數(shù)學(xué)蘇教版必修3名師導(dǎo)航2.4線(xiàn)性回歸方程

6.4線(xiàn)性回歸方程名師導(dǎo)航三點(diǎn)剖析一、變量之間的關(guān)系在實(shí)際問(wèn)題中，變量之間的關(guān)系有兩類(lèi):一類(lèi)是確定性關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示.例如，正方形的面積S與邊長(zhǎng)a之間就是確定性關(guān)系，可以用函數(shù)S=a2表示.、人的年齡和血壓之間的關(guān)系等，這些變量之間存在著密切的關(guān)系，但它不能由一個(gè)變量的數(shù)值精確地確定另一個(gè)變量的數(shù)值.像這種自變量取一定值時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性,這樣的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，我們稱(chēng)之為相關(guān)關(guān)系.從某種意義上講,函數(shù)關(guān)系可以看作是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系則是一種非常普遍的關(guān)系.研究和學(xué)習(xí)相關(guān)關(guān)系不僅可以使我們能夠處理更為廣泛的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以使我們對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度.在現(xiàn)實(shí)生活中,存在大量的相關(guān)關(guān)系，所以,尋找變量之間的相關(guān)關(guān)系很有必要.在此,統(tǒng)計(jì)在其中發(fā)揮著非常重要的作用.在相關(guān)關(guān)系中，變量的關(guān)系不是完全確定的，而是帶有不確定性.這就需要通過(guò)收集大量的數(shù)據(jù)(有時(shí)通過(guò)調(diào)查，有時(shí)通過(guò)試驗(yàn))，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，才能對(duì)它們之間的關(guān)系作出判斷.二、散點(diǎn)圖在考慮相關(guān)關(guān)系中的兩個(gè)量的關(guān)系時(shí)，為了對(duì)變量之間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解，我們通常將變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來(lái)，這些點(diǎn)就組成了具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的一組數(shù)據(jù)的圖形，通常稱(chēng)這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖.通過(guò)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)量的散點(diǎn)圖我們可以對(duì)這兩個(gè)變量間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解.例如:在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位:kg).施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455將表中的各對(duì)數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，即可得到該組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如圖612所示:圖612由圖可發(fā)現(xiàn)，圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近.三、最小二乘法、線(xiàn)性回歸方程1．最小二乘法由施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)所得到的散點(diǎn)圖可發(fā)現(xiàn)，圖中的各點(diǎn)，大致分布在一條直線(xiàn)y=a+bx的附近.故可用一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)近似表示施化肥量和水稻產(chǎn)量之間的關(guān)系.這種線(xiàn)性關(guān)系可以用多種方法來(lái)進(jìn)行刻畫(huà)，那么用什么樣的線(xiàn)性關(guān)系刻畫(huà)會(huì)更好一些呢？有一個(gè)非常直觀的想法，一個(gè)好的線(xiàn)性關(guān)系要保證這條直線(xiàn)與所有點(diǎn)都近.如果有n個(gè)點(diǎn):(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，可以用下面的表達(dá)式來(lái)刻畫(huà)這些點(diǎn)與直線(xiàn)y=a+bx的接近程度:［y1(a+bx1)］2+［y2(a+bx2)］2+…+［yn(a+bxn)］2．使得上式達(dá)到最小值的直線(xiàn)y=a+bx就是我們所要求的直線(xiàn)，這種方法稱(chēng)為最小二乘法.2．線(xiàn)性回歸方程通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如果所有的散點(diǎn)分布成或近似成一條直線(xiàn)，我們說(shuō)這兩個(gè)變量有線(xiàn)性關(guān)系(否則就說(shuō)兩個(gè)變量不具有線(xiàn)性關(guān)系)，然后運(yùn)用最小二乘法的思想，用一條直線(xiàn)來(lái)擬合兩個(gè)變量之間的關(guān)系:y=a+bx.要求所有點(diǎn)相對(duì)于該直線(xiàn)的偏差的平方和盡可能達(dá)到最小.我們把y=a+bx稱(chēng)作線(xiàn)性回歸方程，其中求線(xiàn)性回歸方程的一般步驟:(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)計(jì)算(2)代入(*)計(jì)算求a、b的值；(3)代入y=a+bx.