2012年上海市閔行區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

2012年上海市閔行區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，請選擇正確選項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3=a6 B．（a+a）2=2a2 C． D．（a2）3=a62．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：a、b、c為任意實數(shù)，且a＞b，那么下列結(jié)論一定正確的是（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣c B．﹣a?c＜﹣b?c C．a(chǎn)?c＞b?c D．3．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）點P（﹣1，3）關(guān)于原點中心對稱的點的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（3，﹣1）4．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）如果一組數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的方差s2=0，那么下列結(jié)論一定正確的是（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù) B．a(chǎn)1=a2=…=anC．a(chǎn)1=a2=…=an=0 D．a(chǎn)1＜a2＜…＜an5．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，那么依次連接四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四邊形6．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）等邊三角形繞它的一個頂點旋轉(zhuǎn)90°后與原來的等邊三角形組成一個新的圖形，那么這個新的圖形（）A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D．既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）計算：?=．8．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x3﹣4x=．9．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）不等式x﹣1＞3（x+1）的解集是．10．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知x=1是一元二次方程ax2+bx+3=0的一個實數(shù)根，那么a+b=．11．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知函數(shù)，那么f（9）=．12．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（1，﹣5），且與直線y=﹣3x+2平行，那么該一次函數(shù)的解析式為．13．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）二次函數(shù)y=﹣2x2+3x的圖象在對稱軸的左側(cè)是．（填“上升”或“下降”）14．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）從1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)中，任意抽取一個數(shù)，那么抽得的數(shù)是素數(shù)的概率是．15．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）如圖，在△ABC中，=．16．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：在△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC，，DE=4，那么邊AC的長為．17．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，如果⊙O1、⊙O2的半徑分別為10厘米和17厘米，公共弦AB的長為16厘米，那么這兩圓的圓心距O1O2的長為厘米．18．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把其中一個面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把其中一個面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，如此進行下去，試?yán)脠D形所揭示的規(guī)律計算：=．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2012?閔行區(qū)二模）先化簡，再求值：，其中．20．（10分）（2012?閔行區(qū)二模）解方程組：．21．（10分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為點E，AE=16，sin∠B=．求：（1）BC的長；（2）求∠ADE的正切值．22．（10分）（2012?閔行區(qū)二模）某研究性學(xué)習(xí)小組，為了了解本校九年級學(xué)生一天中做家庭作業(yè)所用的大致時間（時間以整數(shù)記．單位：分鐘），對該年級學(xué)生做了抽樣調(diào)查，并把調(diào)查得到的所有數(shù)據(jù)（時間）進行整理，分成五個時間段，繪制成統(tǒng)計圖（如圖所示），請結(jié)合統(tǒng)計圖中提供的信息，回答下列問題：（1）這個研究性學(xué)習(xí)小組所抽取樣本的容量是多少？（2）在被調(diào)查的學(xué)生中，一天做家庭作業(yè)所用的大致時間超過150分鐘（不包括150分鐘）的人數(shù)占被調(diào)查學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分之幾？