第15章 結(jié)構(gòu)動力計算

結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容

結(jié)構(gòu)動力計算概念，動力計算自由度，建立體系的運動方程；單自由度體系的自由振動（頻率、周期和振幅的計算）；單自由度體系在簡諧荷載作用下的的強迫振動（動內(nèi)力、動位移計算）；阻尼對振動的影響；有限自由度體系的自由振動（頻率、振型及振型正交性）；有限自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動（動內(nèi)力、動位移計算）；頻率、振型的近似計算方法。2學(xué)習(xí)目的和要求

目的：工程結(jié)構(gòu)除受靜荷載作用外，有時還會受到隨時間迅速變化的動荷載作用，如地震荷載等。在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)發(fā)生振動，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等將隨時間變化。確定它們的變化規(guī)律，從而得到這些量的最大值，以便做出合理的動力設(shè)計是本章的學(xué)習(xí)目的。

要求：掌握動力自由度的判別方法。掌握單自由度、有限自由度體系運動方程的建立方法。熟練掌握單自由度體系、兩個自由度體系動力特性的計算。熟練掌握單自由度體系、兩個自由度體系在簡諧荷載作用下動內(nèi)力、動位移的計算。掌握阻尼對振動的影響。了解自振頻率的近似計算方法。31、結(jié)構(gòu)動力學(xué)的計算特點2.動力計算和靜力計算的區(qū)別和聯(lián)系1.動力荷載和靜力荷載的區(qū)別和聯(lián)系荷載的大小、方向、作用位置隨時間變化？動是絕對的，靜是相對的。區(qū)別在于計算中是否考慮慣性力，由振動引起的內(nèi)力和位移稱動內(nèi)力和動位移，它們不僅是位置而且是時間的函數(shù)。第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述3.動力計算中內(nèi)力與荷載不能構(gòu)成靜力平衡利用達(dá)朗貝爾原理，引入慣性力，使結(jié)構(gòu)在某一瞬時處于動平衡狀態(tài)?？砂挫o力學(xué)原理和方法計算結(jié)構(gòu)在該時刻的內(nèi)力和位移。4由于動荷載使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了不容忽視的慣性力，其作用完全不能等同于將動載看作靜載計算所得的量值；這反映了動載對結(jié)構(gòu)更為不利的一面，對規(guī)模較大、較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，尤其需要慎重考慮，合理地設(shè)計承受動力荷載的結(jié)構(gòu)。第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)的計算特點51動荷載的定義結(jié)構(gòu)在大小方向和作用點隨時間變化的荷載作用下，質(zhì)量運動加速度所引起的慣性力(innertiaforce)和荷載相比達(dá)到不可忽視的程度時的荷載稱為動荷載（dynamicload）把荷載看成是靜荷載還是動荷載應(yīng)結(jié)合結(jié)構(gòu)本身的動特性加以判決2、動荷載及其分類第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述62動荷載的分類動荷載確定不確定風(fēng)荷載地震荷載其他無法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡諧荷載非簡諧荷載沖擊荷載突加荷載其他確定規(guī)律的動荷載結(jié)構(gòu)振動分析隨機振動分析第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述2、動荷載及其分類7需要指出的是一種荷載是否作為動荷載并不是一成不變的，它與結(jié)構(gòu)本身的動特性有關(guān)。如：風(fēng)荷載動荷載周期高于結(jié)構(gòu)周期5倍以上時，動力作用較小，可按靜力計算。高聳柔性結(jié)構(gòu)動載低矮剛性結(jié)構(gòu)靜載第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述2、動荷載及其分類81結(jié)構(gòu)動力學(xué)和結(jié)構(gòu)靜力學(xué)的對比a．與靜力學(xué)對比增加了復(fù)雜性，需要處理微分問題。b．動響應(yīng)不僅與動荷載有關(guān)，而且與結(jié)構(gòu)動特性有關(guān)。3、結(jié)構(gòu)動力學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容2結(jié)構(gòu)動力學(xué)的任務(wù)

確定結(jié)構(gòu)動特性及結(jié)構(gòu)固有特性與動荷載、動響應(yīng)之間的關(guān)系；

為結(jié)構(gòu)動力可靠性設(shè)計和健康診斷提供依據(jù)。

確定結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下進(jìn)行響應(yīng)分析的方法。第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述93結(jié)構(gòu)動力學(xué)的研究內(nèi)容

第一類問題：由輸入求輸出的結(jié)構(gòu)動力計算響應(yīng)分析；輸入（動力荷載）輸出（動力反應(yīng)）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述3、動力學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容10

第二類問題：由輸入、輸出求結(jié)構(gòu)特性的系統(tǒng)識別；參數(shù)識別輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）荷載識別輸入（動力荷載）輸出（動力反應(yīng)）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述3、動力學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容11

第三類問題：由輸入、輸出和系統(tǒng)求環(huán)境識別。結(jié)構(gòu)振動控制。輸入（動力荷載）輸出（動力反應(yīng)）控制系統(tǒng)（裝置、能量）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述3、動力學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容121動力分析體系的自由度動力分析的特點是要考慮慣性力，而慣性力取決于質(zhì)量分布和運動方向，因此在確定計算簡圖時，必須確定質(zhì)量分布情況，確定質(zhì)點位移形態(tài)。確定體系質(zhì)點位移形態(tài)所需的獨立參數(shù)的個數(shù)就稱自由度。實際結(jié)構(gòu)都是無限自由度體系，如按無限自由度體系分析這不僅導(dǎo)致分析困難，而且從工程角度也沒必要，故必須對結(jié)構(gòu)進(jìn)行必要的簡化。4、動力分析體系的自由度

第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述132體系自由度的簡化1)集中質(zhì)量法（lumpedmass）

將實際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量看成（按一定規(guī)則）集中在某些幾何點上，除這些點之外物體是無質(zhì)量的。這樣就將無限自由度系統(tǒng)變成一有限自由度系統(tǒng)。l第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述4、動力分析體系的自由度

14ll體系振動自由度為無限自由度忽略體系振動自由度為三個自由度忽略軸向運動忽略轉(zhuǎn)動慣量體系振動自由度為單自由度第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述4、動力分析體系的自由度

152)廣義坐標(biāo)法(generalcoordinate）選擇一系列滿足邊界條件的基函數(shù)，通過線性組合來近似體系位移形態(tài)，其組合系數(shù)稱廣義座標(biāo)---待定參數(shù)，即廣義坐標(biāo)---滿足邊界條件的基函數(shù)y(x)l位移函數(shù)的一般形式---待定參數(shù)個數(shù)，即自由度數(shù)第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述4、動力分析體系的自由度

16y(x)l位移函數(shù)廣義座標(biāo)單自由度l位移函數(shù)廣義座標(biāo)二自由度第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述4、動力分析體系的自由度

2)廣義坐標(biāo)法(generalcoordinate）173)有限元法（finiteelementmethod）ly1,

1,y2,

2,…

1(x)

2(x)將結(jié)構(gòu)劃分為有限個單元，通過單元分析得到單元剛度方程，組裝成整體剛度矩陣，適當(dāng)將質(zhì)量分布于單元結(jié)點上，除這些點之外物體是無質(zhì)量的。這樣就將無限自由度系統(tǒng)變成一有限自由度系統(tǒng)。第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述4、動力分析體系的自由度

