材料中的擴散課件

第五章材料中的擴散四川理工學院材料系楊瑞嵩9/12/2023第五章材料中的擴散四川理工學院材料系1WhyStudyDiffusion？我們常采用熱處理（heattreatment）來提高材料的性能，而在熱處理過程中總是伴隨著原子的擴散（atomicdiffusion）。有時候需要增強原子擴散，而有時候需要抑制原子擴散。利用擴散數(shù)學公式及適當?shù)臄U散常數(shù)（diffusionconstant）可以預測熱處理的溫度、時間和冷卻速率。擴散對于材料的加工過程具有重要影響！Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5DiffusionWhyStudyDiffusion？我們常采用熱處理（WhyStudyDiffusion？經(jīng)過表面硬化處理（casehardening）后的齒輪表層和內(nèi)部顏色存在明顯差異Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5DiffusionWhyStudyDiffusion？經(jīng)過表面硬化處理（c§5.0概述由熱運動導致原子或分子在介質(zhì)中遷移的現(xiàn)象叫擴散。是固體中質(zhì)量傳輸?shù)奈ㄒ煌緩?；是影響材料的微觀組織（micro-structure）和性能（property）的重要過程因素。擴散研究解決兩個問題：擴散速率及其宏觀規(guī)律。擴散微觀機理，即擴散過程中原子或分子的具體遷移方式。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.0概述由熱運動導致原子或分子在介質(zhì)中遷移的現(xiàn)象叫擴散§5.0概述擴散的分類（1）根據(jù)有無濃度變化自擴散：原子經(jīng)由自己元素的晶體點陣而遷移的擴散。(如純金屬或固溶體的晶粒長大-無濃度變化。)互擴散：原子通過進入對方元素晶體點陣而導致的擴散。有濃度變化。（2）根據(jù)擴散方向下坡擴散：原子由高濃度處向低濃度處進行的擴散。上坡擴散：原子由低濃度處向高濃度處進行的擴散。（3）根據(jù)是否出現(xiàn)新相原子擴散：擴散過程中不出現(xiàn)新相。反應擴散：由此導致形成一種新相的擴散。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.0概述擴散的分類Dr.R.S.Yang§5.0概述擴散機制：間隙原子的擴散：←間隙式擴散機制置換式固溶體中的擴散：←空位擴散機制擴散問題的研究方法：表象理論：通過一些宏觀測量參數(shù)來描述擴散過程；原子理論：通過研究擴散的微觀機制來研究擴散過程。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.0概述擴散機制：Dr.R.S.Yang§5.1擴散定律及其應用擴散定律：也稱菲克(A.Fick)定律，闡述在各向同性介質(zhì)中擴散過程的定量關系?！?.1.1菲克第一定律（Fick’sfirstlaw）

為了描述擴散過程，引入擴散通量和濃度梯度。

Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1擴散定律及其應用擴散定律：也稱菲克(A.Fick)Diffusionflux

(J),definedasthemass(or,equivalently,thenumberofatoms)Mdiffusingthroughandperpendiculartoaunitcross-sectionalareaofsolidperunitoftime.Concentrationversusdistance→concentrationprofile，theslopeataparticularpointistheconcentrationgradient.Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5DiffusionDiffusionflux(J),definedas§5.1擴散定律及其應用A，面積；t，時間J不隨時間而改變，穩(wěn)態(tài)擴散（steady-statediffusion）Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1擴散定律及其應用A，面積；t，時間Dr.R.S.§5.1擴散定律及其應用菲克第一定律（Fick’sFirstLaw）在單位時間內(nèi)通過垂直擴散方向的單位截面積的擴散物質(zhì)量（擴散通量）與該截面處的濃度梯度成正比。簡便起見，僅考慮單向擴散問題。設擴散沿x軸方向進行，有數(shù)學表達式：擴散通量的量綱：[J]=kg·m-2·s-1或mol·m-2·s-1負號表示擴散方向與濃度梯度方向C/x相反D稱為擴散系數(shù)（diffusioncoefficient）Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1擴散定律及其應用菲克第一定律（Fick’sFir菲克第一定律（Fick’sFirstLaw）設原子的跳動頻率為

(單位時間內(nèi)的跳動次數(shù))。在△t時間內(nèi)，(Fick’sFirstLaw)D:擴散系數(shù)。單位：m2.s-1。①②J1J2C1C2

Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion菲克第一定律（Fick’sFirstLaw）設原子的§5.1擴散定律及其應用菲克第二定律（Fick’ssecondlaw）非穩(wěn)態(tài)擴散，即擴散過程中各點的濃度隨時間變化，則菲克第一定律將不適用，此時需要菲克第二定律。Concentrationprofilesfornonsteady-statediffusiontakenatthreedifferenttimes,t1,t2,andt3.Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1擴散定律及其應用菲克第二定律（Fick’ssec菲克第二定律當擴散過程是非穩(wěn)態(tài)擴散，即擴散過程中各點的濃度隨時間變化，則菲克第一定律將不適用，此時需要菲克第二定律。沿擴散方向取一個小的體積元，其厚度為dx，截面積為A。設dt時間內(nèi)流入、流出此小體積元的擴散通量分別為J1和J2，則：(Fick’sSecondLaw)dxJ1J2A流入體積元內(nèi)物質(zhì)的量為：流出體積元內(nèi)物質(zhì)的量為：∴體積元內(nèi)濃度的改變?yōu)椋篋r.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion菲克第二定律當擴散過程是非穩(wěn)態(tài)擴散，即擴散過程中各點的濃度§5.1.3擴散方程的求解菲克第二定律：通常擴散系數(shù)D是成分的函數(shù)。但為了數(shù)學上處理的方便，在很多情況下可以忽略成分對D的影響，近似認為D為常數(shù)。則菲克第二定律可化為：擴散方程偏微分方程①變量代換法②分離變量法③積分變換法常微分方程代數(shù)方程偏微分方程的求解：Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1.3擴散方程的求解菲克第二定律：通常擴散系數(shù)D是成變量代換法求解擴散方程玻爾茲曼變換：將上式待入擴散方程，可得：常微分方程Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion變量代換法求解擴散方程玻爾茲曼變換：將上式待入擴散方程，可得

變量代換法求解擴散方程xy0高斯誤差函數(shù)：易知：Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion變量代換法求解擴散方程xy0高斯誤差函數(shù)：易知：Dr.R由表中可以看出，高斯誤差函數(shù)收斂的很快。這主要是因為exp(-

2)函數(shù)很快下降到0。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion由表中可以看出，高斯誤差函數(shù)收斂的很快。這主要是因為exp(變量代換法求解擴散方程至此，可得擴散方程的解為：或：其中A1、A2為待定常數(shù)，可通過邊界條件和初始條件定出。擴散方程解的應用：

固定t：可求出時刻t時，沿擴散方向上各點的濃度分布；

固定x：可求出擴散過程中，x位置處的濃度隨時間的變化。注意: 變量代換法求解擴散方程雖然簡單，但它只適用于求解 具有特殊的邊界條件的擴散問題，如無限長，邊界處成 分固定等。對于一般邊界條件的擴散問題，需要用分離 變量法或積分變換法進行求解。這一點大家有興趣的話 可以自己查資料。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion變量代換法求解擴散方程至此，可得擴散方程的解為：或：其中A1無限長擴散偶的擴散問題C2C1C2C1t=0Cxx0討論：①x=0處，②對于x>0，則對于x<0，則③對于x>0，t↑→

↓→erf()↓→C↑對于x<0，t↑→

↑→erf()↑→C↓t2t1§5.1.3擴散方程的求解Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion無限長擴散偶的擴散問題C2C1C2C1t=0Cxx0討論§5.1.3擴散方程的求解一端成分不變的擴散問題（此問題可作為滲碳過程的簡單模型）C0Csx0邊界條件:t>0,邊界條件用

作變量可表示為：x0CCsC0t=0t1t2Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1.3擴散方程的求解一端成分不變的擴散問題（此問題可作§5.1.3擴散方程的求解一端成分不變的擴散問題C0Csx0x0CCsC0t=0t1t2討論：某一成分Cf達到某一深度x所 需要的時間。Cfx1x2Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1.3擴散方程的求解一端成分不變的擴散問題C0Csx0§5.1.4置換式固溶體中的擴散前面的討論只適用于間隙式擴散及自擴散過程。本節(jié)將討論置換式固溶體中的擴散問題（即互擴散問題）。

關于置換式固溶體中原子的擴散機制：過去人們認為，在置換式固溶體中原子的擴散是通過溶質(zhì)原子和溶劑原子的直接交換來實現(xiàn)的（即交換機制）。對于置換式擴散還提出了另一種機制：空位機制，即置換原子的擴散是借助空位來實現(xiàn)的。