一般情況下，求線(xiàn)性回歸方程可借助計(jì)算器和計(jì)算機(jī)來(lái)完成.問(wèn)題探究問(wèn)題1:在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):人體的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系年齡23273941454950脂肪年齡53545657586061脂肪根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？探究:觀察表中數(shù)據(jù)，大體上來(lái)看，隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也在增加.為了確定這一關(guān)系的細(xì)節(jié)，我們需要進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.我們假設(shè)人的年齡影響體內(nèi)脂肪含量，于是，按照習(xí)慣，以x軸表示年齡，以y軸表示脂肪含量，得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖(如圖613所示).圖613從散點(diǎn)圖我們可以看出，年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，圖中點(diǎn)的趨勢(shì)表明兩個(gè)變量之間確實(shí)存在一定的關(guān)系，這個(gè)圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論.經(jīng)計(jì)算可得到回歸直線(xiàn)的回歸方程為=0.577x0.448．問(wèn)題2:一般地，(x,y)的n組觀察數(shù)據(jù):xx1x2x3…xnyy1y2y3…yn的回歸直線(xiàn)的方程為y=a+bx，則直線(xiàn)y=a+bx恒過(guò)的定點(diǎn)是什么？探究:由線(xiàn)性回歸方程的推導(dǎo)，可知方程的系數(shù)a、b滿(mǎn)足條件:.由此不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)(，)的坐標(biāo)滿(mǎn)足直線(xiàn)y=a+bx的方程.所以,由點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系可得點(diǎn)(，)在直線(xiàn)y=a+bx上,即直線(xiàn)y=a+bx恒過(guò)點(diǎn)(，).這里=，=.精題精講例1．有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣(mài)部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣(mài)出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表:攝氏溫度/℃504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)的氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間的關(guān)系的一般規(guī)律；(3)求回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2℃，預(yù)測(cè)這天賣(mài)出的熱飲杯數(shù).思路解析根據(jù)所給數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線(xiàn)附近；如果散點(diǎn)在一條直線(xiàn)附近，用公式(*)求出a、b，寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程.答案:(1)散點(diǎn)圖如圖614所示:圖614(2)從圖中看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣(mài)出去的熱飲杯數(shù)越少.(3)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近，因此，可用公式(*)求出回歸方程的系數(shù).利用計(jì)算器容易求得回歸方程=2．352x+147．767．(4)當(dāng)x=2時(shí)，=143．063．因此，某天的氣溫為2℃時(shí)，這天大約可以賣(mài)出143杯熱飲.例2．為研究某市家庭年平均收入與年平均生活支出的關(guān)系，該市統(tǒng)計(jì)調(diào)查隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了10個(gè)家庭，得數(shù)據(jù)如下:i(家庭編號(hào))12345678910xi(收入)(千元)yi(支出)(千元)求回歸直線(xiàn)方程.思路解析利用公式(*)求出a、b，寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程.答案:列表.i12345678910xi22yixiyi1．501．952．603．40xi2yi2故可求得∴b=0.833，a=－0.013．∴回歸直線(xiàn)方程為y=0.833x－0.013．例3．隨機(jī)調(diào)查了某地區(qū)10個(gè)商店的建筑面積x(km2)與年銷(xiāo)售額y(百萬(wàn)元)的樣本如下:x(面積)6064092078y(銷(xiāo)售額)253051256(1)求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；(2)若線(xiàn)性關(guān)系存在，那么對(duì)于一個(gè)擁有10000m2思路解析利用公式(*)求出a、b，寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程.答案:(1)列表.i12345678910xi46064092078yi253051256xiyi14150012004524040xi2163600361600814004964yi2625900251442536∴=×169.6=16.96，=×99.3=9.93．∴=3174.9，=5968.4，=1822.79．∴∴y=0.48x+1.75．(2)當(dāng)x=10時(shí)，y