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1.2空間向量基本定理平面向量基本定理:
如果
e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量
a,有且只有一對實(shí)數(shù)
λ1,λ2,使
a=λ1e1+λ2e2.
若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.問題1
平面中的任意向量可以由兩個(gè)不共線向量的線性運(yùn)算來表示,那么空間中的任意向量能不能通過兩個(gè)不共線向量的線性運(yùn)算來表示呢?問題2
為了表示空間中的向量,至少需要幾個(gè)向量來表示?問題3
任給三個(gè)向量都可以表示空間中的任意向量嗎?
三個(gè)向量共面
三個(gè)向量不共面abc?pijkPQOα三個(gè)相互垂直的向量三個(gè)相互垂直的向量xipijkPQOyjzkα我們稱
xi,yj,zk分別為向量
p
在
i,j,k上的分向量.問題4如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的,能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎?abcp問題4
如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的,能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎?abcOPαpacbBCAQ問題4如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的,能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎?QαabcOPpacbBCA問題4如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的,能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎?OQPpacbBCAαabc問題4如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的,能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎?xaOQPpacbybzcBCAαabc問題5你能類比平面向量基本定理的表述,寫出空間向量基本定理嗎?如果
e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)
λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
那么,所有空間向量組成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.
如果三個(gè)向量
a,b,c
不共面,那么對任意一個(gè)空間向量
p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得
p=xa+yb+zc.空間向量基本定理
我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量.注:1、空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底;2、零向量可視為與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面,所以,三個(gè)向量不共面,就隱含著它們不是零向量;3、一個(gè)基底指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)連的不同概念??臻g向量基本定理
特別地,如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.
把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.a(chǎn)ijkPQO
OABCMNP例2.立體幾何問題①適當(dāng)選取基底向量運(yùn)算②用基向量表示相關(guān)向量③將相關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為基向量的問題向量問題向量問題的解立
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