（3）如果該校九年級學(xué)生共有200名，那么估計該校九年級學(xué)生一天做家庭作業(yè)所用時間不超過120分鐘的學(xué)生約有多少人？23．（12分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F在邊BC上，DE∥AB，AF∥CD，且四邊形AEFD是平行四邊形．（1）試判斷線段AD與BC的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）現(xiàn)有三個論斷：①AD=AB；②∠B+∠C=90°；③∠B=2∠C．請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四邊形AEFD是菱形．24．（12分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的負(fù)半軸相交于點A，與y軸相交于點B（0，3），且∠OAB的余切值為．（1）求該拋物線的表達式，并寫出頂點D的坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線的對稱軸為直線l，點B關(guān)于直線l的對稱點為C，BC與直線l相交于點E．點P在直線l上，如果點D是△PBC的重心，求點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將（1）所求得的拋物線沿y軸向上或向下平移后頂點為點P，寫出平移后拋物線的表達式．點M在平移后的拋物線上，且△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，求點M的坐標(biāo)．25．（14分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：如圖，AB⊥BC，AD∥BC，AB=3，AD=2．點P在線段AB上，連接PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設(shè)線段AP的長為x．（1）當(dāng)AP=AD時，求線段PC的長；（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APD∽△DPC時，求線段BC的長．

2012年上海市閔行區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，請選擇正確選項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3=a6 B．（a+a）2=2a2 C． D．（a2）3=a6【考點】同底數(shù)冪的除法；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則對A進行判斷；根據(jù)冪的乘方與積的乘方對B、D進行判斷；根據(jù)同底數(shù)冪的除法和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義對C進行判斷．【解答】解：A、a2?a3=a5，所以A選項不正確；B、（a+a）2=（2a）2=4a2，所以B項不正確；C、a2÷a4=a﹣2=，所以C選項不正確；D、（a2）3=a6，所以D項正確．故選D．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法：am÷an=mm﹣n．也考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．2．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：a、b、c為任意實數(shù)，且a＞b，那么下列結(jié)論一定正確的是（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣c B．﹣a?c＜﹣b?c C．a(chǎn)?c＞b?c D．【考點】不等式的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)，不等號的方向不改變對A進行判斷；通過舉反例可對B、C、D進行判斷．【解答】解：A、若a＞b，則a﹣c＞b﹣c，故本選項正確；B、若a＞b，當(dāng)c=0時，﹣a?c＜﹣b?c不成立，故本選項錯誤；C、若a＞b，當(dāng)c=0時，a?c＞b?c不成立，故本選項錯誤；D、若a＞b，當(dāng)a=1，b=﹣1時，＜不成立，故本選項錯誤．故選A．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)，不等號的方向不改變；不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不改變；不等式兩邊乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變．3．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）點P（﹣1，3）關(guān)于原點中心對稱的點的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（3，﹣1）【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)．【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y）．【解答】解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得點P（﹣1，3）關(guān)于中心對稱的點的坐標(biāo)為（1，﹣3）．故選B．【點評】本題考查關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)的關(guān)系，是需要熟記的基本問題，記憶方法可以結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形．4．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）如果一組數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的方差s2=0，那么下列結(jié)論一定正確的是（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù) B．a(chǎn)1=a2=…=anC．a(chǎn)1=a2=…=an=0 D．a(chǎn)1＜a2＜…＜an【考點】方差．