正弦定理余弦定理

一、選擇題1．一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線(xiàn)上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這只船的速度是每小時(shí)()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里[答案]C[解析]依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是eq\f(5,＝10(海里/小時(shí))．2．如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m \f(25\r(2),2)m[答案]A[解析]由題意知∠ABC＝30°由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．3．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()\f(17\r(6),2)海里/小時(shí) B．34eq\r(6)海里/小時(shí)\f(17\r(2),2)海里/小時(shí) D．34eq\r(2)海里/小時(shí)[答案]A[解析]如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/小時(shí))．4．為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓頂D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是()A．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m B．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)))mC．20(1＋eq\r(3))m D．30m[答案]A[解析]如圖所示，四邊形CBMD為正方形，而CB＝20(m)，所以BM＝20(m)．又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝eq\f(20,3)eq\r(3)(m)，∴AB＝AM＋MB＝eq\f(20,3)eq\r(3)＋20＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))(m)．5．如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線(xiàn)上，DC＝a，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是β、α(α<β)，則點(diǎn)A離地面的高AB等于()\f(asinαsinβ,sinβ－α) \f(asinαsinβ,cosβ－α)\f(acosαcosβ,sinβ－α) \f(acosαcosβ,cosβ－α)[答案]A[解析]在△ADC中，∠DAC＝β－α，由正弦定理，eq\f(AC,sinα)＝eq\f(a,sinβ－α)，得AC＝eq\f(asinα,sinβ－α).在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α).6．(文)(2022·濰坊)已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°，AB兩船距離為3km，則B到C的距離為()\r(19)km B．(eq\r(6)－1)kmC．(eq\r(6)＋1)km \r(7)km[答案]B[解析]由條件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，設(shè)BC＝xkm，則由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，∵x>0，∴x＝eq\r(6)－1.(理)一人向東走了xkm后轉(zhuǎn)向南偏西60°走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好eq\r(3)km，則x的值為()\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3[答案]C[解析]如圖所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得，(eq\r(3))2＝32＋x2－2×3×x×cos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq\r(3)，x2＝2eq\r(3).經(jīng)檢驗(yàn)均合題意．二、填空題7．海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C的距離是________．[答案]5eq\r(6)海里[解析]在△ABC中由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，∴BC＝5eq\r(6).8.我艦在島A南50°西12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正從島沿北10°西的方向以每小時(shí)10海里的速度航行，若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則速度為_(kāi)_______．[答案]14海里/小時(shí)[解析]設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為V，則在△ABC中，AC＝20，AB＝12，∠BAC＝120°.∴BC2＝784，∴V＝14海里/小時(shí)．三、解答題9.如圖A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？[解析]本題考查正余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，本題要結(jié)合圖像確定恰當(dāng)三角形進(jìn)行邊角的求解，求解過(guò)程中三角函數(shù)的變形，轉(zhuǎn)化是易錯(cuò)點(diǎn)，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°在△DAB中，由正弦定理得，eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°·cos60°＋sin60°·cos45°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝eq\f(30,30)＝1(小時(shí))．答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．[點(diǎn)評(píng)](1)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，要過(guò)好語(yǔ)言關(guān)，圖形關(guān)和數(shù)理關(guān)，考生在平時(shí)訓(xùn)練中要注意加強(qiáng)．(2)本題若認(rèn)定△DBC為直角三角形，由勾股定理正確求得CD，同樣可以.一、選擇題1．如圖，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100米到達(dá)B后，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°，若CD＝50米，山坡對(duì)于地平面的坡角為θ，則cosθ＝()\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)\r(3)－1 \f(\r(2),2)[答案]C[解析]在△ABC中，BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin45°－15°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))，在△BCD中，sin∠BDC＝eq\f(BCsin∠CBD,CD)＝eq\f(50\r(6)－\r(2)sin45°,50)＝eq\r(3)－1，由圖知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1.2．空中有一氣球，在它的正西方A點(diǎn)測(cè)得它的仰角為45°，同時(shí)在它南偏東60°的B點(diǎn)，測(cè)得它的仰角為30°，若A，B兩點(diǎn)間的距離為266米，這兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)均離地1米，那么測(cè)量時(shí)氣球到地面的距離是()\f(266\r(7),7)米 \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(266\r(7),7)＋1))米C．266米 D．266eq\r(7)米[答案]B[解析]如圖，D為氣球C在過(guò)AB且與地面平行的平面上的正投影，設(shè)CD＝x米，依題意知：∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，則AD＝x米，BD＝eq\r(3)x米．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即2662＝x2＋(eq\r(3)x)2－2x·(eq\r(3)x)·cos150°＝7x2，解得x＝eq\f(266\r(7),7)，故測(cè)量時(shí)氣球到地面的距離是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(266\r(7),7)＋1))米，故選B.二、填空題3．(2022·泰州模擬)一船向正北航行，看見(jiàn)正東方向有相距8海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線(xiàn)上．繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏東60°，另一燈塔在船的南偏東75°，則這艘船每小時(shí)航行________海里．[答案]8[解析]如圖，由題意知在△ABC中，∠ACO＝60°，∠ACB＝75°－60°＝15°，∴∠B＝15°，∴AC＝AB＝8.在Rt△AOC中，OC＝AC·sin30°＝4.∴這艘船每小時(shí)航行eq\f(4,\f(1,2))＝8海里．4．2009年8月9日，莫拉克臺(tái)風(fēng)即將登陸福建省霞浦縣，如圖，位于港口O正東方向20海里的B處的漁船回港避風(fēng)時(shí)出現(xiàn)故障．位于港口南偏西30°方向，距港口10海里的C處的拖輪接到海事部門(mén)營(yíng)救信息后以30海里/小時(shí)的速度沿直線(xiàn)CB去營(yíng)救漁船，則拖輪到B處需要________小時(shí)．[分析]求解本題的關(guān)鍵是把實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后再利用余弦定理解決．[答案]eq\f(\r(7),3)[解析]由題易知，∠BOC＝120°，因?yàn)锽C2＝OC2＋OB2－2·OC·OB·cos120°＝700，所以BC＝10eq\r(7)，所以拖輪到達(dá)B處需要的時(shí)間t＝eq\f(10\r(7),30)＝eq\f(\r(7),3)(小時(shí))．三、解答題5.如圖某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．(結(jié)果精確到1nmile)[解析](1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，解得CD＝8eq\r(3)≈14(nmile)．即A處與D處的距離為24nmile，燈塔C與D處的距離約為14nmile.6.(文)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處．小區(qū)里有兩條筆直的小路AD、DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)(精確到1米)．[解析]方法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意得CD＝500(米)，DA＝300(米)，∠CDO＝60°.在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°＝OC2，即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×eq\f(1,2)＝r2，解得r＝eq\f(4900,11)≈445(米)．方法二：如圖，連接AC，作OH⊥AC，交AC于H.由題意得CD＝500(米)，AD＝300(米)，∠CDA＝120°，△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos120°＝5002＋3002＋2×500×300×eq\f(1,2)＝7002，∴AC＝700(米)，cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2·AC·AD)＝eq\f(11,14).在Rt△HAO中，AH＝350(米)，cos∠HAO＝eq\f(11,14)，∴OA＝eq\f(AH,co∠HAO)＝eq\f(4900,11)≈445(米)．(理)如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向上相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線(xiàn)CB前往B處救援，求cosθ的值．[解析]如題中圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).由正弦定理得，eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－s