特殊平行四邊形中的折疊問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)-杭十中鄒丹

特殊平行四邊形中的折疊問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)杭十中鄒丹一、內(nèi)容和內(nèi)容解析在初中數(shù)學(xué)中，折疊是我們常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)問(wèn)題，在中考中常以選擇、填空的形式出現(xiàn)。這類問(wèn)題的解決是有規(guī)可循的，由于矩形的折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀及大小，因而在矩形的折疊變換中，保持了許多圖形定量的不變性，如圖形中線段的長(zhǎng)短不變，圖形中角的大小不變等。這些圖形定量的不變性，在初中幾何全等型問(wèn)題的解決中，具有很重要的運(yùn)用價(jià)值。折疊問(wèn)題中同時(shí)綜合了軸對(duì)稱、勾股定理、等腰三角形等知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的能力是一個(gè)很好的提升。本節(jié)課是一堂復(fù)習(xí)課，旨在用動(dòng)手折紙的方式去打開同學(xué)們對(duì)未知結(jié)論的探索?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中要求：“課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，要貼近學(xué)生的實(shí)際。”而矩形紙的折疊作為學(xué)生從小玩到大的游戲，受到學(xué)生的廣泛歡迎，這部分內(nèi)容是非常貼近學(xué)生實(shí)際的；折疊中蘊(yùn)含的軸對(duì)稱、全等的數(shù)學(xué)知識(shí)，在學(xué)生學(xué)習(xí)《特殊平行四邊形》和《勾股定理》之后研究，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。由于折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱變換，這為學(xué)生研究折疊中的角度、線段的長(zhǎng)度、圖形的面積和周長(zhǎng)及特殊平行四邊形的判定方法都提供了條件，因此本節(jié)課的產(chǎn)生水到渠成。折疊問(wèn)題的研究用到了數(shù)學(xué)中非常重要的方程思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想。本節(jié)課主要抓住折對(duì)稱軸和折對(duì)稱中心的線索進(jìn)行展開，通過(guò)折紙活動(dòng)來(lái)探索結(jié)論，達(dá)到復(fù)習(xí)特殊平行四邊形相關(guān)知識(shí)的目的，這便是本節(jié)課的重點(diǎn)。另外，在本節(jié)課中設(shè)計(jì)的編題環(huán)節(jié)利于培養(yǎng)同學(xué)們的高階思維能力，教師在平時(shí)課堂中可以有意識(shí)的安排鋪設(shè)相應(yīng)的環(huán)節(jié)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.知識(shí)與技能：（1）經(jīng)歷折紙的過(guò)程，掌握軸對(duì)稱變換中的角度、線段長(zhǎng)度、面積和周長(zhǎng)的計(jì)算方法，以及特殊平行四邊形的判定方法；（2）通過(guò)參與折紙活動(dòng)，使學(xué)生積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，得到解決折疊問(wèn)題的方法等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。2.數(shù)學(xué)思考：（1）建立折疊的空間觀念，初步形成幾何直觀，發(fā)展學(xué)生的形象思維與抽象思維；（2）讓學(xué)生通過(guò)探究，尋找到解決折疊問(wèn)題的思路，并且從中體會(huì)探究過(guò)程中所滲透的數(shù)學(xué)思想。3.問(wèn)題解決：（1）通過(guò)折紙活動(dòng)，初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題；（2）讓學(xué)生經(jīng)歷折疊——觀察——驗(yàn)證——?dú)w納的認(rèn)知過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。4.情感態(tài)度：在學(xué)習(xí)過(guò)程中，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的討論和研究增強(qiáng)學(xué)生間的團(tuán)結(jié)合作精神。鍛煉克服困難的意志，建立自信心。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（1）認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生從很小就接觸折紙，所以本內(nèi)容有充足的生活經(jīng)驗(yàn)；學(xué)生從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，紙張便是研究幾何圖形最好的教具。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)全等三角形、軸對(duì)稱以及特殊平行四邊形，對(duì)它們的性質(zhì)已經(jīng)有一定的認(rèn)識(shí)。同時(shí)在探究等腰三角形的性質(zhì)的過(guò)程中已經(jīng)有了折紙的經(jīng)驗(yàn)，因此對(duì)本節(jié)課的研究學(xué)生應(yīng)該具有了相應(yīng)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。（2）障礙預(yù)測(cè)：雖然學(xué)生已經(jīng)具有了相應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ)和探究經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)具備了較高的抽象思維能力，但學(xué)生又缺乏透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，尋找出折疊的規(guī)律，所以綜合運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)解決折疊中的問(wèn)題成為了本節(jié)課的難點(diǎn)。