183體系自由度的確定

用有限元法或廣義座標(biāo)法將無限自由度體系簡化為有限自由度體系時，體系的自由度數(shù)等于獨立結(jié)點位移數(shù)或廣義座標(biāo)數(shù)。

對于集中質(zhì)量法簡化的有限自由度體系，在確定結(jié)構(gòu)動力自由度數(shù)時應(yīng)注意：(1)一般受彎結(jié)構(gòu)軸向變形忽略不計；(2)體系的自由度數(shù)并不等總是于集中質(zhì)點數(shù)，而要根據(jù)具體情況確定。第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述4、動力分析體系的自由度

19不考慮軸向變形平面集中質(zhì)量系統(tǒng)的自由度？自由度數(shù)和質(zhì)量點個數(shù)有關(guān)，但沒有確定關(guān)系考慮軸向變形平面集中質(zhì)量系統(tǒng)的自由度？不考慮軸向變形空間集中質(zhì)量系統(tǒng)的自由度？自由度數(shù)的判斷增加附加約束，限制全部質(zhì)量位移；附加約束數(shù)＝自由度數(shù)第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述4、動力分析體系的自由度

20確定體系動力自由度數(shù)與體系是否為靜定無關(guān)體系自由度數(shù)與計算精度有關(guān)靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述4、動力分析體系的自由度

21結(jié)構(gòu)在動載作用下的響應(yīng)規(guī)律，與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布、剛度分布及能量耗散等因素有關(guān)。由結(jié)構(gòu)自身物理量所確定、表征結(jié)構(gòu)動力特性的一些固有量稱結(jié)構(gòu)的動力特性（structuraldynamiccharacter）。外形相同但動力特性不同的兩個結(jié)構(gòu)，在相同荷載作用下的響應(yīng)也不同；而外形不同但動力特性相同的兩個結(jié)構(gòu)，在相同荷載作用下的響應(yīng)卻是相同的。5、結(jié)構(gòu)的動力特性

第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述221結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)受到干擾會引起運動，但干擾取消后結(jié)構(gòu)將在平衡位置附近繼續(xù)振動，這種振動稱結(jié)構(gòu)的自由振動（freevibration）結(jié)構(gòu)振動方式的數(shù)目用體系自由度數(shù)確定；結(jié)構(gòu)振動的快慢用自振頻率來描述；自振頻率的順序排列稱頻率譜；頻率譜中最小的一個頻率稱基本頻率第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述5、結(jié)構(gòu)的動力特性

232結(jié)構(gòu)的振型當(dāng)結(jié)構(gòu)按頻率譜中某頻率作自由振動時，其變形形狀保持不變，這種變形形狀稱結(jié)構(gòu)的主振型，簡稱振型（modeofvibration）第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述5、結(jié)構(gòu)的動力特性

243結(jié)構(gòu)的阻尼無外部激勵的振動其振動幅度會逐漸減小，直至停止，這種現(xiàn)象稱衰減（decay）。振幅隨時間減小說明在振動中有能量損耗。

引起耗能的原因主要有：

1.材料內(nèi)摩擦阻力

2.環(huán)境介質(zhì)阻力

3.連接處摩擦力

4.地基土內(nèi)摩擦力稱這些耗能因素為阻尼（damping），它是動力分析的一個重要特性。第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述5、結(jié)構(gòu)的動力特性

25阻尼機理目前研究的并不充分，結(jié)構(gòu)往往存在幾種性質(zhì)不同的阻尼因素，為簡化計算我們采用一種普遍、常用的模型粘滯阻尼模型（viscousdamping）粘滯阻尼假設(shè)：導(dǎo)致能量耗散是由于存在阻尼力，它和質(zhì)點運動速度方向相反，大小與速度成比例，比例系數(shù)稱阻尼系數(shù)，其數(shù)值由試驗確定。根據(jù)這一假設(shè)，單自由度的阻尼力為第一節(jié)結(jié)構(gòu)動力計算概述3結(jié)構(gòu)的阻尼5、結(jié)構(gòu)的動力特性

26描述體系質(zhì)量運動隨時間變化規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式稱體系的運動方程（equationofmotion）

直接平衡法根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立體系瞬時動平衡方程，即理論力學(xué)的動靜法。

虛功原理法根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，用于虛位移原理建立體系運動方程。

變分原理法根據(jù)哈密頓原理，以變分形式表示的能量關(guān)系建立體系運動方程。

第二節(jié)建立體系運動方程27重點介紹直接平衡法（1）根據(jù)問題的具體情況和精度要求確定體系質(zhì)量分布和動力自由度數(shù)，即建立計算模型。（2）建立座標(biāo)系，給出各自由度的位移參數(shù)。（3）分析各位移方向受力（4）建立運動方程：分體平衡方程（剛度法）變形協(xié)調(diào)方程（柔度法）第二節(jié)建立體系運動方程281、單自由度體系運動方程

許多動力問題常可按單自由度體系進(jìn)行計算或進(jìn)行初步估算

單自由度體系的分析是多自由度體系分析的基礎(chǔ)

許多概念由單自由度分析引出為什么要研究單自由度體系？第二節(jié)建立體系運動方程29mk水平運動模型mk豎向運動模型mkm第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程30mkcmkcFP(t)ysy=ys+yd靜平衡位

質(zhì)點的位移、速度和加速度是以向下為正。

mkc位移

displacement

速度

velocity

加速度

acceleration

ysyd第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程a列動力平衡方程（剛度法）31取質(zhì)點為研究對象建立動平衡方程

FP(t)FS(t)FI(t)FD(t)W振動與靜位移無關(guān)，與重量無關(guān)（但與質(zhì)量有關(guān)）,體系在靜力平衡位置做振動.第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程a列動力平衡方程（剛度法）32以彈簧端點為研究對象。分析它與質(zhì)塊連接點的位移kFS’(t)y由作用力和反作用力的關(guān)系FP(t)FS(t)FI(t)FD(t)W第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程b列位移方程（柔度法）33以靜平衡位置為起點列平衡方程和位移方程，所得的方程均與重力無關(guān)，方程解出的是動位移方程。（對于水平振動情況，重力并不在運動方向產(chǎn)生靜位移，因此動位移即總位移

）與剛度法推出的運動方程相比較可見第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程b列位移方程（柔度法）34FP(t)mFP(t)m設(shè)質(zhì)量

m的位移為

u,向右為正。用剛度法分析受力。問題是如何確定其中的剛度系數(shù)

k。用力法、位移法或力矩分配法均可求得

第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程35值得注意的是：用剛度法建立運動方程，一般情況下都要求解超靜定結(jié)構(gòu)的靜力問題。兩種方法得出同一個結(jié)果，但是用哪個方法更簡潔一些;不同的題情況不一樣，要自己總結(jié)用柔度法，將所有外力作用于質(zhì)量

m，確定任意時刻質(zhì)點的位移y。FP=1m第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程36同一體系，激勵位置不同質(zhì)量m的運動方程是否相同？

FP(t)mFP(t)m物理意義?第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程37FP(t)mmFP(t)同一體系，激勵方向不同質(zhì)量m的運動方程是否相同？

