空間向量基本定理 課件

1.2空間向量基本定理平面向量基本定理：

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量

a，有且只有一對實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．問題1

平面中的任意向量可以由兩個(gè)不共線向量的線性運(yùn)算來表示，那么空間中的任意向量能不能通過兩個(gè)不共線向量的線性運(yùn)算來表示呢？問題2

為了表示空間中的向量，至少需要幾個(gè)向量來表示？問題3

任給三個(gè)向量都可以表示空間中的任意向量嗎？

三個(gè)向量共面

三個(gè)向量不共面abc？pijkPQOα三個(gè)相互垂直的向量三個(gè)相互垂直的向量xipijkPQOyjzkα我們稱

xi，yj，zk分別為向量

p

在

i，j，k上的分向量．問題4如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎？abcp問題4

如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎？abcOPαpacbBCAQ問題4如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎？QαabcOPpacbBCA問題4如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎？OQPpacbBCAαabc問題4如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎？xaOQPpacbybzcBCAαabc問題5你能類比平面向量基本定理的表述，寫出空間向量基本定理嗎？如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．

那么，所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．

如果三個(gè)向量

a，b，c

不共面，那么對任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．空間向量基本定理

我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．注：1、空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；2、零向量可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面，就隱含著它們不是零向量；3、一個(gè)基底指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)連的不同概念?？臻g向量基本定理

特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．

把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．a(chǎn)ijkPQO

OABCMNP例2.立體幾何問題①適當(dāng)選取基底向量運(yùn)算②用基向量表示相關(guān)向量③將相關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為基向量的問題向量問題向量問題的解立