課堂中要對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)、方法、能力方面的梳理，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)一步提高學(xué)生綜合解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。教師適時(shí)加以點(diǎn)撥、整理思路、總結(jié)規(guī)律。在思維大比拼環(huán)節(jié)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生勇于展示，通過(guò)一問(wèn)一答的形式開拓學(xué)生的思維。一開始學(xué)生可能有點(diǎn)迷茫，不知道該如何設(shè)問(wèn)，我們知道提問(wèn)比解決問(wèn)題更重要。教師在這個(gè)環(huán)節(jié)要做好引導(dǎo)工作，這樣在更多大腦的思考下，會(huì)開拓出更多有價(jià)值的答案。四、教學(xué)支持條件分析根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更直觀、形象的突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，提高課堂效率，采用以觀察發(fā)現(xiàn)，合作探究的教學(xué)組織方式，在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)設(shè)置一系列學(xué)生的探究活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生親身體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和形成的過(guò)程。學(xué)生通過(guò)折紙活動(dòng)，從中獲得重要的數(shù)學(xué)知識(shí)。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）動(dòng)手熱身請(qǐng)同學(xué)們拿張矩形紙片，按照下面的提示進(jìn)行折疊，是你熟悉的圖形嗎？。如圖,將一張矩形紙片ABCD折疊,使AB落在AD邊上,然后打開,折痕為AE,頂點(diǎn)B的落點(diǎn)為F.你認(rèn)為四邊形ABEF是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)出你的理由.追問(wèn)：你還能得到什么特殊的圖形？學(xué)生不難得出等腰直角三角形。在這次的折疊中還可以得到特殊角，為后續(xù)得到其他特殊角埋下伏筆。歸納：1、折痕所在直線成軸對(duì)稱的圖形是全等的。2、折痕AE就是的角平分線。設(shè)計(jì)意圖：利用生活中常見(jiàn)的折紙活動(dòng)激發(fā)學(xué)生的興趣，導(dǎo)入課題，還可以達(dá)到復(fù)習(xí)判定正方形、等腰直角三角形的目的，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)折痕意義的理解。折疊的實(shí)質(zhì)就是軸對(duì)稱變換。折對(duì)稱軸請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)根據(jù)下面的問(wèn)題進(jìn)行探究。問(wèn)題1：你能折出矩形紙片的對(duì)稱軸嗎？你能用直尺在矩形上畫出等腰三角形嗎？在這個(gè)問(wèn)題中不難得出兩條對(duì)稱軸。這時(shí)教師可以指向明確些，我們用對(duì)稱軸EF，請(qǐng)你以AB為邊去畫等腰三角形，這時(shí)P點(diǎn)落在什么位置。教師要做好引導(dǎo)工作，讓學(xué)生先動(dòng)手操作再回答，同時(shí)步展示圖教師可以用PPT動(dòng)畫一步一形的生成過(guò)程，最后證明操作的正確性，再次強(qiáng)化利用折痕的軸對(duì)稱性解決問(wèn)題。問(wèn)題2：當(dāng)頂點(diǎn)P在對(duì)稱軸EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)你還能得到什么特殊的三角形？部分同學(xué)會(huì)從前面折正方形的環(huán)節(jié)中得出等腰直角三角形。接著同學(xué)們還會(huì)猜測(cè)等邊三角形能不能折出來(lái)，顯然引出了下個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題3：能折出等邊三角形嗎?說(shuō)說(shuō)折出的△ABP是等邊三角形的理由。在自己動(dòng)手折紙的過(guò)程中會(huì)存在困惑，的角怎么折？這時(shí)教師可以適時(shí)的引導(dǎo)，除了有一個(gè)角是的等腰三角形能判定是等邊三角形外，還有沒(méi)有其他方法，對(duì)了，還有三邊都相等的三角形是等邊三角形，也就是說(shuō)在折疊過(guò)程中要使得AP=AB。讓同學(xué)展示折疊過(guò)程，并對(duì)等邊三角形進(jìn)行說(shuō)理驗(yàn)證。我們?cè)谶@個(gè)過(guò)程中還可以得到和的特殊角。設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)考察學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐。通過(guò)折對(duì)稱軸的研究，不僅讓學(xué)生獲得特殊三角形的折法，還讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證的過(guò)程。（三）思維大比拼把我們前面折正方形得到的等腰直角三角形和等邊三角形，放在一起進(jìn)行討論分析，看看又有什么結(jié)論出現(xiàn)。教師把圖畫在黑板上，方便探究。本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)一個(gè)同學(xué)設(shè)問(wèn)另一個(gè)同學(xué)解答的形式開展。已知：在剛才的折疊過(guò)程中，是等腰直角三角形，是等邊三角形，連接.結(jié)論：？？？在這個(gè)環(huán)節(jié)教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考一些相關(guān)的結(jié)論，例如：是什么三角形？的度數(shù)是多少？的度數(shù)是多少？的度數(shù)是多少？若，求的長(zhǎng)？若，求的面積？若，求四邊形的面積？若，求的面積？……歸納：右圖中，矩形問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為特殊三角形問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：把所學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生如何分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。讓前面的結(jié)論證明服務(wù)于計(jì)算，使課堂內(nèi)容緊湊有條理。