【分析】根據(jù)方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，一組數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的方差s2=0，即沒有波動，此時這組數(shù)據(jù)一定相等，進而排除其他答案．【解答】解：由于方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的，而這一組數(shù)據(jù)沒有波動，它的方差為0．則s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=0，此時每個數(shù)都和平均數(shù)相等，故a1=a2=…=an，故選：B．【點評】本題考查了方差公式應(yīng)用，熟練利用方差公式s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]得出是解題關(guān)鍵．5．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，那么依次連接四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四邊形【考點】三角形中位線定理；菱形的判定．【分析】利用三角形中位線定理可以推知四邊形EFGH是平行四邊形；然后由三角形中位線定理、已知條件“AC⊥BD”推知HE⊥HG；最后由矩形判定定理“有一內(nèi)角為直角是平行四邊形是矩形”可以證得?EFGH是矩形．【解答】解：如圖所示：AC⊥BD，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點；∵在△DAC中，根據(jù)三角形中位線定理知，HG∥AC且HG=AC；同理在△ABC中，EF∥AC且EF=AC，∴HG∥EF∥AC，且HG=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形；同理，HE∥DB；又∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，∴?EFGH是矩形；故選B．【點評】本題考查了三角形中位線定理、矩形的判定定理．三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．6．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）等邊三角形繞它的一個頂點旋轉(zhuǎn)90°后與原來的等邊三角形組成一個新的圖形，那么這個新的圖形（）A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D．既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形【考點】中心對稱圖形；等邊三角形的性質(zhì)；軸對稱圖形．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：等邊三角形繞它的一個頂點旋轉(zhuǎn)90°后與原來的等邊三角形組成一個新的圖形，沿著一條直線對折后兩部分完全重合，故是軸對稱圖形；找不到一點把圖形繞該點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，故不是中心對稱圖形．故選A．【點評】掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．這個旋轉(zhuǎn)點，就叫做中心對稱點．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．這條直線叫做對稱軸．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）計算：?=4．【考點】二次根式的乘除法．【分析】根據(jù)二次根式的乘法公式可得×=，化簡得解即可．【解答】解：原式===4．故答案填4．【點評】本題考查學(xué)生掌握二次根式乘法的運算能力，是一個基礎(chǔ)題，比較簡單，注意結(jié)果要化為最簡形式．8．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x3﹣4x=2x（x+）（x﹣）．【考點】實數(shù)范圍內(nèi)分解因式．【分析】先提公因式2x，再根據(jù)平方差公式分解即可得出答案．【解答】解：2x3﹣4x=2x（x2﹣2），=2x（x+）（x﹣），故答案為：2x（x+）（x﹣）．【點評】本題考查了分解因式（提公因式法和用平方差公式分解因式法），主要考查學(xué)生能否正確分解因式，題目比較好，難度不大．9．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）不等式x﹣1＞3（x+1）的解集是x＜﹣2．【考點】解一元一次不等式．【分析】首先去括號，然后利用不等式的基本性質(zhì)移項、合并同類項，然后系數(shù)化成1，即可求解．【解答】解：去括號得：x﹣1＞3x+3，移項得：x﹣3x＞3+1合并同類項得：﹣2x＞4，則x＜﹣2．故答案是：x＜﹣2．【點評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學(xué)生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯．解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變．10．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知x=1是一元二次方程ax2+bx+3=0的一個實數(shù)根，那么a+b=﹣3．【考點】一元二次方程的解．【專題】計算題．【分析】把x=1代入一元二次方程ax2+bx+3=0得出a+b+3=0，即可求出a+b的值．【解答】解：把x=1代入一元二次方程ax2+bx+3=0得：a+b+3=0，即a+b=﹣3，故答案為：﹣3．【點評】本題考查了對一元二次方程的解的應(yīng)用，能得出a+b+3=0是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度不大．11．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知函數(shù)，那么f（9）=．【考點】函數(shù)值．【分析】將x=9代入函數(shù)式，化簡求值．【解答】解：由已知得，f（9）===，故答案為：．【點評】本題考查了求函數(shù)值．