數(shù)學(xué)人教A版（新課標(biāo)）高中必修第一冊 《5.3誘導(dǎo)公式》第2課時參考教案

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第二課時

誘導(dǎo)公式的重要作用是把求任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值問題．誘導(dǎo)公式中的公式五的推導(dǎo)過程，使學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點，把單位圓的性質(zhì)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化思想方法，反映了從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納思維形式，而公式六的推導(dǎo)過程，使學(xué)生能用已有公式二至五，運用角的變換進行演繹推演，使培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)落到實處．

1．在誘導(dǎo)公式二至四推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式五并能借助公式推演得到公式六；

2．借助單位圓中的對稱關(guān)系及三角函數(shù)定義的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生形數(shù)結(jié)合，歸納轉(zhuǎn)化的思想方法；同時借助公式的結(jié)構(gòu)特點培養(yǎng)學(xué)生從未知到已知、復(fù)雜到簡單的化歸思想；

3．通過對公式的推導(dǎo)過程，以及通過理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并能應(yīng)用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

教學(xué)重點：誘導(dǎo)公式五、六的推導(dǎo)探究，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用；

教學(xué)難點：發(fā)現(xiàn)終邊與角的終邊關(guān)于直線對稱的角與之間的數(shù)量關(guān)系．

1．教學(xué)問題：

（1）如何把角終邊關(guān)于直線對稱的角的終邊幾何對稱關(guān)系與角的數(shù)量關(guān)系對應(yīng)起來是一個教學(xué)問題，處理這個問題主要利用信息技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生歸納不同象限角的情況，再以第一象限角為例發(fā)現(xiàn)角的關(guān)系，此過程強調(diào)歸納轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理素養(yǎng)；

（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式解決相關(guān)三角函數(shù)值的求解、化簡、證明等是一個教學(xué)問題，處理這個問題主要是引導(dǎo)學(xué)生在理解公式的基礎(chǔ)上適量典型例題的推演．

2．教學(xué)支持條件

（1）誘導(dǎo)公式一至四推導(dǎo)方法和公式本身是本節(jié)誘導(dǎo)公式的重要基礎(chǔ)和鋪墊．

（2）充分利用“智慧課堂”教學(xué)系統(tǒng)，及時了解學(xué)生思維信息，根據(jù)學(xué)生的思維狀態(tài)生成教學(xué)過程，充分利用智慧課堂的作業(yè)平臺，及時反饋檢測信息．

【問題1】上節(jié)課學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式二到公式四，大家還記得是哪幾個公式嗎？

【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)回顧三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式二到公式四，讓學(xué)生進一步體會這幾個公式分別體現(xiàn)了，，與角之間的關(guān)系：

【預(yù)設(shè)師生活動】

（1）引導(dǎo)學(xué)生回想公式記憶規(guī)律，同時上傳公式二至四；

（2）引導(dǎo)學(xué)生回想公式推導(dǎo)方法，同時上傳單位圓幾何圖示（兩個角的終邊特殊的對稱關(guān)系：1）終邊關(guān)于原點對稱；2）終邊關(guān)于軸對稱；3）終邊關(guān)于軸對稱）

【問題2】能畫出角關(guān)于直線對稱的角的終邊嗎？與角關(guān)于直線對稱的角怎樣表示？這兩個角的終邊上點的坐標(biāo)具有什么關(guān)系？

【設(shè)計意圖】在問題1的基礎(chǔ)上，提出問題，調(diào)動學(xué)生探索問題的積極性．讓學(xué)生經(jīng)歷由幾何直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)過程，體驗如何把角的終邊具有的特定位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系．

【預(yù)設(shè)師生活動】（1）引導(dǎo)學(xué)生探究：角在不同象限關(guān)于直線對稱的角的終邊情況；歸納討論出角關(guān)于直線對稱的角的終邊是；要求學(xué)生作圖上傳展示角在第一象限的情況，并共同得出點的坐標(biāo)的關(guān)系．

（2）引導(dǎo)學(xué)生思考：角關(guān)于直線對稱的角的終邊是上點的坐標(biāo)關(guān)系已知，角與的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？學(xué)生拍照上傳解答過程與結(jié)論．

設(shè)，則，有三角函數(shù)的定義得：

得誘導(dǎo)公式五：

【問題3】能否用已有公式得出的正弦、余弦與的正弦、余弦之間的關(guān)系式？能否用公式五的方法推導(dǎo)出以上關(guān)系式？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從公式的適用條件（任意角）出發(fā)，根據(jù)角的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造特殊性解決問題，體會演繹推理的過程，培養(yǎng)了邏輯推理素養(yǎng)；另外兩個角的終邊看成兩次對稱，再利用點的坐標(biāo)關(guān)系得出三角函數(shù)值的關(guān)系，進一步體會形數(shù)結(jié)合思想．

【預(yù)設(shè)師生活動】（1）學(xué)生討論并將推演結(jié)果上傳（可能不同作法）：

（公式六）

2）引導(dǎo)學(xué)生嘗試把角與角終邊看成兩次對稱，研究點的坐標(biāo)關(guān)系推導(dǎo)出公式六，學(xué)生上傳推導(dǎo)過程和方法．

角終邊與單位圓交點，則終邊與單位圓交點，又的終邊與的終邊關(guān)于軸對稱，故終邊與單位圓交點，于是

（公式六）

【問題4】你能總結(jié)公式五與六的記憶規(guī)律嗎？你能概況公式五與六的研究思路嗎？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概括，逐步養(yǎng)成自我總結(jié)規(guī)律，反思數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)慣．

【預(yù)設(shè)師生活動】學(xué)生討論概括，教師再總結(jié)：上面的公式五與六也稱為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；記憶規(guī)律：的三角函數(shù)值，等于的互余函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號．概括：函數(shù)名變余，符號看象限．

【問題5】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用研究

例1

（1）求證：

（2）化簡：

【設(shè)計意圖】這是三角函數(shù)值的證明與化簡，需要綜合運用公式的題目類型，讓學(xué)生熟悉公式，通過練習(xí)加深印象，逐步達(dá)到準(zhǔn)確、熟練、靈活應(yīng)用．

【預(yù)設(shè)師生活動】學(xué)生演練并上傳結(jié)果，同時討論歸納應(yīng)用誘導(dǎo)公式的注意事項．

例2已知f（α）＝．

（1）化簡f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos＝，求f（α）的值．

【設(shè)計意圖】這是綜合運用誘導(dǎo)公式和同角公式的題目類型，讓學(xué)生熟悉公式，通過練習(xí)加深印象，逐步達(dá)到熟練、正確地應(yīng)用．

【預(yù)設(shè)師生活動】學(xué)生演練并上傳結(jié)果，同時討論歸納方法：

[解]（1）f（α）＝

＝＝－cosα．

（2）因為cos＝－sinα，所以sinα＝－，

又α是第三象限角，所以cosα＝－＝－．所以f（α）＝．

【問題6】課堂小結(jié)，提高認(rèn)識

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生對本課內(nèi)容進行歸納小結(jié)，同時對六個誘導(dǎo)公式進一步概括．

【預(yù)設(shè)師生活動】引導(dǎo)學(xué)生從知識方法、思維思想進行總結(jié)，學(xué)生討論，共同歸納：

（1）誘導(dǎo)公式一～六揭示了終邊具有某種對稱關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)之間的關(guān)系．

（2）這六組誘導(dǎo)公式可歸納為“k·90°±α（k∈Z）”的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．當(dāng)k為偶數(shù)時得角α的同名三角函數(shù)值，當(dāng)k為奇數(shù)時得角α的互余三角