數(shù)學蘇教版必修3名師導航2.4線性回歸方程

6.4線性回歸方程名師導航三點剖析一、變量之間的關(guān)系在實際問題中，變量之間的關(guān)系有兩類:一類是確定性關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示.例如，正方形的面積S與邊長a之間就是確定性關(guān)系，可以用函數(shù)S=a2表示.、人的年齡和血壓之間的關(guān)系等，這些變量之間存在著密切的關(guān)系，但它不能由一個變量的數(shù)值精確地確定另一個變量的數(shù)值.像這種自變量取一定值時，因變量的取值帶有一定隨機性,這樣的兩個變量之間的關(guān)系，我們稱之為相關(guān)關(guān)系.從某種意義上講,函數(shù)關(guān)系可以看作是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系則是一種非常普遍的關(guān)系.研究和學習相關(guān)關(guān)系不僅可以使我們能夠處理更為廣泛的數(shù)學問題，還可以使我們對函數(shù)關(guān)系的認識上升到一個新的高度.在現(xiàn)實生活中,存在大量的相關(guān)關(guān)系，所以,尋找變量之間的相關(guān)關(guān)系很有必要.在此,統(tǒng)計在其中發(fā)揮著非常重要的作用.在相關(guān)關(guān)系中，變量的關(guān)系不是完全確定的，而是帶有不確定性.這就需要通過收集大量的數(shù)據(jù)(有時通過調(diào)查，有時通過試驗)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，才能對它們之間的關(guān)系作出判斷.二、散點圖在考慮相關(guān)關(guān)系中的兩個量的關(guān)系時，為了對變量之間的關(guān)系有一個大致的了解，我們通常將變量所對應的點描出來，這些點就組成了具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的一組數(shù)據(jù)的圖形，通常稱這種圖為變量之間的散點圖.通過具有相關(guān)關(guān)系的兩個量的散點圖我們可以對這兩個變量間的關(guān)系有一個大致的了解.例如:在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上進行施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位:kg).施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455將表中的各對數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點，即可得到該組數(shù)據(jù)的散點圖,如圖612所示:圖612由圖可發(fā)現(xiàn)，圖中的各點大致分布在一條直線的附近.三、最小二乘法、線性回歸方程1．最小二乘法由施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗所得到的散點圖可發(fā)現(xiàn)，圖中的各點，大致分布在一條直線y=a+bx的附近.故可用一個線性函數(shù)近似表示施化肥量和水稻產(chǎn)量之間的關(guān)系.這種線性關(guān)系可以用多種方法來進行刻畫，那么用什么樣的線性關(guān)系刻畫會更好一些呢？有一個非常直觀的想法，一個好的線性關(guān)系要保證這條直線與所有點都近.如果有n個點:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線y=a+bx的接近程度:［y1(a+bx1)］2+［y2(a+bx2)］2+…+［yn(a+bxn)］2．使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法.2．線性回歸方程通過收集現(xiàn)實生活中兩個有關(guān)聯(lián)的變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，如果所有的散點分布成或近似成一條直線，我們說這兩個變量有線性關(guān)系(否則就說兩個變量不具有線性關(guān)系)，然后運用最小二乘法的思想，用一條直線來擬合兩個變量之間的關(guān)系:y=a+bx.要求所有點相對于該直線的偏差的平方和盡可能達到最小.我們把y=a+bx稱作線性回歸方程，其中求線性回歸方程的一般步驟:(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)計算(2)代入(*)計算求a、b的值；(3)代入y=a+bx.一般情況下，求線性回歸方程可借助計算器和計算機來完成.問題探究問題1:在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):人體的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系年齡23273941454950脂肪年齡53545657586061脂肪根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？探究:觀察表中數(shù)據(jù)，大體上來看，隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也在增加.為了確定這一關(guān)系的細節(jié)，我們需要進行數(shù)據(jù)分析.我們假設人的年齡影響體內(nèi)脂肪含量，于是，按照習慣，以x軸表示年齡，以y軸表示脂肪含量，得到相應的散點圖(如圖613所示).圖613從散點圖我們可以看出，年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，圖中點的趨勢表明兩個變量之間確實存在一定的關(guān)系，這個圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論.經(jīng)計算可得到回歸直線的回歸方程為=0.577x0.448．問題2:一般地，(x,y)的n組觀察數(shù)據(jù):xx1x2x3…xnyy1y2y3…yn的回歸直線的方程為y=a+bx，則直線y=a+bx恒過的定點是什么？探究:由線性回歸方程的推導，可知方程的系數(shù)a、b滿足條件:.由此不難發(fā)現(xiàn)，點(，)的坐標滿足直線y=a+bx的方程.所以,由點與直線的位置關(guān)系可得點(，)在直線y=a+bx上,即直線y=a+bx恒過點(，).這里=，=.精題精講例1．有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表:攝氏溫度/℃504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點圖；(2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)的氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間的關(guān)系的一般規(guī)律；(3)求回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2℃，預測這天賣出的熱飲杯數(shù).思路解析根據(jù)所給數(shù)據(jù)，作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；如果散點在一條直線附近，用公式(*)求出a、b，寫出線性回歸方程.答案:(1)散點圖如圖614所示:圖614(2)從圖中看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少.(3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式(*)求出回歸方程的系數(shù).利用計算器容易求得回歸方程=2．352x+147．767．(4)當x=2時，=143．063．因此，某天的氣溫為2℃時，這天大約可以賣出143杯熱飲.例2．為研究某市家庭年平均收入與年平均生活支出的關(guān)系，該市統(tǒng)計調(diào)查隊隨機調(diào)查了10個家庭，得數(shù)據(jù)如下:i(家庭編號)12345678910xi(收入)(千元)yi(支出)(千元)求回歸直線方程.思路解析利用公式(*)求出a、b，寫出線性回歸方程.答案:列表.i12345678910xi22yixiyi1．501．952．603．40xi2yi2故可求得∴b=0.833，a=－0.013．∴回歸直線方程為y=0.833x－0.013．例3．隨機調(diào)查了某地區(qū)10個商店的建筑面積x(km2)與年銷售額y(百萬元)的樣本如下:x(面積)6064092078y(銷售額)253051256(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)若線性關(guān)系存在，那么對于一個擁有10000m2思路解析利用公式(*)求出a、b，寫出線性回歸方程.答案:(1)列表.i12345678910xi46064092078yi253051256xiyi14150012004524040xi2163600361600814004964yi2625900251442536∴=×169.6=16.96，=×99.3=9.93．∴=3174.9，=5968.4，=1822.79．∴∴y=0.48x+1.75．(2)當x=10時，y