（1）當(dāng)已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；（2）函數(shù)值是唯一的，而對應(yīng)的自變量可以是多個．12．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（1，﹣5），且與直線y=﹣3x+2平行，那么該一次函數(shù)的解析式為y=﹣3x﹣2．【考點】兩條直線相交或平行問題．【分析】設(shè)一次函數(shù)的表達式為y=kx+b，由于它的圖象與直線y=﹣3x+2平行，可知k=﹣3，再由圖象過點A（1，﹣5），可求出b，從而可求表達式．【解答】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=﹣3x+2平行，∴k=﹣3，∴一次函數(shù)解析式為y=﹣3x+b，∵圖象經(jīng)過點A（1，﹣5），∴﹣3×1+b=﹣5，解得：b=﹣2，∴該一次函數(shù)的解析式為y=﹣3x﹣2．故答案為：y=﹣3x﹣2．【點評】此題主要考查了兩條直線平行問題，關(guān)鍵是掌握若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．13．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）二次函數(shù)y=﹣2x2+3x的圖象在對稱軸的左側(cè)是上升．（填“上升”或“下降”）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題．【分析】由于k＜0，可知圖象開口向下，從而易知函數(shù)圖象在對稱軸左側(cè)是隨x的增大而逐漸增大的，即上升．【解答】解：∵k=﹣2＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，∴圖象在對稱軸左側(cè)是上升．故答案是上升．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意二次函數(shù)的在對稱軸左右的單調(diào)性．14．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）從1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)中，任意抽取一個數(shù)，那么抽得的數(shù)是素數(shù)的概率是．【考點】概率公式．【分析】根據(jù)素數(shù)定義，讓素數(shù)的個數(shù)除以數(shù)的總數(shù)即為所求的概率．【解答】解：∵1，2，3，4，5，6，7，8這8個數(shù)有4個素數(shù)，∴2，3，5，7；故取到素數(shù)的概率是．故答案為：．【點評】本題考查的是概率的求法．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=；找到素數(shù)的個數(shù)為易錯點．15．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）如圖，在△ABC中，=．【考點】*平面向量．【分析】如圖，根據(jù)三角形法則，即可求得答案．【解答】解：在△ABC中，=．故答案為：．【點評】此題考查了平面向量的知識．此題比較簡單，注意掌握三角形法則的應(yīng)用，平面向量是有方向性的．16．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：在△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC，，DE=4，那么邊AC的長為6．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】首先根據(jù)畫出圖形，然后由DE∥AC，即可得△BDE∽△BAC，又由，可求得BD：AB，繼而利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得邊AC的長．【解答】解：∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∵，∴，∵DE=4，∴AC=6．故答案為：6．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，如果⊙O1、⊙O2的半徑分別為10厘米和17厘米，公共弦AB的長為16厘米，那么這兩圓的圓心距O1O2的長為21或9厘米．【考點】相交兩圓的性質(zhì)．【分析】利用連心線垂直平分公共弦的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理及有關(guān)性質(zhì)解題．【解答】解：如圖，∵⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，∴O1O2⊥AB，且AD=BD；又∵AB=16厘米，∴AD=8厘米，∴在Rt△AO1D中，根據(jù)勾股定理知O1D=6厘米；在Rt△AO2D中，根據(jù)勾股定理知O2D=15厘米，∴O1O2=O1D+O2D=21厘米；同理知，當(dāng)小圓圓心在大圓內(nèi)時，解得O1O2=15厘米﹣6厘米=9厘米．故答案是：21或9．【點評】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識點．注意，解題時要分類討論，以防漏解．18．（4分）（2012?閔行區(qū)二模）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把其中一個面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把其中一個面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，如此進行下去，試?yán)脠D形所揭示的規(guī)律計算：=．【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】規(guī)律型．【分析】根據(jù)規(guī)律，各分割部分的和等于正方形的面積減去最后一次分割剩下的部分的面積，而每一次都是分割成相等的兩個部分，根據(jù)此規(guī)律進行計算即可得解．【解答】解：1++++++++=1+（+++++++）=1+1﹣=．故答案為：．【點評】本題是對數(shù)字變化規(guī)律與圖形變化規(guī)律的考查，由圖形觀察出各分割部分的面積等于正方形的面積減去最后一次分割后剩下的部分的面積是解題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2012?