高中數(shù)學(xué)第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課件新人教版選修3

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例,了解分類變量、2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.通過(guò)實(shí)例,了解獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.3.通過(guò)學(xué)習(xí),提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).知識(shí)概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知1.分類變量與列聯(lián)表(1)分類變量用來(lái)區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的隨機(jī)變量稱為

分類變量

.分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示.

(2)列聯(lián)表按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì),并做成表格加以保存.我們將下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為

2×2列聯(lián)表

.2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).

注:運(yùn)用古典概型和條件概率的思路,用2×2列聯(lián)表去研究所關(guān)心對(duì)象的全體.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d2.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)利用隨機(jī)變量χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為

χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)

,讀作“

卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)

”,簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式

(3)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則當(dāng)χ2≥xα?xí)r,我們就推斷H0不成立,即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立,該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α;當(dāng)χ2<xα?xí)r,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.(4)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828微思考獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法的思想有何相似之處?提示:反證法假設(shè)檢驗(yàn)要證明結(jié)論A要確認(rèn)“兩個(gè)變量有關(guān)系”在A不成立的前提下進(jìn)行推理假設(shè)該結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)變量沒有關(guān)系”成立,在該假設(shè)下計(jì)算χ2推出矛盾,意味著結(jié)論A成立由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2很大,則在一定可信程度上說(shuō)明假設(shè)不合理沒有找到矛盾,不能對(duì)A下任何結(jié)論,即反證不成立根據(jù)隨機(jī)變量χ2的含義,可以通過(guò)χ2的大小來(lái)判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立有多大把握微訓(xùn)練下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表:則表中a,b處的值分別為(

)A.94,96 B.52,50

C.52,54

D.54,52答案:C解析:a=73-21=52,b=100-46=54.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0a2173X=122527合計(jì)b46100(5)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié):①提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立,并給出在問題中的解釋.②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值xα比較.③根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.④在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過(guò)比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.注意,上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整.課堂·重難突破一

列聯(lián)表與等高堆積條形圖的應(yīng)用典例剖析1.為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系,分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查,結(jié)果如下:單位:人組別陽(yáng)性、陰性數(shù)合計(jì)陽(yáng)性數(shù)陰性數(shù)鉛中毒病人29736對(duì)照組92837合計(jì)383573試畫出列聯(lián)表的等高堆積條形圖,分析鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有無(wú)差別,鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否存在差異?解:等高堆積條形圖如圖所示:其中兩個(gè)白色條的高度分別代表鉛中毒病人和對(duì)照組樣本中尿棕色素為陽(yáng)性的概率.由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對(duì)照組相比,尿棕色素為陽(yáng)性的頻率差異明顯,根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,知鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性存在差異.規(guī)律總結(jié)判斷兩個(gè)分類變量是否有差異的兩種常用方法(1)利用數(shù)形結(jié)合思想,借助等高堆積條形圖來(lái)判斷兩個(gè)分類變量是否存在差異.(2)一般地,在等高堆積條形圖中,相差越大,兩個(gè)分類變量存在差異的可能性就越大.學(xué)以致用1.網(wǎng)絡(luò)對(duì)現(xiàn)代人的生活影響較大,尤其是對(duì)青少年.為了解網(wǎng)絡(luò)對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響,某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機(jī)抽取了1000人調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人,這200人中有80人期末考試不及格,而另外800人中有120人不及格.利用等高堆積條形圖判斷學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)與經(jīng)常上網(wǎng)和不經(jīng)常上網(wǎng)是否有關(guān).解:根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表:單位:人得出等高堆積條形圖如圖所示:比較圖中陰影部分的高度可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)及格的頻率,根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,可以認(rèn)為學(xué)習(xí)成績(jī)與經(jīng)常上網(wǎng)和不經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān).二

獨(dú)立性檢驗(yàn)典例剖析2.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:單位:件機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量合計(jì)一級(jí)品二級(jí)品甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量是否有差異.α0.050.010.001xα3.8416.63510.828(2)零假設(shè)為H0:甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量之間無(wú)差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.互動(dòng)探究(變問法)依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量是否有差異.解:零假設(shè)為H0:甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量之間無(wú)差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到所以根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為H0成立,即甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)差異.規(guī)律總結(jié)1.利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟(1)零假設(shè):即先假設(shè)兩變量沒有關(guān)系.(2)列表:列出2×2列聯(lián)表.(3)求值:求出χ2.(4)判斷:與臨界值比較,作出判斷.2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的必要性列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù),它只是總體的代表,它具有隨機(jī)性,因此只能利用列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和等高堆積條形圖粗略判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系.而χ2給出了不同樣本容量的數(shù)據(jù)的統(tǒng)一評(píng)判標(biāo)準(zhǔn).利用它能精確判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系.學(xué)以致用2.某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:單位:人學(xué)生是否喜歡甜品合計(jì)喜歡甜品不喜歡甜品南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù),根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面是否有差異.解:零假設(shè)為H0:南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面無(wú)差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算,得根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.三

獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用典例剖析3.某生物疫苗研究所加緊對(duì)某種疫苗進(jìn)行研究,將某一型號(hào)的疫苗用在動(dòng)物小白鼠身上進(jìn)行科研和臨床實(shí)驗(yàn),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:單位:只是否注射疫苗是否感染病毒合計(jì)未感染病毒感染病毒未注射疫苗20xm注射疫苗30yn合計(jì)5050100現(xiàn)從所有感染病毒的小白鼠中隨機(jī)抽取一只,抽到注射疫苗的小白鼠的概率為

.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表:單位:只是否注射疫苗是否感染病毒合計(jì)未感染病毒感染病毒未注射疫苗20

注射疫苗30

合計(jì)5050100(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析注射疫苗是否對(duì)預(yù)防該病毒有效.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解:(1)所有感染病毒的小白鼠共有50只,其中注射疫苗的有y只,所以P=,所以y=10,x=50-10=40,m=40+20=60,n=30+10=40,所以2×2列聯(lián)表為

單位:只是否注射疫苗是否感染病毒合計(jì)未感染病毒感染病毒未注射疫苗204060注射疫苗301040合計(jì)5050100(2)零假設(shè)為H0:注射疫苗對(duì)預(yù)防該病毒無(wú)效.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為注射疫苗對(duì)預(yù)防該病毒有效,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.規(guī)律總結(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合應(yīng)用的方法策略(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,是對(duì)實(shí)際生活中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法,通過(guò)這種分析得出的結(jié)論對(duì)實(shí)際生活或者生產(chǎn)都有一定的指導(dǎo)作用.(2)近幾年高考中較少單獨(dú)考查獨(dú)立性檢驗(yàn),與統(tǒng)計(jì)、概率等知識(shí)綜合,頻率分布表、頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)融合在一起是常見的考查形式,一般需要根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,從而解決問題.學(xué)以致用3.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對(duì)本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到2×2列聯(lián)表如下表所示:單位:人性別是否喜愛打籃球合計(jì)喜愛打籃球不喜愛打籃球男生

6

女生10

合計(jì)

48已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為

.(1)請(qǐng)將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過(guò)程);(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析喜愛打籃球與性別是否有關(guān),說(shuō)明你的理由;(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查,設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X,求X的分布列與均值.解:(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下:

單位:人(2)零假設(shè)為H0:喜愛打籃球與性別無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.(3)喜愛打籃球的女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2.其概率分別為隨堂訓(xùn)練1.(多選題)在研究肥胖與高血壓的關(guān)系時(shí),通過(guò)收集、整理、分析數(shù)據(jù)得到“高血壓與肥胖有關(guān)”的結(jié)論,并且依據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷這個(gè)結(jié)論是成立的,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

)A.在100個(gè)肥胖的人中至少有99人患有高血壓B.肥胖的人至少有99%的概率患有高血壓C.在100個(gè)高血壓患者中一定有肥胖的人D.在100個(gè)高血壓患者中可能沒有肥胖的人答案:ABC2.通過(guò)對(duì)χ2的統(tǒng)計(jì)量的研究得到了若干個(gè)臨界值,當(dāng)χ2<2.706時(shí),我們認(rèn)為(

)A.X與Y有差異,犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05B.X與Y有差異,犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01C.依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),沒有充分理由認(rèn)為X與Y有差異D.不能確定答案:C解析:χ2<2.706=x0.1,根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)沒有充分理由認(rèn)為X與Y有差異.3.(多選題)下面是某地區(qū)男、女學(xué)生喜歡物理情況的等高堆積條形圖,陰影部分表示喜歡物理的百分比.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.性別與喜歡物理無(wú)關(guān)B.女生喜歡物理的百分比為80%C.男生喜歡物理比女生喜歡物理的可能性大些D.男生不喜歡物理的百分比為60%答案:ABD解析:由題圖知女生中喜歡物理的