第二節(jié)建立體系運動方程1、單自由度體系運動方程38

任意單自由度結(jié)構(gòu)的振動問題都可以抽象為質(zhì)量－彈簧－阻尼器體系，關(guān)鍵是確定質(zhì)量系數(shù)和彈簧剛度系數(shù)。結(jié)論

等效干擾力等于動載作用下附加約束上產(chǎn)生的支座反力，方向相反。

原則上剛度法和柔度法都可以建立運動方程，對具體問題，計算工作量是有差別的。故應(yīng)視情況靈活應(yīng)用。第二節(jié)建立體系運動方程（請附以例題）39

當(dāng)體系為線彈性、阻尼為等效粘滯阻尼時，運動方程是二階非奇次常系數(shù)線性微分方程：

任意單自由度結(jié)構(gòu)的運動方程都可以表示成如下形式：該形式既適合等效粘滯阻尼和線彈性體系，也適合于其它阻尼和非線彈性體系。第二節(jié)建立體系運動方程40在實際工程中有些體系根據(jù)結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度(如多層結(jié)構(gòu)、不等高排架等);為保證計算精度要考慮采用多自由度模型（如煙囪、高聳建筑物）。而多自由度中最具代表性的、最簡單的當(dāng)數(shù)兩自由度模型。

建立振動方程的方法：柔度法：按位移協(xié)調(diào)原則建立運動方程

剛度法：按質(zhì)體平衡條件建立運動方程

第二節(jié)建立體系運動方程2、多自由度體系運動方程41剛度法思路利用達(dá)朗貝爾原理引入慣性力，則質(zhì)點在某一時刻處于動平衡狀態(tài)，列質(zhì)點平衡方程．ABFP(t)ABFP(t)FE1(t)FE2(t)k11y1k21y1ABFI1(t)k12y2k22y2ABFI2(t)第二節(jié)建立體系運動方程2、多自由度體系運動方程42其中以矩陣形式表示kij--剛度影響系數(shù)矩陣簡寫為：第二節(jié)建立體系運動方程2、多自由度體系運動方程43剛度法建立體系運動方程的具體步驟1、確定體系的自由度及各自由度方向的質(zhì)量，建立質(zhì)量矩陣M；2、用附加約束固定全部運動質(zhì)量；3、在外載作用下，計算附加約束上的約束反力，從而組成干擾力矩陣FP；4、由剛度系數(shù)定義形成剛度矩陣K；5、組成運動方程。第二節(jié)建立體系運動方程2、多自由度體系運動方程44柔度法思路利用達(dá)朗貝爾原理引入慣性力，由質(zhì)點在某一時刻形態(tài)狀態(tài)列質(zhì)點位移方程ABFP(t)

11FP=1

21

12FP=1

22

1PFP=1

2P第二節(jié)建立體系運動方程2、多自由度體系運動方程45以矩陣形式表示

ij

-柔度影響系數(shù)矩陣簡寫為：可以看到有：體系的剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣。這一結(jié)論對于任意多自由度體系都成立。第二節(jié)建立體系運動方程2、多自由度體系運動方程461、確定體系的自由度及各自由度方向的質(zhì)量，建立質(zhì)量矩陣M；2、計算在動外載作用下引起運動質(zhì)量的位移，從而組成位移矩陣

P；3、由柔度系數(shù)定義形成柔度矩陣

；4、組成運動方程。第二節(jié)建立體系運動方程柔度法建立體系運動方程的具體步驟2、多自由度體系運動方程47運動方程的一般形式剛度形式表示

柔度形式表示第二節(jié)建立體系運動方程2、多自由度體系運動方程48

剛度形式方程和柔度形式方程可以互換。但對于具體問題工作量可能不同。通常對于靜定結(jié)構(gòu)，采用柔度法要簡單一些，而對于超靜定結(jié)構(gòu)，采用剛度法較方便。注意

單自由度體系剛度系數(shù)和柔度系數(shù)互為倒數(shù)。多自由度體系剛度矩陣和柔度矩陣互為逆矩陣(其對應(yīng)系數(shù)不存在互為倒數(shù)關(guān)系)。

干擾力向量當(dāng)動荷載直接作用于質(zhì)點時由動荷載按自由度順序組成；否則，由前述約束反力變號組成。

運動方程中的柔度矩陣和剛度矩陣并不完全等同于超靜定結(jié)構(gòu)靜力計算的柔度矩陣（力法）和剛度矩陣（位移法）。

1、階數(shù)不同；2、系數(shù)意義不同；第二節(jié)建立體系運動方程49第二節(jié)建立體系運動方程3、建立體系運動方程示例例題：建立圖示體系的運動方程。mEIlEIl150第二節(jié)建立體系運動方程例題：建立圖示體系的運動方程。mEIl/2EIl/2151層間側(cè)移剛度：對于帶剛性橫梁的剛架（剪切型剛架），當(dāng)兩層之間發(fā)生相對單位水平位移時，兩層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該層的層間側(cè)移剛度。mEIlEIl1EIllEIEIEI第二節(jié)建立體系運動方程例題：建立圖示體系的運動方程。52第二節(jié)建立體系運動方程例題：建立圖示體系的運動方程。mEIl/2l/2W---P(t)引起的動位移---重力引起的位移質(zhì)點的總位移為加速度為列運動方程時可不考慮重力影響53m1m2=第二節(jié)建立體系運動方程例題：建立圖示體系的運動方程（剛度法）。54m1m2剛度矩陣第二節(jié)建立體系運動方程例題：建立圖示體系的運動方程（剛度法）。55第二節(jié)建立體系運動方程例題：建立圖示體系的運動方程（剛度法）。m1m256第二節(jié)建立體系運動方程例題：建立圖示體系的運動方程（柔度法）。m1m257第二節(jié)建立體系運動方程例題：建立圖示體系的運動方程（柔度法）。m1m258例題：不考慮桿件的軸向變形，不考慮阻尼，建立圖示剛架的運動方程lFP(t)l/2l/2mmFP(t)mmFI1FI2第二節(jié)建立體系運動方程59FP(t)mm

1P

2Pmm

11

21FP=1mm

11

21FP=1柔度法第二節(jié)建立體系運動方程60FP(t)mmR2R1Z1FP(t)Z1=1FP(t)剛度法第二節(jié)建立體系運動方程61仍采用位移法求剛度系數(shù)第二節(jié)建立體系運動方程62

動力學(xué)是結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的重要基礎(chǔ)。

荷載作用是作為動荷載還是作為靜荷載，取決于是否考慮由此產(chǎn)生的慣性力。

現(xiàn)代結(jié)構(gòu)動力學(xué)內(nèi)容十分豐富，要培養(yǎng)興趣，擴展知識。

總結(jié)由實際結(jié)構(gòu)變成計算模型的方法，注意結(jié)合計算機計算大型結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題。

動力自由度是確定質(zhì)體空間位置的獨立坐標(biāo)個數(shù)，它和結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)無關(guān)。與體系的可能變形狀態(tài)及質(zhì)體數(shù)目有關(guān)，因而，列運動方程時的剛度系數(shù)和柔度系數(shù)與解超靜定問題時的對應(yīng)系數(shù)之間也沒有關(guān)系。第二節(jié)建立體系運動方程4、幾點結(jié)論63

