人教A版（2023）必修第一冊《第五章 三角函數(shù)》單元測試(含解析)

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）

A.B.C.D.

2.（5分）的圓心角所對的弧長為，則該圓弧所在圓的半徑為

A.B.C.D.

3.（5分）函數(shù)的圖象如下圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象

A.向右平移個單位長度

B.向右平移個單位長度

C.向左平移個單位長度

D.向左平移個單位長度

4.（5分）已知，

A.B.C.D.

5.（5分）已知函數(shù)其中，其部分圖像如圖所示，將的圖像縱坐標不變，橫坐標變成原來的倍，再向右平移個單位得到的圖像，則函數(shù)的解析式為

A.B.

C.D.

6.（5分）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，則的面積為

A.B.C.D.

7.（5分），且第三象限角，則

A.B.C.D.

8.（5分）已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象關于點對稱，且，則

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）設定義在上的奇函數(shù)的部分圖象如圖圖象以為周期向左延伸，其中是函數(shù)圖象的兩條對稱軸，則下列結論正確的是

A.當時，方程的所有根之和等于

B.

C.函數(shù)在區(qū)間上遞增

D.

10.（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的

A.

B.

C.函數(shù)為奇函數(shù)

D.函數(shù)在區(qū)間上單調遞減

11.（5分）如圖是函數(shù)的部分圖象，則

A.B.

C.D.

12.（5分）已知函數(shù)在一個周期內的圖象如圖所示，其中圖象最高點、最低點的橫坐標分別為、，圖象在軸上的截距為則下列結論正確的是

A.的最小正周期為

B.的最大值為

C.在區(qū)間上單調遞增

D.為偶函數(shù)

13.（5分）下列命題正確的是

A.存在實數(shù)，使

B.存在實數(shù)，使

C.函數(shù)是偶函數(shù)

D.是函數(shù)的一條對稱軸方程

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）若，且，則的值為________.

15.（5分）已知扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為______．

16.（5分）若函數(shù)的圖像向右平移個單位后與自身重合，且曲線的一個對稱中心為，則的最小正值為________。

17.（5分）已知為鈍角，，則__________.

18.（5分）______．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）如圖，在中，，，點在邊上，且，

求；

求的長.

20.（12分）計算：

；

21.（12分）已知函數(shù)，，求的值域，；

已知，，，，求的值．

22.（12分）已知函數(shù)，．

求函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；

已知中的三個內角，，所對的邊分別為，，，若銳角滿足，且，，求，的長．

23.（12分）已知

求的最小正周期；

求的單調遞減區(qū)間．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：

，

故選：．

由條件利用兩角和差的三角公式化簡所給的式子，求得結果．

這道題主要考查兩角和差的三角公式的應用，屬于基礎題．

2.【答案】C;

【解析】解：的圓心角所對的弧長為，由，

所以該圓弧所在圓的半徑為

故選：

把角度數(shù)化為弧度數(shù)，利用弧長公式計算即可．

此題主要考查了弧度制與弧長公式的應用問題，是基礎題．

3.【答案】B;

【解析】

該題考查三角函數(shù)的圖象和性質以及圖象的平移變換，首先根據(jù)圖象得出函數(shù)的解析式，利用誘導公式把和化為同名函數(shù)即可得出結果，屬中檔題．

解：由圖象可知，且函數(shù)的周期，所以，

所以，且圖象過，所以，所以，

所以，

，

而

所以只需將的圖像向右平移個單位長即可得的圖象．

故選B．

4.【答案】D;

【解析】解：，

又根據(jù)二倍角公式可得，

故選：

根據(jù)二倍角公式，即可求解．

此題主要考查三角函數(shù)的二倍角公式，屬于基礎題．

5.【答案】B;

【解析】

這道題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．

由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結論．

解：由函數(shù)的圖象可得，，

．

再由五點法作圖可得，，

，函數(shù)

將的圖象縱坐標不變，橫坐標變成原來的倍，

可得函數(shù)的圖象；

再向右平移個單位得到

的圖象，

故函數(shù)的解析式為，

故選B．

6.【答案】A;

【解析】

這道題主要考查了二倍角余弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的應用，屬于基礎題．

由已知利用二倍角余弦函數(shù)公式可求，利用三角形面積公式即可計算得解．

解：由，得：或舍去，

，

故選A．

7.【答案】C;

【解析】解：因為，且第三象限角，

所以，

則

故選：

由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式即可化簡求值得解．

此題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．

8.【答案】B;

【解析】解：

，

，

其圖象關于對稱，

，，

，．

，又，

．

故選B．

利用二倍角公式可求得，從而知，利用其圖象關于對稱即可求得．

該題考查函數(shù)的圖象變換，著重考查正弦函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．

9.【答案】ABC;

【解析】【解析】奇函數(shù)的的圖象關于原點對稱由函數(shù)圖象，知，正確：當時，

圖象關于直線對稱，方程有兩個根，且兩根之和等于，正確：函數(shù)在上

遞增，又函數(shù)具有周期性，且周期為，所以在區(qū)間，上遞增，正確：由圖象的對稱

性，知函數(shù)在上遞減，所以，錯誤

10.【答案】BC;