閔行區(qū)二模）先化簡，再求值：，其中．【考點】分式的化簡求值．【分析】將括號里通分，除法化為乘法，約分，再代值計算．【解答】解：原式=?（a+1）=，當(dāng)時，原式===﹣3﹣2．【點評】本題考查了分式的化簡求值．解答此題的關(guān)鍵是把分式化到最簡，然后代值計算．20．（10分）（2012?閔行區(qū)二模）解方程組：．【考點】高次方程．【分析】用代入法即可解答，把①化為y=﹣2x+5，代入②得x2﹣（﹣2x+5）2+x+7=0即可．【解答】解：由①得y=﹣2x+5③把③代入②，得x2﹣（﹣2x+5）2+x+7=0．整理后，得x2﹣7x+6=0．解得x1=1，x2=6．由x1=1，得y1=﹣2+5=3．由x2=6，得y2=﹣12+5=﹣7．…（1分）所以，原方程組的解是，．【點評】考查了高次方程，解答此類題目一般用代入法比較簡單，先消去一個未知數(shù)再解關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個較簡單的方程中即可．21．（10分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為點E，AE=16，sin∠B=．求：（1）BC的長；（2）求∠ADE的正切值．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理．【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，利用角平分線的性質(zhì)，可得AC=AE=16，又由sin∠B=，即可求得AB的長，然后利用勾股定理，即可求得BC的長；（2）易證得△DBE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求得DE的長，繼而可求得∠ADE的正切值．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∴AC⊥CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴∠ADC=∠ADE，∴AC=AE=16，在Rt△ABC中，sin∠B==，∴AB=20，∴BC===12．（2）∵AB=20，AE=16，∴BE=4．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠DEB=∠ACB=90°．又∵∠DBE=∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴．∴．解得：DE=，Rt△ADE中，tan∠ADE===3．∴tan∠ADE=3．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．（10分）（2012?閔行區(qū)二模）某研究性學(xué)習(xí)小組，為了了解本校九年級學(xué)生一天中做家庭作業(yè)所用的大致時間（時間以整數(shù)記．單位：分鐘），對該年級學(xué)生做了抽樣調(diào)查，并把調(diào)查得到的所有數(shù)據(jù)（時間）進行整理，分成五個時間段，繪制成統(tǒng)計圖（如圖所示），請結(jié)合統(tǒng)計圖中提供的信息，回答下列問題：（1）這個研究性學(xué)習(xí)小組所抽取樣本的容量是多少？（2）在被調(diào)查的學(xué)生中，一天做家庭作業(yè)所用的大致時間超過150分鐘（不包括150分鐘）的人數(shù)占被調(diào)查學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分之幾？（3）如果該校九年級學(xué)生共有200名，那么估計該校九年級學(xué)生一天做家庭作業(yè)所用時間不超過120分鐘的學(xué)生約有多少人？【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體．【分析】（1）這個研究性學(xué)習(xí)小組所抽取樣本的容量是統(tǒng)計圖中各個時間段的人數(shù)之和；（2）一天做家庭作業(yè)所用的大致時間超過150分鐘（不包括150分鐘）的人數(shù)是8+4=12人，被調(diào)查學(xué)生總?cè)藬?shù)是30人，直接求出即可；（3）首先設(shè)一天做家庭作業(yè)所用的時間少于120分鐘的學(xué)生約有x人，根據(jù)題意，得求出即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得3+4+6+8+9=30．答：這個研究性學(xué)習(xí)小組所抽取樣本的容量為30；（2）根據(jù)題意，得8+4=12（人）．所以=0.4=40%．答：一天做家庭作業(yè)所用的大致時間超過150分鐘的人數(shù)占被調(diào)查學(xué)生總?cè)藬?shù)的40%．（3）設(shè)一天做家庭作業(yè)所用的時間少于120分鐘的學(xué)生約有x人．根據(jù)題意，得，解得x=60．答：估計一天做家庭作業(yè)所用時間少于120分鐘的學(xué)生約有60人．【點評】本題考查了讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力以及利用樣本估計總體，利用頻數(shù)分布直方圖得出正確信息是解題關(guān)鍵．23．（12分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F在邊BC上，DE∥AB，AF∥CD，且四邊形AEFD是平行四邊形．（1）試判斷線段AD與BC的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）現(xiàn)有三個論斷：①AD=AB；②∠B+∠C=90°；③∠B=2∠C．請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四邊形AEFD是菱形．【考點】梯形；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．【專題】綜合題．【分析】（1）由題中所給平行線，不難得出四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，而四邊形AEFD也是平行四邊形，三個平行四邊形都共有一條邊AD，所以可得出BC=3AD的結(jié)論．（2）可選擇②作為證明條件，先證明DE=EF，然后結(jié)合四邊形AEFD是平行四邊形得出結(jié)論．【解答】解：（1）線段AD與BC的長度之間的數(shù)量為：BC=3AD．