頻率、振型和阻尼是體系的重要動力特性。結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，不僅和動荷載有關(guān)，而且還取決于結(jié)構(gòu)的動力特性。

建立體系運動方程的方法很多，但最常用的是動靜法。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理剛度法是考慮質(zhì)量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的協(xié)調(diào)條件

集中質(zhì)量多自由度體系的質(zhì)量矩陣是對角線矩陣，剛度矩陣是對稱的。

等效干擾力向量的元素可由“剛度矩陣乘荷載位移向量計算”，也可由約束全部自由度的位移，求動荷載下附加約束上的反力來組成。用后一方案時要注意反力反向才是等效干擾力。第二節(jié)建立體系運動方程4、幾點結(jié)論

64單自由度體系運動方程單自由度體系自由振動第三節(jié)單自由體系自由振動65

可以與考慮阻尼的情況加以對比，以便更好地了解阻尼的作用。

這種理想情況所得到的某些結(jié)果，可以相當(dāng)精確地反映實際結(jié)構(gòu)的一些動力特性；為什么要討論這種簡單模型？1、無阻尼的自由振動(

＝0)第三節(jié)單自由體系自由振動66

振動將以一個連續(xù)地定常幅度振動。

經(jīng)過一固定時段又恢復(fù)原運動狀態(tài)。A0

yAaωt+α第三節(jié)單自由體系自由振動1、無阻尼的自由振動(

＝0)67通過初始條件確定待定系數(shù)

由y0引起的由

引起的第三節(jié)單自由體系自由振動1、無阻尼的自由振動(

＝0)68通過初始條件確定待定系數(shù)

A0

——振幅（amplitudeofvibration）

——初始相位角?？倓恿ξ灰?/p>

A1A2A0第三節(jié)單自由體系自由振動1、無阻尼的自由振動(

＝0)69稱工程頻率（單位時間內(nèi)振動次數(shù)）

稱周期（振動一次所需的時間）

稱圓頻率（2

秒內(nèi)振動次數(shù)，或單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)的周數(shù)）

第三節(jié)單自由體系自由振動1、無阻尼的自由振動(

＝0)70自振頻率和周期的特性：

①只與質(zhì)量和剛度有關(guān)，與荷載無關(guān)；是結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的重要標(biāo)志，系本身固有的屬性。

②剛度越大，頻率越高，周期越短；質(zhì)量越大，頻率越低，周期越長。第三節(jié)單自由體系自由振動1、無阻尼的自由振動(

＝0)71例題:

列振動方程，求自振周期和頻率。

mEIEIEIEIEA=∞lll12i/l2k解：6i/lkΔ=172例題:

列振動方程，求自振周期和頻率。

解：EIEI1=∞lmmEIkk12i/l2Δ=173例題:

求自振周期和頻率。解：mEI1=∞EAllEIF=1lN=174例題:

列振動方程，求自振周期和頻率。

l/2ll/2l/2EA=∞E1I1=∞EIEIααNA75αNA7677——產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角位移需要的力偶——轉(zhuǎn)動慣量78A具有共同的自由度時，各質(zhì)點的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量才能相加。79ll/2l/2EI=∞例題:

求自振周期和頻率。解80齊次線性微分方程的特征方程微分方程的解按特征根的性質(zhì)不同，具有三種不同形式：第三節(jié)單自由體系自由振動2、有阻尼的自由振動(

0)811小阻尼的情況兩個特征根為復(fù)數(shù)稱為“有阻尼振動的圓頻率”第三節(jié)單自由體系自由振動2、有阻尼的自由振動(

0)82tyo第三節(jié)單自由體系自由振動2、有阻尼的自由振動(

0)832大阻尼的情況特征根為兩個負(fù)實數(shù)由于不含簡諧振動因子，說明體系受到初始干擾后，能量在恢復(fù)平衡位置的過程中全部消耗于克服阻尼，不足以引起振動。第三節(jié)單自由體系自由振動2、有阻尼的自由振動(

0)843臨界阻尼的情況特征根為一對重根這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動性。tyy0θ0結(jié)論：由振動過渡到非振動的臨界狀態(tài)。第三節(jié)單自由體系自由振動2、有阻尼的自由振動(

0)85臨界阻尼常數(shù)cr為ξ=1時的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點）阻尼比。反映阻尼情況的基本參數(shù)。第三節(jié)單自由體系自由振動2、有阻尼的自由振動(

0)86大阻尼臨界阻尼三種阻尼振動比較小阻尼臨界阻尼達(dá)到平衡位置的時間最短，但仍不能超過平衡位置。第三節(jié)單自由體系自由振動2、有阻尼的自由振動(

0)87有阻尼自由振動的重要性質(zhì)：

固有頻率與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，要改變頻率只能從質(zhì)量和剛度著手；

頻率是結(jié)構(gòu)動特性的重要數(shù)量標(biāo)志。兩個外表相似，但頻率大異的結(jié)構(gòu)，其動特性亦相差很大；兩個外表大異，但頻率相近的結(jié)構(gòu)，其動特性亦相差無幾。

要完全確定體系的振動位移，還需確定積分常數(shù)，它不是體系的固有特性，取決于初始條件

有阻尼自振頻率小于無阻尼自振頻率。但通常兩者相差甚小，可忽略其影響。第三節(jié)單自由體系自由振動2、有阻尼的自由振動(

0)88發(fā)現(xiàn)

1/衰減性振動；

2/非周期性振動；

3/質(zhì)點兩次通過平衡位置的時間間隔相等準(zhǔn)周期tyo3、確定體系阻尼比的方法第三節(jié)單自由體系自由振動89①阻尼對自振頻率的影響.在工程結(jié)構(gòu)問題中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:隨阻尼比增加而降低第三節(jié)單自由體系自由振動3、確定體系阻尼比的方法90②阻尼對振幅的影響.結(jié)果：振幅按等比級數(shù)遞減.振幅隨時間衰減，考察相鄰兩個振幅的比確定阻尼比的方法：稱振幅的對數(shù)衰減率（常數(shù)）

令則第三節(jié)單自由體系自由振動3、確定體系阻尼比的方法91當(dāng)體系由某一時刻tk，經(jīng)過n個準(zhǔn)周期后，通過實測y(tk)

和y(tk+nTd)可計算阻尼比

，從而確定阻尼系數(shù)c

。第三節(jié)單自由體系自由振動3、確定體系阻尼比的方法92例題：單層建筑結(jié)構(gòu)計算簡圖做振動試驗。在橫梁處加一水平力FP=98kN，門架發(fā)生側(cè)向位移A0=0.5厘米，然后突然釋放，結(jié)構(gòu)開始自由振動。測得周期Td=0.5秒，5周后測得振幅A5=0.164厘米。求阻尼系數(shù)c,并確定幾周后振幅小于0.05厘米。

FP93(1)由于阻尼對周期影響很小，所以

(2)設(shè)經(jīng)過na周，振幅將降到0.05厘米以下，由

94第四節(jié)單自由體系受迫振動1、單自由體系受迫振動的一般解基本思路將動荷載的作用看成是一系列在質(zhì)點上暫短停留的不變的力（脈沖）的集合，由疊加可得到任意荷載作用的響應(yīng)。95由靜止?fàn)顟B(tài)考慮一個瞬時沖量的影響。