【解析】解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，

，，

結合五點法作圖，可得，，，故錯誤；

由于，

，故正確；

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，

顯然，為奇函數(shù)，故正確；

在區(qū)間上，，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故錯誤，

故選：

由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得的解析式，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質，得出結論．

此題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．

11.【答案】BD;

【解析】解：若，根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，

由，求得

再結合五點法作圖，可得，，

故函數(shù)的解析式為

若，根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，

由，求得

再結合五點法作圖，可得，，故據(jù)函數(shù)

故選：

分類討論的符號，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，再結合誘導公式，得出結論．

此題主要考查誘導公式、由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，屬于中檔題．

12.【答案】BC;

【解析】解：由圖知，的最小正周期，則．

由，得．

由，得，則，

所以．

由于函數(shù)的最小正周期為，故A不正確；

顯然，的最大值為，故B正確；

當時，，則單調遞增，故C正確；．

因為，則不是偶函數(shù)，故D不正確，

故選：．

由由周期求出，由五點法作圖求出的值，函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質，得出結論．

這道題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的特殊點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．

13.【答案】CD;

【解析】

此題主要考查了求方程的根、三角函數(shù)的對稱性、命題真假的判斷及三角函數(shù)的奇偶性等，屬中檔題.

其中正弦余弦函數(shù)的對稱性可歸納為：若時，函數(shù)取最值，則直線為函數(shù)圖象的對稱軸，根據(jù)三角函數(shù)的性質逐項判斷即可.

由，然后根據(jù)三角函數(shù)值域，可判斷的真假由，易判斷的真假根據(jù)奇偶性的定義易判斷的真假將代入，根據(jù)函數(shù)對稱性，易判斷的正誤.

解：由于，由，得，矛盾

對于，由，故錯誤

對于，，顯然是偶函數(shù)，故正確

對于，中，當時，，

此時的終邊落在軸上，函數(shù)取最值，

故是函數(shù)的圖象的一條對稱軸是正確的，故正確，

故答案為

14.【答案】;

【解析】

此題主要考查三角函數(shù)求值，屬于中檔題.

由題意和二倍角公式得出，把要求的式子平方并由同角三角函數(shù)基本關系變形為，整體代入可得答案.

解：因為，且，

所以，，

所以

，

所以

，

由可得，

所以

故答案為

15.【答案】1;

【解析】解：扇形的圓心角為，半徑為，扇形的弧長為：，

所以扇形的面積為：．

故答案為：．

直接求出扇形的弧長，然后求出扇形的面積即可．

本題是基礎題，考查扇形的面積的求法，弧長、半徑、圓心角的關系，考查計算能力．

16.【答案】;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的圖象變換和正切函數(shù)的對稱中心，考查整體代換意識與運算能力，屬于中檔題．

根據(jù)函數(shù)的圖象向右平移個單位后與自身重合，可得，，結合的范圍，可得的值．

解：的圖象向右平移個單位后與自身重合，

，，

則，，①

的對稱中心為，

的對稱中心是，

又是函數(shù)的一個對稱中心，

，

，，②

由①②知，的最小正值為

故答案為

17.【答案】;

【解析】

此題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式以及二倍角公式，屬于中檔題.

先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系求得，再根據(jù)誘導公式以及二倍角公式計算，即可得到答案.

解：因為為鈍角，則

所以，

又，

所以，

則

故答案為

18.【答案】;

【解析】解：，

故答案為：．

由條件利用利用誘導公式進行化簡求值，可得結果．

這道題主要考查利用誘導公式進行化簡求值，屬于基礎題．

19.【答案】

解：在中，，

，

；

在中，由正弦定理得，

在中，由余弦定理得，

解得;

【解析】此題主要考查同角三角函數(shù)之間的關系、兩角和與差的三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理，靈活運用公式是解答本題的關鍵，考查了學生的計算能力，屬于中等題.

根據(jù)題意利用同角三角函數(shù)之間的關系及兩角和與差的三角函數(shù)即可得到結果；

根據(jù)題意利用正弦定理和余弦定理即可得到結果.

20.【答案】解：（1）（lg25-2lg）÷100+（-1）0-（）=lg÷10+1-=2÷10+1-=．

（2）sin（）+cos（-）+tan（）=-sin+cos+tan=--+1=0．;

【解析】

由題意利用對數(shù)的運算法則，求得所給式子的值．

由題意利用誘導公式化簡所給式子，可得結果．

這道題主要考查對數(shù)的運算法則的應用，誘導公式，屬于基礎題．

21.【答案】（1）解：函數(shù)f（x）=cox+2sinxcosx-six=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，sin（2x+）∈[-，1]，f（x）∈[-1，2]．

（2）已知α∈（-，），β∈（0，π），sinα=，cosβ=，∵cosα==，sinβ==．

∴α∈（0，），β∈（0，），∴β-α∈（-，）

sin（β-α）=sinβcosα-coaβsinα=×-×=，

∴β-α=．;

【解析】

利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得，求的值域．

利用同角三角函數(shù)的基本關系求得和的值，兩角差的正弦公式求得的值，可得的值．

這道題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的正弦公式的應用，屬于中檔題．

22.【答案】解：

；

；

的最小正周期為；

由得：

，，

的單調遞減區(qū)間是，；

，

，

，

，

；

由正弦定理得：，

即，

；

由余弦定理得：

，

即