證明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD=BE，同理可證：四邊形AFCD是平行四邊形，即得：AD=FC，又∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴AD=EF，∴AD=BE=EF=FC，∴BC=3AD．（2）解：選擇論斷②作為條件．證明：∵DE∥AB，∴∠B=∠DEC，∵∠B+∠C=90°，∴∠DEC+∠C=90°，即得∠EDC=90°，又∵EF=FC，∴DF=EF，∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴四邊形AEFD是菱形．【點評】本題考查了梯形、平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定，是一道集眾多四邊形于一體的小綜合題，建議同學(xué)們平時學(xué)習(xí)中，重視一題多變，適當(dāng)?shù)刈兪铰?lián)系，可以觸類旁通．24．（12分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的負(fù)半軸相交于點A，與y軸相交于點B（0，3），且∠OAB的余切值為．（1）求該拋物線的表達式，并寫出頂點D的坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線的對稱軸為直線l，點B關(guān)于直線l的對稱點為C，BC與直線l相交于點E．點P在直線l上，如果點D是△PBC的重心，求點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將（1）所求得的拋物線沿y軸向上或向下平移后頂點為點P，寫出平移后拋物線的表達式．點M在平移后的拋物線上，且△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，求點M的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；軸對稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】（1）求出OB，根據(jù)已知得出tan∠OAB==，求出OA，即可求出A的坐標(biāo)，代入拋物線即可求出拋物線的表達式，化成頂點式即可求出D的坐標(biāo)；（2）求出C的坐標(biāo)，求出E的坐標(biāo)，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)P、D的坐標(biāo)得出拋物線向上平移兩個單位即可得出新拋物線，設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n）．求出△MPD和△BPD邊PD上高分別為|m﹣1|、1，根據(jù)面積得出|m﹣1|=2，求出m，代入拋物線求出n即可．【解答】解：（1）由點B（0，3），可知OB=3．∵在Rt△OAB中，tan∠OAB==，∴OA=1，∴點A（﹣1，0）∵由拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B，代入得：，∴b=2，c=3，∴所求拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）該拋物線的對稱軸是直線l為x=1，∵由題意知：點B關(guān)于直線l的對稱點為C，∴點C的坐標(biāo)為（2，3），且點E（1，3）為BC的中點，∴DE=1，∵點D是△PBC的重心，∴PD=2DE=2，即得：PE=3，∵由點P在直線l上，∴點P的坐標(biāo)為（1，6）；（3）∵P（1，6），D（1，4），∴PD=2，可知將拋物線y=﹣x2+2x+3向上平移2個單位，∴平移后的拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+5，設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n）．△MPD和△BPD邊PD上高分別為|m﹣1|、1，于是，由△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，得|m﹣1|=2．解得：m1=﹣1，m2=3．∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+5上，∴n1=2，n2=2，∴點M的坐標(biāo)分別為M1（﹣1，2）、M2（3，2）．【點評】本題考查了平移性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，軸對稱的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，本題綜合性比較強，有一定的難度，主要培養(yǎng)了學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．25．（14分）（2012?閔行區(qū)二模）已知：如圖，AB⊥BC，AD∥BC，AB=3，AD=2．點P在線段AB上，連接PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設(shè)線段AP的長為x．（1）當(dāng)AP=AD時，求線段PC的長；（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APD∽△DPC時，求線段BC的長．【考點】相似形綜合題．【專題】綜合題；分類討論．【分析】（1）過C作CE垂直于AE，交AD的延長線于E點，在由AB垂直于BC，PD垂直于CD，以及AD平行于BC，得到三個角為直角，再由AD與BC平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補得到∠BAC為直角，利用三個角為直角的四邊形是矩形得到ABCE為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得出CE=AB=3，利用同角的余角相等的一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形ADP與三角形DEC相似，由相似得比例，將AD與AP的長代入，得到DE=CE=3，在直角三角形ADP與直角三角形DEC中，分別利用勾股定理求出DP與DC的長，在直角三角形PDC中，利用勾股定理即可求出PC的長；（2）在直角三角形APD中，由AP=x，AD=2，利用勾股定理表示出PD，再由三角形ADP與三角形DEC相似，由相似得比例，