本環(huán)節(jié)想讓同學(xué)們嘗試提問(wèn)，其實(shí)會(huì)提問(wèn)比會(huì)解決問(wèn)題更重要。（四）折對(duì)稱中心在這個(gè)環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生用矩形紙片，在下列環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題中進(jìn)行探索、猜測(cè)并證明。問(wèn)題4：你能折出矩形紙片的對(duì)稱中心嗎？折兩條對(duì)稱軸、折兩條對(duì)角線、或者折一條對(duì)稱軸和一條對(duì)角線，交點(diǎn)就是對(duì)稱中心。標(biāo)記對(duì)稱中心為點(diǎn)O。問(wèn)題5：你能折出對(duì)角線AC的垂直平分線嗎？學(xué)生演示折法，教師用直尺在黑板上畫出對(duì)角線AC的垂直平分線EF，為下個(gè)問(wèn)題做準(zhǔn)備。問(wèn)題6：請(qǐng)你添加兩條線段，能得到什么特殊的平行四邊形？請(qǐng)把證明過(guò)程寫在紙上。讓同學(xué)來(lái)黑板上演示連線，并要求給大家說(shuō)出是什么特殊的平行四邊形。教師引導(dǎo)學(xué)生寫出已知和求證，理好思路，并叫同學(xué)黑板上寫出推理過(guò)程。大部分同學(xué)會(huì)想到用三角形全等來(lái)證明，也有同學(xué)會(huì)想到平行+角平分線等腰的模型，教師都要表?yè)P(yáng)給予肯定。問(wèn)題7：如果把對(duì)角線AC改變?yōu)榻?jīng)過(guò)對(duì)稱中心的任意線段，折出這條線段的垂直平分線，在問(wèn)題6中的結(jié)果還成立嗎？仍然是菱形。可能有同學(xué)會(huì)受圖形影響認(rèn)為是正方形，那么就帶領(lǐng)同學(xué)們思考，尋找添什么條件能成為正方形。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)折對(duì)稱中心復(fù)習(xí)了菱形的判定。從探索問(wèn)題的方式去深入學(xué)習(xí)，會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將問(wèn)題逐步解剖，層層遞進(jìn)，達(dá)到一題多用的目的。本環(huán)節(jié)讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)會(huì)的方法和思路來(lái)解決問(wèn)題，形成觸類旁通的數(shù)學(xué)能力。編題環(huán)節(jié)小組合作：在問(wèn)題6的圖中，若AB=4，BC=8，給大家編一些關(guān)于計(jì)算的問(wèn)題。我們知道在問(wèn)題6中已經(jīng)證明四邊形AECF為菱形，可以利用菱形的結(jié)論進(jìn)行思考。學(xué)生容易想到假設(shè)未知數(shù)，用勾股定理列方程，求線段BF、AF的長(zhǎng)度。教師可以追問(wèn)：是不是所有的線段都能求了？在這樣的情況下，學(xué)生會(huì)思考線段EF怎么求？在想到可以用等面積法求EF時(shí)，即帶出了菱形和三角形面積問(wèn)題的思考。在這個(gè)過(guò)程的形成中，教師要不斷鼓勵(lì)和肯定學(xué)生的想法，這樣才能碰撞出思維的火花。教師要扮演好學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者的地位，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。歸納：（1）菱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰三角形、直角三角形問(wèn)題；菱形的面積計(jì)算：設(shè)計(jì)意圖：這類圖形折疊是平時(shí)常見(jiàn)題型，通過(guò)計(jì)算去加深學(xué)生的理解。在復(fù)習(xí)中應(yīng)熟練掌握一些基本圖形的性質(zhì)和判定定理以及圖形折疊的性質(zhì).編題需要學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)，通過(guò)觀察、分析，創(chuàng)造性的提出合理的問(wèn)題，本環(huán)節(jié)指向高階思維。課堂小結(jié)1、通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我掌握了哪些方法？2、本節(jié)課我有什么體會(huì)？3、我還學(xué)到了哪些知識(shí)？設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生從方法、體驗(yàn)、知識(shí)三個(gè)方面說(shuō)明自己的收獲和經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)回顧和反思，成為提高教師自身與學(xué)生素質(zhì)的互動(dòng)過(guò)程。（七）大顯身手在圖形折疊中主要考察學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)知，特別是考察軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形、勾股定理以及后續(xù)要學(xué)的相似三角形，這對(duì)于識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問(wèn)題的能力都提出了比以往更高的要求.在經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí)后，教師給出折疊中求線段取值范圍的題目，讓學(xué)有余力的同學(xué)能有更多思考問(wèn)題的機(jī)會(huì)。如果課堂時(shí)間不夠可以留給學(xué)生作為課后思考題。如圖，將矩形紙片ABCD（AD>AB）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H，折痕分別與邊BC、AD相交于點(diǎn)E、F。（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論。（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)拓展作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸，從而掌握解決圖形中的折疊問(wèn)題的規(guī)律和方法。本題第一問(wèn)是想檢測(cè)學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，第二問(wèn)是想考察學(xué)生的靈活應(yīng)變能力，讓學(xué)生的思維達(dá)到質(zhì)的飛躍。（八）板書設(shè)計(jì)六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)