瞬時激振作用效果就在于使質(zhì)點產(chǎn)生一個初速度，而初位移為零。質(zhì)點作以此初始條件引起的自由振動。dS=FP(

)d

d

FP(t)t

t第四節(jié)單自由體系受迫振動1、單自由體系受迫振動的一般解96整個加載過程可以考慮成是由一系列瞬時沖量對同一時刻

t的位移的影響：FP(t)t脈沖響應(yīng)函數(shù)t第四節(jié)單自由體系受迫振動1、單自由體系受迫振動的一般解97方程全解齊次解與特解之和考慮為無阻尼時第四節(jié)單自由體系受迫振動1、單自由體系受迫振動的一般解981.簡諧荷載作用下的動力響應(yīng)前兩項是以

d為頻率的衰減自由振動，很快就消失掉了；

最后項是以

為頻率的常幅振動，稱穩(wěn)態(tài)振動，與初始條件無關(guān)。第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)99其中由初始條件確定第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)100——荷載幅值產(chǎn)生的靜位移——位移動力放大系數(shù)用待定系數(shù)法可以求得特解待定常數(shù)第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)101討論

振幅

標(biāo)志著動力響應(yīng)是靜力效應(yīng)的多少倍

振幅A與靜位移yst有關(guān)，而靜位移yst又與激振力幅FP0有關(guān);振幅A與動力放大系數(shù)

有關(guān)，而

與頻率比

和阻尼比

有關(guān)。第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)102初步觀察：

1/對于某

值，

增加，則

下降；

2/

=1時，振幅將很大。

3/遠(yuǎn)離共振區(qū)曲線密集，

的影響不顯著

共振區(qū)后區(qū)前區(qū)減振方案:剛性方案柔性方案第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)103

相位

表明位移和激振力間相位關(guān)系

當(dāng)

0時，

永不為零

若

<1，則0<

</2若

>1，則

/2

<

<

（+）（－）

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)104

相位

表明位移和激振力間相位關(guān)系

當(dāng)

=0時若

<1，則

=0表示位移與激振力同步；

若

>1，則

=

表示位移與激振力反向運動；

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)（+）（－）

105

當(dāng)

=1時，

=/2（無論阻尼是否等于零）

所以，只要有阻尼存在，位移總是滯后于激振力：

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)106

體系內(nèi)各種力分析：第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)107恢復(fù)力：激振力：慣性力：

阻尼力：

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)1081）

<<1時，

1，

0相當(dāng)于自振頻率相對很大，意味著結(jié)構(gòu)較為剛性(或激振頻率相對很小，或激振力隨時間變化異常緩慢)，此時2

→0，表明阻尼影響甚小。由于振動緩慢，故慣性力和阻尼力都很小，激振力主要由彈性力平衡。而彈性力與位移成正比，但方向相反，所以激振力與位移基本同步，激振力作靜載處理。

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)1092）

>>1時，

0，

相當(dāng)于自振頻率遠(yuǎn)小于激振頻率，意味著結(jié)構(gòu)較柔(或激振力隨時間變化異常迅速)，此時(1-

2)2>>(2

)2，表明阻尼影響甚小。由于振動很快，故慣性力很大，彈性力和阻尼力相對很小，激振力主要由慣性力平衡，而慣性力與位移成正比，但方向相反，所以激振力與位移相角相差180o，相當(dāng)結(jié)構(gòu)處于靜止。

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)1103）

1時，

1/(2

)，

/2自振頻率接近于激振頻率，振幅值已相當(dāng)可觀，這種狀態(tài)稱共振(resonance)，其附近稱共振區(qū)，（通常是0.75<

<1.25）。此時不大的激振力就可以引起很大的位移和內(nèi)力。位移與激振力相位角相差90o，因此當(dāng)激振力為最大時，位移和加速度接近與零，因而慣性力和彈性力接近于零，此時激振力主要由阻尼力平衡，因此，在共振區(qū)內(nèi)阻尼力起主要作用。

的數(shù)值對

的大小有著決定性影響。因此，在共振區(qū)內(nèi)要力求

的精確，而在共振區(qū)外，阻尼影響較小，可忽略不計，這樣也是偏于安全的。第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)111

動位移和動內(nèi)力

動位移：

動內(nèi)力：當(dāng)有了穩(wěn)態(tài)動位移，即可求得體系的速度和加速度，進(jìn)而計算體系的阻尼力和慣性力，體系在幾種力共同作用下可以采用靜力學(xué)方法繪制其內(nèi)力圖，進(jìn)而求得反力。由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位移達(dá)到幅值時，內(nèi)力也應(yīng)達(dá)到幅值。第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)112a)一般方法*確定動位移達(dá)到幅值時的時間*確定慣性力幅值和動荷載幅*將慣性力幅值和動荷載幅加在體系上，繪動力彎矩圖第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)113激振力與慣性力共線時的比例算法

激振力FP(t)=FP0sint

，動位移幅值為A0。

即產(chǎn)生位移A0

的力

（慣性力在放大系數(shù)中體現(xiàn)）將

FP0加在質(zhì)量集中處，然后用靜力學(xué)方法即可計算動內(nèi)力值。各截面動內(nèi)力和動位移都與質(zhì)點位移成正比，所以，質(zhì)點動位移的放大系數(shù)就是各截面動內(nèi)力和動位移的放大系數(shù)b)比例法（適用于無阻尼情況，此題近似）第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)114計算步驟：FP(t)mlFP＝1m

FP0lFP0m首先在質(zhì)點處加一單位力作出內(nèi)力圖，將內(nèi)力圖放大（

FP0）倍,即得激振力作用下動內(nèi)力幅值的分布圖。

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)115可根據(jù)質(zhì)點處位移相等的原則，把激振力換算成作用于質(zhì)點處的等效激振力。將慣性力的彎矩圖與幅值力彎矩圖疊加，就得到最大動彎矩圖。激振力與慣性力不共線時的疊加算法

FP(t)mmmA0

2sintFP0sint+=第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)116注意：此時動內(nèi)力放大系數(shù)和動位移放大系數(shù)并不相同，而各截面對應(yīng)的動彎矩和靜彎矩的比值也不同。各區(qū)段沒有一個統(tǒng)一的放大系數(shù)。FP(t)m第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)117t①有阻尼時

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)2.突加荷載作用下的動力響應(yīng)118t①有阻尼時

表明體系除產(chǎn)生靜位移yst外，還發(fā)生衰減振動，最終停止振動。

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)2.突加荷載作用下的動力響應(yīng)119②無阻尼時

振動將進(jìn)行下去，最大動位移

無阻尼穩(wěn)態(tài)振動有阻尼穩(wěn)態(tài)振動第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)120方法1：分階段進(jìn)行計算

時，解同2

時，3.階躍荷載（短時荷載）作用下的動力響應(yīng)tt1第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)121方法1：分階段進(jìn)行計算