下面將要介紹研究置換式擴散的一個重要實驗:柯肯道爾實驗。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1.4置換式固溶體中的擴散前面的討論只適用于間隙式擴散§5.1.4置換式固溶體中的擴散柯肯道爾（Kirkendall）實驗（1947）實驗結(jié)果：隨著時間，w在減小。Cu+30%ZnCuT=785℃Mo絲（起標志面的作用）w類似的現(xiàn)象在Cu-Sn,Cu-Ni,Cu-Au,Au-Ag以及Ag-Zn系中也被發(fā)現(xiàn)。分析可能的原因？按交換機制進行，由于原子半徑不同造成標志面移動。

rCu=1.278A,rZn=1.332A.按空位機制進行，兩種組元擴散速度不同。DZn>DCu←但在定量上與實驗結(jié)果不符?？驴线_爾實驗否定了交換機制，揭示出置換式擴散是通過空位機制來進行的。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1.4置換式固溶體中的擴散柯肯道爾（Kirkenda§4.1.4置換式固溶體中的擴散達肯公式（DarkenEquation）（1948）Darken首先對柯肯達爾實驗進行了定量分析，提出了適用于互擴散問題的Darken公式。下面給出推導過程。設vm為標志面的移動速度；vim為i組元相對于標志面的移動速度;則i組元的實際擴散速度(相對于固定坐標系)的移動速度vi=vm+vim

∴i組元的擴散通量Ji=viCi

（Ci為i組元的濃度）JAm為A原子相對于標志面的擴散流，又稱為本征擴散。ABJAJBvmDr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§4.1.4置換式固溶體中的擴散達肯公式（Darken§5.1.4置換式固溶體中的擴散達肯公式（DarkenEquation）在擴散過程中，假設材料的密度保持不變，則Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1.4置換式固溶體中的擴散達肯公式（Darken§5.1.4置換式固溶體中的擴散達肯公式（DarkenEquation）達肯公式的討論：①←A原子相對于固定坐標系的擴散通量←A原子相對于標志面的擴散通量②互擴散系數(shù)

（沒有實際的物理意義）僅對稀固溶體(XA→0或XB→0)時，Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1.4置換式固溶體中的擴散達肯公式（Darken§5.1.4置換式固溶體中的擴散問題討論:兩個擴散偶中的標志面在擴散過程中是否移動？如果移動，朝什么方向移動？（鋼是指含有少量碳的鐵）CuZn鋼純鐵Mo絲由于擴散偶兩邊C的濃度不同,所以將發(fā)生C的擴散。但C原子在鐵中處于間隙位置,它通過間隙式擴散機制進行擴散。它的擴散并不影響溶劑晶格的數(shù)量和位置,所以標志面不會發(fā)生移動。CuZnJCuJZn擴散偶中Cu和Zn將向兩邊擴散，由于Cu和Zn形成置換式固溶體，所以它們通過空位機制進行擴散。由于它們的擴散速度不同（JZn>JCu）,標志面將向Zn一端移動。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.1.4置換式固溶體中的擴散問題討論:兩個擴散偶中的§5.2擴散的熱力學分析什么引起了擴散？

濃度的不均勻

能量的不均勻

擴散的目的是為了使系統(tǒng)的能量（Gibbs自由能）降低。擴散的原因是因為體系能量的不均勻，即擴散的驅(qū)動力來自體系的化學勢（偏摩爾吉布斯自由能）梯度?！鄶U散通量J應表示為：（注意和菲克第一定律的區(qū)別：）Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.2擴散的熱力學分析什么引起了擴散？濃度的不均勻§5.2擴散的熱力學分析AB二元合金擴散時自由焓變化a）擴散偶b）下坡擴散時成分自由焓變化c）擴散偶d）上下坡擴散時成分自由焓變化e）下坡擴散時成分化學位變化f）上下坡擴散時成分化學位變化Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.2擴散的熱力學分析AB二元合金擴散時自由焓變化Dr§5.2擴散的熱力學分析由此可知，即使材料中濃度均勻，但如果體系中各處能量不均勻，同樣會出現(xiàn)原子的擴散，從而導致濃度不均勻（偏析現(xiàn)象）。如應變能經(jīng)常導致間隙原子和雜質(zhì)原子在晶界出偏聚；離子晶體中的離子在電場中定向移動(即擴散)，造成離子濃度分布不均勻。等等……Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.2擴散的熱力學分析由此可知，即使材料中濃度均勻，但§5.3擴散的原子理論擴散機制1、間隙擴散機制2、交換擴散機制3、空位擴散機制間隙機制空位機制交換機制直接交換環(huán)形換位實驗結(jié)果表明：間隙原子主要通過間隙機制進行擴散；置換式固溶體中原子主要通過空位機制進行擴散。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.3擴散的原子理論擴散機制1、間隙擴散機制間隙機制空§5.4擴散系數(shù)的微觀解釋我們前面推導菲克第一定律時給出過擴散系數(shù)D的表達式：

