者，先求出無(wú)約束條件的排列數(shù)，再減去不符合條件的排列數(shù)(也叫做間接法或排除法)，這是解排列題的基本策略．所謂“捆綁法”與“插空法”，實(shí)際上都是特殊元素(位置)特殊考慮的結(jié)果．要求相鄰的兩個(gè)元素是特殊元素，先把這兩個(gè)元素“捆綁”起來(lái)處理；要求不相鄰的元素也是特殊元素，一般考慮用“插空法”．【典型例題3】用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字，組成五位數(shù)：(1)可組成多少個(gè)五位數(shù)？(2)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(3)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？(4)若1和3相鄰，則可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(5)若1和3不相鄰，則可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(6)若1不在萬(wàn)位，2不在個(gè)位，則可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？思路分析：該題目中的特殊元素為0，它不能放在首位．(1)首位不為0，數(shù)字可以重復(fù)；(2)只需限制首位不為0；(3)限制末位是奇數(shù)，首位不是0；(4)把1,3看成整體進(jìn)行排列；(5)可間接求，也可直接求，用插空法；(6)可從特殊位置或元素入手分析．解：(1)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，由分步計(jì)數(shù)原理得，共可組成4×5×5×5×5＝2500個(gè)五位數(shù)．(2)方法一：(優(yōu)先考慮特殊位置)先排萬(wàn)位，從1,2,3,4中任取一個(gè)有Aeq\o\al(1,4)種方法，其余四個(gè)位置排四個(gè)數(shù)字共有Aeq\o\al(4,4)種方法，所以組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝96(個(gè))．方法二：(優(yōu)先考慮特殊元素)先排0，除首位之外的其他四個(gè)數(shù)位均可，有Aeq\o\al(1,4)種方法，其余四個(gè)數(shù)字全排，有Aeq\o\al(4,4)種方法．故組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝96(個(gè))．(3)(優(yōu)先考慮特殊位置)先排個(gè)位，1和3均可，有Aeq\o\al(1,2)種方法．然后從剩下的3個(gè)非0數(shù)中選一個(gè)排在萬(wàn)位，有Aeq\o\al(1,3)種方法，最后將剩下的3個(gè)數(shù)排在其他三個(gè)數(shù)位上，有Aeq\o\al(3,3)種方法．故組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36(個(gè))．(4)(捆綁法)若1和3相鄰，則把1和3“捆綁”，看成一個(gè)整體與0,2,4進(jìn)行排列．則共可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36(個(gè))．(5)方法一：(間接法)由(2)，(4)兩問(wèn)可得，1和3不相鄰時(shí)，共可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有96－36＝60(個(gè))．方法二：(插空法)先將0,2,4排好，再將1和3分別插入產(chǎn)生的4個(gè)空當(dāng)中有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72種排法，而當(dāng)0在萬(wàn)位時(shí)，1,3分別插入2,4產(chǎn)生的3個(gè)空當(dāng)中有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12種排法．所以1和3不相鄰的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有72－12＝60(個(gè))．(6)方法一：(間接法)無(wú)重復(fù)數(shù)字的所有五位數(shù)有96個(gè)，當(dāng)1在萬(wàn)位時(shí)，有Aeq\o\al(4,4)種排法，當(dāng)2在個(gè)位時(shí)，0又不能在萬(wàn)位，先把0排在中間三個(gè)位上，再排其余的3個(gè)數(shù)，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種排法，但這兩種排法中都包括1在萬(wàn)位，2在個(gè)位的排法，這種排法有Aeq\o\al(3,3)種，所以符合條件的五位數(shù)共有96－Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝60(個(gè))．方法二：(優(yōu)先考慮特殊元素或位置)①1排在個(gè)位時(shí)，0不能在萬(wàn)位，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18種排法．②1不在個(gè)位且不在萬(wàn)位時(shí)，先排1，有Aeq\o\al(1,3)種方法，再排剩下的數(shù)分兩類．一類是當(dāng)2在萬(wàn)位時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)種方法，另一類是2不在萬(wàn)位，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種排法，所以1不在個(gè)位且不在萬(wàn)位時(shí)，有Aeq\o\al(1,3)(Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2))＝42種排法，所以1不在萬(wàn)位，2不在個(gè)位時(shí)，共可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)18＋42＝60(個(gè))．規(guī)律總結(jié)(1)排列問(wèn)題的限制條件一般包括某些元素不能在某個(gè)位置，某個(gè)位置只能放某些元素等．要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素．當(dāng)用直接法比較麻煩時(shí)，可以先不考慮限制條件，把所有的排列數(shù)算出，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱為“去雜法”，但必須注意要不重復(fù)，不遺漏．(2)對(duì)于某些特殊問(wèn)題，可采取相對(duì)固定的特殊方法，如相鄰問(wèn)題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個(gè)整體與其他元素排列，再進(jìn)行內(nèi)部排列；不相鄰問(wèn)題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中．(3)對(duì)于定序問(wèn)題，可采用“除階乘法”解決．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)重復(fù)排列【典型例題4】6個(gè)人站成前后三排，每排2人，有多少種不同的排法？錯(cuò)解一：分步完成，先安排第一排的2人，有Aeq\o\al(2,6)種排法；再安排中間一排的2人，有Aeq\o\al(2,4)種排法；余下的2人排在最后一排．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(2,4)＝360種不同排法．錯(cuò)解二：分步完成，先安排第一排的2人，有Aeq\o\al(2,6)種排法；再安排中間一排的2人，有Aeq\o\al(2,4)種排法；最后安排余下的2人，有Aeq\o\al(2,2)種排法．因?yàn)榕旁诘谝慌?，中間一排和最后一排不同，所以三排再排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有Aeq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝4320種不同排