3.階躍荷載（短時荷載）作用下的動力響應(yīng)tt1第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)122方法2:即當(dāng)

t>t1時,體系呈自由振動，初始條件

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)123方法3：短時荷載可認(rèn)為由兩個突加荷載疊加而成P(t)tPP(t)tPt1P(t)tPt1當(dāng)0<t<t1當(dāng)t>t1第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)124

t1<T/2時矩形荷載反應(yīng)

t1>T/2時矩形荷載反應(yīng)第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)1252

當(dāng)t1<T/2，在t=t1時刻，位移和速度都為正，所以最大位移發(fā)生在t>t1階段，由可見，短時激振的動力效果取決于其作用時間t1/T

1當(dāng)t1>T/2，在0

t1時間內(nèi)有cost=-1時刻，故最大位移發(fā)生在0

t

t1

階段，ymax=2yst

第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)

t1126ttd第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)4.爆炸沖擊荷載作用下的動力響應(yīng)127FP(t)tF0tr這種荷載引起的動力反應(yīng)同樣可由Duhamel積分來求解:第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)5.線性漸增荷載作用下的動力響應(yīng)128對于這種線性漸增荷載,其動力反應(yīng)與升載時間的長短有很大關(guān)系。其動力系數(shù)的反應(yīng)譜如下：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0μt1P0動力系數(shù)反應(yīng)譜動力系數(shù)μ介于1與2之間。如果升載很短，tr<T/4,則μ接近于2,即相當(dāng)于突加荷載情況。如果升載很長，tr>4T,則μ接近于1,即相當(dāng)于靜荷載情況。常取外包虛線作為設(shè)計的依據(jù)。第四節(jié)單自由體系受迫振動2、幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)129小結(jié)

任意解析荷載都可以通過Duhamel積分獲得解答。當(dāng)荷載是以數(shù)值形式給出，需要利用計算機通過數(shù)值積分獲得響應(yīng)的時程。

各種短周期荷載，可以不考慮阻尼的影響，關(guān)鍵是要分時段考慮。在荷載作用時段用Duhamel積分求解，在荷載作用結(jié)束后，以結(jié)束時的位移和速度作為初始條件,求自由振動解。

動力放大系數(shù)通常與荷載作用時間和體系固有周期的比值有關(guān)。End130第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動工程中的結(jié)構(gòu)有些可簡化為單自由度體系分析單層工業(yè)廠房水塔有些不能作為單自由度體系分析，需簡化為多自由度體系進(jìn)行分析多層房屋、高層建筑不等高廠房排架和塊式基礎(chǔ)多自由度體系受迫振動的解是齊次解與特解之和，所以自由振動分析（齊次解）是基礎(chǔ).自由振動分析的核心是確定體系的動力特性。131多自由度體系無阻尼運動方程剛度法形式：柔度法形式：多自由度體系無阻尼自由振動方程剛度法形式：柔度法形式：第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動132設(shè)特解：按這一形式的振動有以下特點振動過程中兩質(zhì)點間同頻率、同相位角；質(zhì)點位移在數(shù)值上隨時間變化，但彼此間比值保持不變。這種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解133代入剛度法方程（1）

1

=

2

=0

不振動的解（2）

1，

2

至少有一個不為零

振動的解振型方程第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解134非零解的條件：振型方程的系數(shù)行列式為零頻率方程存在兩個特征解

1，

2;其中最小的一個稱第一（基本）圓頻率，較大的一個稱第二圓頻率。第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解135第二階主振型第一階主振型振型方程的解只可得出振幅的相對比值第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解136代入柔度法方程設(shè)：振型方程第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解137非零解的條件：振型方程的系數(shù)行列式為零頻率方程存在兩個特征解

1，

2;其中最大的一個對應(yīng)第一圓頻率

1，較小的一個對應(yīng)第二圓頻率

2

。第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解138第二階主振型第一階主振型第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解139通解對應(yīng)

1的特解對應(yīng)

2的特解由初始條件確定四個常數(shù)第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解140重要特性：頻率個數(shù)等于體系自由度數(shù)；主振型也是體系的固有特性；多自由度體系振動可看成不同主振動之線性組合，或說體系振動可按主振動分解；只有在質(zhì)量的初位移和初速度與某主振型一致時，體系才會按該主振型做簡諧振動。第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動1、兩自由度體系運動方程的特解和通解141例題：兩層剛架，橫梁為剛性，立柱的抗彎剛度EI1、EI2,立柱的質(zhì)量忽略不計，橫梁的質(zhì)量m1，m2,每層高度h1，h2，求自振頻率和振型。m2m1h2h1第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動2、兩自由度體系的頻率和振型計算舉例剛度法142k21k111解：當(dāng)k22k121143代入頻率方程：144第一主振型：第二主振型：

21=1.618

11=1

22=－0.618

11=1145如n=90時特征方程：當(dāng)146可見當(dāng)頂端質(zhì)點的質(zhì)量和剛度很小時，頂端水平側(cè)移很大。如：屋頂消防水池上人屋面設(shè)計的樓電梯間女兒墻屋頂建筑物等。建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計中，將這種因頂端質(zhì)點質(zhì)量和剛度突變，而導(dǎo)致頂端巨大反應(yīng)的現(xiàn)象，稱為鞭梢效應(yīng)。如n=90，則147柔度法y1(t)設(shè)解為y2(t)148令149主振型主頻率150例題：簡支梁在三分點處有兩各相等的集中質(zhì)量m，不計梁本身重量，梁的抗彎剛度為EI，求自振頻率和振型。mmEIl/3l/3l/32l/92l/9151152多自由度體系分析方法與兩自由度體系分析方法一樣1自振頻率2主振型第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動3、多自由度體系的頻率和振型153自振頻率與主振型一一對應(yīng)振型只表明振動的形狀，不能唯一確定其幅值振型是多自由度特有的概念注意方法2：規(guī)定振型

i滿足3振型的標(biāo)準(zhǔn)化補充條件，使主振型用確定的幅值表示方法1：規(guī)定振型中某元素為1，其它元素就是相對于它的比值。通常選第一個元素或最大一個元素，令其等于1。第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動3、多自由度體系的頻率和振型154某自由振動的解它的線性組合也是自由振動的解任意初始條件下的位移解答均可用全部振型的線性組合表示第五節(jié)無阻尼多自由度體系的自由振動4、多自由度體系自由振動的通解155矢量代數(shù)的兩個矢量點積等于0，即稱兩個矢量垂直矩陣代數(shù)的兩個n維向量存在如下關(guān)系，即稱兩個向量正交第六節(jié)多自由度體系振型的正交性1、正交的概念156n

自由度體系的n

個振型向量中，對應(yīng)于不同自振頻率的振型之間存在著對質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。第六節(jié)多自由度體系振型的正交性2、振型向量的正交性157正交性證明第六節(jié)多自由度體系振型的正交性2、振型向量的正交性158

振型關(guān)于質(zhì)量、剛度矩陣正交的進(jìn)一步推廣振型方程所以有因為稱為振型關(guān)于矩陣[K][M]-1[K]正交第六節(jié)多自由度體系振型的正交性2、振型向量的正交性159同理第六節(jié)多自由度體系振型的正交性2、振型向量的正交性160按此思路繼續(xù)，可證明類似地:式中n是正整數(shù)。第六節(jié)多自由度體系振型的正交性2、振型向量的正交性161第i階振型的慣性力第i階振型的慣性力在第j階振型的位移上所作的虛功為零，也即某振型產(chǎn)生的慣性力在其它振型上不作功。第六節(jié)多自由度體系振型的正交性3、振型正交性的物理解釋162