：原子的跳動頻率；d：沿擴散方向的面間距。擴散系數(shù)更一般表達式為：P為與晶體結(jié)構(gòu)以及擴散方向有關的一個常數(shù)。對于具有立方結(jié)構(gòu)的多晶體材料，平均所有的擴散方向，則P＝1/6。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.4擴散系數(shù)的微觀解釋我們前面推導菲克第一定律時給出過§5.4擴散系數(shù)的微觀解釋先討論間隙式擴散的擴散系數(shù)

為間隙原子的振動頻率；Zi為間隙位置配位數(shù)。12△G(Q:擴散激活能)(D0:擴散常數(shù))Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.4擴散系數(shù)的微觀解釋先討論間隙式擴散的擴散系數(shù)為間§5.4擴散系數(shù)的微觀解釋討論置換式擴散的擴散系數(shù)：Z為配位數(shù)；f為相關因子(f<1)。(Q:擴散激活能；Qv:空位形成能)XV為空位濃度，由于QSD》QID，所以間隙式擴散要比置換式擴散快的多。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.4擴散系數(shù)的微觀解釋討論置換式擴散的擴散系數(shù)：Z為§5.4擴散系數(shù)的微觀解釋擴散系數(shù)的一般表達式：對于不同的擴散機制，擴散常數(shù)D0和擴散激活能Q不同；擴散系數(shù)對溫度非常敏感。擴散系數(shù)的一般表達式：擴散激活能的測定：1/TlnD實驗中測出不同溫度下的DDr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.4擴散系數(shù)的微觀解釋擴散系數(shù)的一般表達式：對于不同§5.5無規(guī)行走與擴散距離擴散原子的運動類似布朗運動，原子可以向各個方向隨機跳躍，稱為“無規(guī)行走”，也稱為“醉步行走”。設一個擴散原子每次跳躍的距離為r，則可以證明作了n次跳躍后，其相對于出發(fā)點的平均位移Rn為：例：鐵在925℃滲碳24h，已知925℃=1.7×109s-1，則：或∵擴散系數(shù)，而跳動頻率，如此可得：總的移動距離：實際的位移：Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.5無規(guī)行走與擴散距離擴散原子的運動類似布朗運動，原§5.6影響擴散的因素1、溫度∴T↑，D↑，D與T呈指數(shù)關系。

擴散系數(shù)：例如：碳在γ-Fe中的擴散： T=927℃時，D=1.61×10-11m2/s； T=1027℃時，D=4.74×10-11m2/s。在影響擴散的諸多因素中，溫度對擴散的影響最大。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.6影響擴散的因素1、溫度∴T↑，D↑，D與T呈§5.6影響擴散的因素2、固溶體的類型間隙原子→以間隙式擴散機制為主；置換原子→以空位擴散機制為主。例如：在溫度T=1200K時，

碳在γ-Fe中的擴散系數(shù)DC

=1.61×10-11m2/s； Ni在γ-Fe中的擴散系數(shù)DNi

=2.08×10-17m2/s。由于間隙式擴散的擴散能壘比空位擴散的擴散能壘要小的多，因此間隙原子的擴散比置換原子的擴散要快的多。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.6影響擴散的因素2、固溶體的類型間隙原子→以間§5.6影響擴散的因素3、晶體結(jié)構(gòu)致密度K：致密度K↑，擴散系數(shù)D↓；

如：bcc晶體中擴散速度大于fcc晶體中的。固溶度：固溶度↑，擴散系數(shù)D↑

；各向異性：僅在單晶體中需要考慮?！逥=Pd2，而不同面的P值和面間距d不同。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.6影響擴散的因素3、晶體結(jié)構(gòu)致密度K：致密度K↑，§5.6影響擴散的因素4、晶體缺陷在點、線、面缺陷（如位錯、晶界、表面等）處，原子規(guī)則排列受破壞，產(chǎn)生畸變，能量高，所需擴散激活能低，原子沿這些缺陷擴散的速率比沿晶內(nèi)體擴散速率大。所以這些缺陷稱為高速率擴散通道，在其中進行的擴散又稱為“短路擴散”。對于任何方式的擴散，擴散系數(shù)對與晶內(nèi)擴散Dl，表面擴散DS，晶界擴散Db和位錯擴散Dd，∵Ql>Qd>Qb>QS∴Dl<Dd<Db<DS在實際擴散過程中，各種擴散途徑都會起作用。但是由于各種途徑的數(shù)量不同，其對總的擴散通量貢獻不一樣。表觀擴散系數(shù)：Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.6影響擴散的因素4、晶體缺陷在點、線、面缺陷（如位§5.6影響擴散的因素4、晶體缺陷AgDr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.6影響擴散的因素4、晶體缺陷AgDr.R.S.§5.6影響擴散的因素5、化學成分單組元系統(tǒng)：

Tm↑→擴散能壘QD↑→擴散系數(shù)D↓；多組元系統(tǒng)（主要指溶質(zhì)的擴散）：濃度：濃度對D會有影響。通常濃度↑晶格畸變→D↑；某些元素的加入會改變?nèi)苜|(zhì)原子在系統(tǒng)中的穩(wěn)定性，從而影響到溶質(zhì)的擴散系數(shù)D。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.6影響擴散的因素5、化學成分單組元系統(tǒng)：Dr.R§5.6影響擴散的因素6、應力正應力>0(即拉伸應力)→擴散系數(shù)D↑;正應力<0(即壓縮應力)→擴散系數(shù)D↓。即使對于成分均勻的系統(tǒng)，如果應力不均勻，將導致原子擴散，從而引起成分的不均勻。如：雜質(zhì)原子會在位錯、晶界等缺陷處富集，正是由于應力不 均勻?qū)е碌臄U散造成的。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.6影響擴散的因素6、應力正應力>0(即拉伸應§5.7反應擴散反應擴散：通過擴散使固熔體內(nèi)的熔質(zhì)組元超過固熔極限而不斷形成新相的過程稱為反應擴散或相變擴散。該新相與原來的基體之間存在明顯的宏觀界面。鋼滲碳一般選在γ相區(qū)。由于γ-Fe的熔解度高，滲碳過程中的碳勢一般不會超過碳在γ-Fe中的熔解度，因此不會發(fā)生反應擴散。而碳在α-Fe中的熔解度很小，滲碳很容易發(fā)生反應擴散。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.7反應擴散反應擴散：通過擴散使固熔體內(nèi)的熔質(zhì)組元超§5.7反應擴散

純鐵棒在800oC單向滲碳：滲碳前，鐵棒組織為鐵素體α，滲碳過程中，表層因碳超過c1而相變?yōu)閵W氏體γ，即發(fā)生了反應擴散。此溫度下的兩相平衡成分可以由相圖確定。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.7反應擴散純鐵棒在800oC單向Dr.R.此后表層保持為γ相，當γ相端面碳濃度達到碳勢所對應的濃度Cs(C3)后將保持不變，而鐵素體與奧氏體的成分別保持C1和C2不變。整個鐵棒的碳濃度分布曲線如圖所示?！?.7反應擴散Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion此后表層保持為γ相，當γ相端面碳濃度達到碳勢所對應的濃度Cs滲碳溫度下，在C3~C2成分范圍內(nèi)的組織為單相γ區(qū)；在C1~C0成分范圍內(nèi)的組織為單相α區(qū)。兩個單相區(qū)由相界分開，并在界面處發(fā)生反應擴散。§5.7反應擴散γ相區(qū)的碳濃度分布為：α相區(qū)的碳濃度分布為：x’為以相界為原點的距離。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion滲碳溫度下，在C3~C2成分范圍內(nèi)的組織為單相γ區(qū)；在C1~§5.7反應擴散注意兩點：1、由于α相含碳量很低，所以α-γ過渡層很薄，可以忽略。計算滲碳層厚度時只考慮γ層厚度即可。2、α相與γ相有明顯界面，但沒有兩相混合區(qū)。原因是：平衡共存的兩個相雖然成分不同，但化學位相同，兩相之間的擴散驅(qū)動力為零。假如界面有兩相混合區(qū)，因擴散驅(qū)動力為零，便不存在宏觀擴散流，反應擴散將在此中斷。這和實際不符。Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.7反應擴散注意兩點：Dr.R.S.Yang§5.8離子晶體中的擴散離子晶體中擴散與其點缺陷密切相關。離子晶體的點缺陷分為本征點缺陷和摻雜點缺陷：

本征點缺陷（濃度對溫度很敏感）肖特基缺陷：等量的陽離子空位和陰離子空位弗蘭克爾缺陷：等量的間隙離子和離子空位

摻雜點缺陷（濃度取決與摻雜濃度，與溫度無關）Dr.R.S.Yang9/12/2023Chapter5Diffusion§5.8離子晶體中的