可利用振型的正交性驗證所求振型的正確性。

利用振型求振型對應(yīng)的自振頻率。第六節(jié)多自由度體系振型的正交性4、振型正交性的利用163

位移的分解任意給定位移向量，利用振型的正交性，均可將其分解成n

個振型的線性組合。第六節(jié)多自由度體系振型的正交性4、振型正交性的利用164

將多自由度體系變換成多個單自由度求解第六節(jié)多自由度體系振型的正交性4、振型正交性的利用165

自由振動初值確定第六節(jié)多自由度體系振型的正交性4、振型正交性的利用166例題：檢驗框架結(jié)構(gòu)振型的正確性m2m1h2h1第六節(jié)多自由度體系振型的正交性5、多自由度體系振型正交性應(yīng)用舉例167例題：已知三層框架結(jié)構(gòu)前兩個振型求頻率。m1=180

103kgm2=1.5m1m3=1.5m1k1=98

103kN/mk2=2k1k3=2.5k11681、首先求第三振型m1=180

103kgm2=1.5m1m3=1.5m1k1=98

103kN/mk2=2k1k3=2.5k11692、求廣義質(zhì)量3、求廣義剛度1704、求各階圓頻率1715、若有一位移向量，如何用前述振型進(jìn)行分解172第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動173

共振分析如果就會出現(xiàn)共振。在n個自由度的振動中，當(dāng)外界干擾力的頻率等于體系的任意一階自振頻率時，都會出現(xiàn)共振，即體系存在n個共振點。共振使體系產(chǎn)生較大變形，使用壽命受到影響；但也可以通過共振測量體系的固有頻率，又可以利用共振曲線，用功率譜法可以測定體系的阻尼比。第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動174

特例分析在簡諧激振力作用下的穩(wěn)態(tài)振動，兩質(zhì)點都做簡諧振動。代入方程，消去共同因子并整理第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動175第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動1761、

0時，方程趨于靜力方程，相當(dāng)于靜載。2、

時，質(zhì)點位移趨于零，相當(dāng)于靜止。3、

1或

2時，位移變得很大，系統(tǒng)將產(chǎn)生共振。對應(yīng)兩個頻率有兩個共振點。第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動1775、當(dāng)將激振力幅值和慣性力幅值同時加在結(jié)構(gòu)上時，位移和內(nèi)力幅值的計算可按靜力法進(jìn)行。4、質(zhì)點的慣性力

說明在不計阻尼時，位移和慣性力同步.

第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動178考慮僅在1點作用激振力如果

吸振原理則有F01sin(

t)k2m2ABk1m1第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動179吸振原理表明：

為減少單自由度主體結(jié)構(gòu)的振動，可適當(dāng)?shù)馗郊淤|(zhì)量－彈簧子系統(tǒng)，只要合理設(shè)計就可以消除主體結(jié)構(gòu)的振動。該原理已被應(yīng)用于工程的調(diào)頻質(zhì)量阻尼系統(tǒng)和調(diào)頻液體阻尼系統(tǒng)等結(jié)構(gòu)控制技術(shù)中。第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動1801正則坐標(biāo)（廣義坐標(biāo)）此前討論的是在幾何坐標(biāo)系下，討論質(zhì)點位移。問題是方程出現(xiàn)耦聯(lián)，需聯(lián)立求解方程，自由度較多時求解工作很繁重。通過變換，可將幾何坐標(biāo)換成同樣數(shù)目的其它坐標(biāo)。希望在新坐標(biāo)系下聯(lián)立方程組將變成每個方程只含一個未知量的解耦方程組。線性變換保證單值關(guān)系（線性無關(guān)）第七節(jié)多自由度體系受迫振動2、任意荷載作用下的無阻尼受迫振動181取幾何意義表明體系中每個質(zhì)點的位移由兩個固有振型線性疊加而成，故稱振型疊加法；又可理解為任意位移可按振型分解，故又稱振型分解法。v1,v2稱正則坐標(biāo)。則第七節(jié)多自由度體系受迫振動2、任意荷載作用下的無阻尼受迫振動182

正則方程的推導(dǎo)每個方程只含一個正則坐標(biāo)，相當(dāng)于單自由度體系運動方程。

第七節(jié)多自由度體系受迫振動2、任意荷載作用下的無阻尼受迫振動183

正則方程的解

的確定

第七節(jié)多自由度體系受迫振動2、任意荷載作用下的無阻尼受迫振動1841形成[M]，[K](或[

])；利用頻率方程計算頻率。2由3依次計算4建立并求解5求幾何坐標(biāo)下的動位移6求出幾何坐標(biāo)下的動位移后，可求其它動反應(yīng)。2振型疊加法計算動力反應(yīng)的步驟

第七節(jié)多自由度體系受迫振動2、任意荷載作用下的無阻尼受迫振動185例題：已知解(1)確定自振頻率和主振型

mmEIl/3l/3l/3FP(t)186(2)建立座標(biāo)變換關(guān)系

187(3)求廣義質(zhì)量

(4)求廣義荷載

188(5)求廣義座標(biāo)189(6)求質(zhì)點位移

注：在一般激振荷載作用下，任一時刻的位移主要由前幾階振型分量組成，高階振型影響較小，在保持精度條件下，可忽略高階振型的影響。190任意時刻的位移幅值是否為兩個振型幅值的疊加？mmEIl/3l/3l/3F(t)191(8)討論

第二主振型分量的影響比第一主振型分量的影響小得多；

第一主振型分量和第二主振型分量并不同時達(dá)到最大值，因此在求位移或彎矩的最大值時，不能簡單地把兩個分量的最大值相加；

主振型疊加法可以將多自由度體系的動力反應(yīng)問題變?yōu)橐幌盗邪粗髡裥头至空駝拥膯巫杂啥润w系的動力反應(yīng)問題。高階振型的影響相對很小，故只計算前2-3振型影響即可得到滿意的結(jié)果。192無阻尼結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生振動時，結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力將由動荷載和慣性力共同作用產(chǎn)生。第七節(jié)多自由度體系受迫振動3、無阻尼結(jié)構(gòu)動內(nèi)力計算193當(dāng)結(jié)構(gòu)受簡諧荷載作用產(chǎn)生無阻尼振動時，由振動產(chǎn)生的慣性力隨時間的變化與外荷載同步。因此，在計算結(jié)構(gòu)最大內(nèi)力時可將由荷載幅值產(chǎn)生的內(nèi)力與慣性力幅值產(chǎn)生的內(nèi)力直接相加。慣性力幅值可通過上式直接計算而不必先求位移再作計算。但是，對于任意荷載作用引起的振動，必須先計算位移向量，再計算慣性力。第七節(jié)多自由度體系受迫振動3、無阻尼結(jié)構(gòu)動內(nèi)力計算194例題：求動彎矩

質(zhì)點受力分析

mmF(t)195mmF2P(t)F1P(t)196F0sintllm2m1EIEIEIEIEI例題：求動彎矩

197F0sint2578040140198設(shè)通常阻尼矩陣對振型不正交，也即則式(a)將是聯(lián)立的微分方程組，求解將是很困難的。(a)第七節(jié)多自由度體系受迫振動4、有阻尼結(jié)構(gòu)受迫振動199引入阻尼假設(shè)第j階振型的廣義阻尼系數(shù)第j

階振型的廣義阻尼比第七節(jié)多自由度體系受迫振動4、有阻尼結(jié)構(gòu)受迫振動200第七節(jié)多自由度體系受迫振動4、有阻尼結(jié)構(gòu)受迫振動201運動方程中引入了阻尼矩陣[C]，其元素cij的物理意義為：第j個位移方向有單位速度(其他質(zhì)量位移方向的速度為零)所引起的第i個位移方向的阻尼力，稱為阻尼影響系數(shù)(damplnginfluencecoefficient)。然而，在處理實際問題時，要直接確定阻尼影響系數(shù)是十分困難的。

在振型疊加法對運動方程進(jìn)行處理時，為了使方程解耦，假設(shè)體系的阻尼矩陣對振型滿足正交性條件,并引入了廣義阻尼系數(shù)。雖然如此，但如何確定阻尼影響系數(shù)仍是一個尚未解決的問題。第七節(jié)多自由度體系受迫振動5、有關(guān)阻尼矩陣的補充說明202下面介紹[C]的一種構(gòu)成方法:引入Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下也即認(rèn)為阻尼和系統(tǒng)質(zhì)量、剛度成正比，

與

可用振型正交性由阻尼比

i，

j和頻率

i，

j確定。第七節(jié)多自由度體系受迫振動5、有關(guān)阻尼矩陣的補充說明203第八節(jié)頻率和振型的實用計算法根據(jù)能量守恒原理，線性體系作無阻尼振動時，由于沒有能量的輸入和耗散，因此在任意時刻體系的總能量保持不變。變形能＋動能＝常數(shù)2041、單自由度體系體系的位移體系的速度第八節(jié)頻率和振型的實用計算法205當(dāng)體系振動位移達(dá)到最大時速度為零，此時勢能最大，動能為零；而當(dāng)體系振動速度達(dá)到最大時位移為零（靜平衡位置），此時動能最大，勢能為零。這一方法稱為瑞利法(Rayleighmethod)。1、單自由度體系第八節(jié)頻率和振型的實用計算法206按某一頻率

i無阻尼自由振動的位移解為:則：因此：根據(jù)能量守恒，有2、多自由度體系第八節(jié)頻率和振型的實用計算法207進(jìn)一步可表示成：這一結(jié)果只有理論意義，因為體系的振型在頻率未求得以前同樣是未知的通過假設(shè)一個滿足位移邊界條件的近似位移，可以求得一個近似計算結(jié)果。低階的振型容易假設(shè)。設(shè)近似位移：則：第八節(jié)頻率和振型的實用計算法2、多自由度體系208第八節(jié)頻率和振型的實用計算法2、多自由度體系所設(shè)近似位移要滿足體系的約束條件，計算精度取決于近似位移與真實振型的接近程度，當(dāng)它們完全相等時，計算結(jié)果就是精確解。如果假設(shè)的位移函數(shù)是某種外力引起的位移，則變形能也可用外力功來計算。209體系的第一階振型的形狀通常可以根據(jù)經(jīng)驗給出較為準(zhǔn)確的假設(shè)。

圖示兩層剛架，已知橫梁為剛性，各立柱的抗彎剛度EI=6.0106N·m2

，立柱的質(zhì)量忽略不計，橫梁的質(zhì)量m1=m2=5000kg，每層的高度5m。用能量法確定剛架的基本頻率。ll第八節(jié)頻率和振型的實用計算法2、多自由度體系210解法一由剛度系數(shù)和層間剛度的定義211由剛度系數(shù)和層間剛度的定義212由層間位移的定義213由最大變形能等于外力功精確解=10.050rad/s-1誤差2.6%214解法二將運動質(zhì)量對應(yīng)的重量沿振動方向作用在結(jié)構(gòu)上，取由此產(chǎn)生的靜位移作為近似的第一振型。215由最大變形能等于外力功精確解=10.050rad/s-1誤差0.07%兩種方法的計算結(jié)果表明：將運動質(zhì)量對應(yīng)的重量沿振動方向作用，取由此產(chǎn)生的靜位移作為近似的第一階振型，能量法所得到的結(jié)構(gòu)基本頻率具有相當(dāng)高的精度。216例題：瑞利法計算三層剪切剛架的第一階頻率解:

設(shè)以各層重量作為水平荷載作用在各樓層，質(zhì)點水平位移作為第一振型中該點坐標(biāo)的近似值。

用外力功代替彈性能217(1.35%)

假設(shè)振型如果邊界條件滿足的好，計算精度就高

近似解均高于精確解。這是因為假設(shè)質(zhì)量位移與實際振型有出入，相當(dāng)于在體系上施加了某些約束，從而增大了體系的剛度，故所得頻率值增大。

用能量法通過假設(shè)體系的第一振型，可以求得體系的第一頻率。以體系運動質(zhì)量的自重沿運動方向作用下的靜位移作體系近似的第一振型，可得較好的結(jié)果。218對于連續(xù)質(zhì)量分布的無限自由度體系，設(shè)體系以

作自由振動，其振幅曲線Y(x)第八節(jié)頻率和振型的實用計算法3、無限自由度體系*219第八節(jié)頻率和振型的實用計算法3、無限自由度體系*220若體系上還有幾個集中質(zhì)量，則瑞利(Rayleigh)

法自由振動頻率計算公式第八節(jié)頻率和振型的實用計算法3、無限自由度體系*221當(dāng)取結(jié)構(gòu)的自重沿振動方向作用所產(chǎn)生的靜位移作為第一階振型的近似時，公式的分子中代表變形能的項可用重力沿位移方向所作的外力功來代替。第八節(jié)頻率和振型的實用計算法3、無限自由度體系*222

這里如果振型已知，代入瑞利公式可得對應(yīng)頻率的精確解；如果振型未知，可假設(shè)一近似振型，代入瑞利公式求頻率的近似解。由于低階振型較容易假定，故用瑞利公式求低階頻率精度較高。

應(yīng)盡量滿足體系的邊界條件幾何邊界條件力的邊界條件注意第八節(jié)頻率和振型的實用計算法3、無限自由度體系*223

的選取方法用某荷載的靜撓度曲線作為用均布荷載和集中荷載作用下的靜撓度曲線作為第八節(jié)頻率和振型的實用計算法3、無限自由度體系*224解:

1設(shè)曲線滿足幾何邊界條件和梁端彎矩條件，但不滿足梁端剪力條件。例題：求圖示梁的基本頻率(1.9%)第八節(jié)頻率和振型的實用計算法3、無限自由度體系*2252取均布荷載作用下的撓度曲線滿足全部邊界條件。(0.4%)2261、無限自由度體系對任意一個滿足位移邊界條件的位移函數(shù)Y(x),定義瑞利比瑞利比的值完全由所選的位移函數(shù)Y(x),確定。第八節(jié)頻率和振型的實用計算法4、瑞利比227選擇n個彼此獨立且又都滿足體系位移邊界條件的已知位移函數(shù)（又稱基函數(shù)）的線性組合表示某位移。則瑞雷比的值又可表示成:第八節(jié)頻率和振型的實用計算法4、瑞利比2282、多自由度體系對任意一個位移幅值向量{Y},定義瑞利比選擇n個彼此獨立且又都滿足體系位移邊界條件的基向量的線性組合表示某位移幅值。第八節(jié)頻率和振