非自治集值映射下上鏈吸引子的存在性

非自治集值映射下上鏈吸引子的存在性

1非自治集值映射自治集值映射xn-1f（xn），其中f：xx，f：xx，f（x）是組，x是時(shí)，f（x）是一個(gè)周期分布的空間，x是一個(gè)周期分布的空間，f是一個(gè)連續(xù)的集合。這種集值映射的研究主要來(lái)自控制理論、經(jīng)濟(jì)學(xué)和微分方程數(shù)值模擬。由于自治集值系統(tǒng)和單位自治系統(tǒng)都具有半組遺傳特性，因此單值自治系統(tǒng)的概念也可以用來(lái)考慮自治集值映射的漸近性。非自治集值映射是xn+1∈Fn(xn),其中Fn:X→X,且對(duì)于?x∈X,Fn(x)是一個(gè)集合,它依賴于時(shí)間n.非自治集值映射自然出現(xiàn)在自治微分包含的變步長(zhǎng)離散化,自治集值映射的非自治擾動(dòng)等,最簡(jiǎn)單的情況是自治微分包含的具有變時(shí)間步長(zhǎng)hn>0的歐拉方法xn+1∈xn+hnF(xn).非自治集值映射不具有半群性質(zhì),因而許多自治系統(tǒng)的概念對(duì)于非自治系統(tǒng)不適用.在文中引進(jìn)了對(duì)于單值非自治系統(tǒng)的上鏈吸引子,在文中定義了對(duì)于非自治集值系統(tǒng)的上鏈吸引子,并給出了在吸收集不依賴于時(shí)間的條件下,上鏈吸引子的存在性.本文我們主要考慮對(duì)于非自治集值映射,上鏈吸引子的存在性,一致性.首先考慮對(duì)于吸引集依賴于時(shí)間且是正向不變的情況下,我們得到了上鏈吸引子的存在性;其次,考慮對(duì)于吸引集不是正向不變的,但映射是下半連續(xù)的情況下,得到了上鏈吸引子的存在性;同時(shí)我們考慮在某些條件下上鏈吸引子的唯一性.進(jìn)—步我們定義強(qiáng)吸引集,強(qiáng)上鏈吸引子,得到了強(qiáng)上鏈吸引子的存在性,唯一性.2閉領(lǐng)域的映射假定(X,d)是一個(gè)度量空間,x∈X,x到—個(gè)非空緊集K的距離定義為dist(x,Κ)=mina∈Κd(x,a)X中兩個(gè)非空緊子集K,L的Hausdorff半距離H*(K,L)定義為:Η*(Κ,L)=maxa∈Κdist(a,L)=maxa∈Κminb∈Ld(a,b).讓H(X)表示X的所有非空緊子集組成的集合,用Nε(K)={x∈X:dist(x,K)<ε}表示K∈H(X)的ε開鄰域,用Nε[K]={x∈X:dist(x,K)≤ε}表示K的ε閉領(lǐng)域.定義1對(duì)于集值映射?:X→H(X),如果對(duì)于?ε>0,?δ>0,使得當(dāng)y∈Nδ({x})時(shí),?(y)?Nε(?(x)),或當(dāng)limn→∞xn=x時(shí),limn→∞Η*(?(xn)??(x))=0,稱集值映射?在x點(diǎn)上半連續(xù).如果對(duì)于給定的序列{xn}?limn→∞xn=x,及y∈?(x),存在yn∈?(xn),使得limn→∞yn=y,稱集值映射?在x點(diǎn)是下半連續(xù)的.如果集值映射?既是上半連續(xù)又是下半連續(xù),則稱?是連續(xù)的.定義2如果集值映射族{S(n,p),n∈Z+,p∈P},S(n,p,·):Rd→H及P上的映射群{θn,n∈Z}滿足對(duì)于所有x∈Rd,n,m∈Z+,p∈P有(1)x∈S(0,p,x);(2)S(n+m,p,x)=S(n,θmp,S(m,p,x)),則稱它為差分包含上鏈.定義3緊子集族{B(p)}稱為差分包含上鏈{S(n,p),n∈Z+,p∈P}在Rd中的吸收集,如果對(duì)每個(gè)p∈P,及每一個(gè)有界子集D,存在一個(gè)Np,D∈Z+使得對(duì)所有n≥Np,D,S(n,θ-np,D)?B(p).進(jìn)一步,如果緊子集族{B(p)}滿足對(duì)所有n∈Z+,p∈P,S(n,p)B(p)?B(θnp),則稱為正向不變的.定義4Rd中的—族緊子集{A(p),p∈P},如果它滿足對(duì)于任何n∈Z+,S(n,p,A(p))=A(θnp),且對(duì)于Rd中的任何有界子集D,任何p∈Plimn→∞Η*(S(n,θ-np?D)?A(p))=0,則稱{A(p)}是差分包含上鏈{S(n,p),n∈Z+,p∈P}的上鏈吸引子.3pp,-n,-n,-p,-n,-p,-n,-p,-n,-p,-n,-p,-n,-p,-b-pp用H表示Rd的所有的緊子集組成的集合,USC(Rd,H)表示Rd→H的所有的上半連續(xù)的映射的集合.定理3.1如果差分包含上鏈映射S(n,p)∈USC(Rd,H)具有正向不變的吸收集{B(p)},那么存在上鏈吸引子{A(p)},其中A(p)=∩m≥0ˉ∪n≥mS(n,θ-np?B(θ-np)).為了證明定理3.1,我們需要下面的引理:引理3.1y∈A(p)的充要條件是存在序列{tm},{xm}及{ym},滿足tm≥m,xm∈B(θ-tmp),ym∈S(tm,θ-tmp,xm),使得y=limm→∞ym.證假定y∈A(p),那么對(duì)于所有的m∈Ν?y∈∪n≥mS(n,θ-np?B(θ-np)ˉ.因而對(duì)每一個(gè)m∈N,存在ym∈∪n≥mS(n,θ-np?B(θ-np)),滿足|y-ym|＜1m,因?tm≥m,及xm∈B(θ-tmp)滿足ym∈S(tm,θ-tmp,xm)且limm→∞ym=y,因而ym,xm滿足所要的性質(zhì).另一方面,如果{tm},{xm},{ym}是引理中的序列,那么ym∈∪n≥mS(n,θ-np?B(θ-np)),因而對(duì)每一個(gè)m∈Ν?y∈∪n≥mS(n,θ-np,B(θ-np))ˉ,因此y∈A(p).定理3.1的證明首先證明對(duì)于?p∈P,limn→∞Η*(S(n,θ-np?B(θ-np))?A(p))=0.否則存在序列{xnk},{ynk}滿足xnk∈B(θ-nkp),ynk∈S(nk,θ-nkp,xnk)及ε>0,使得對(duì)每個(gè)nk∈N,H*(ynk,A(p))>ε,由{B(p)}的正向不變性,有ynk∈B(p),又因?yàn)锽(p)是緊的,因而存在子序列n′k→∞使得yn′k→y(y∈B(p))滿足H*(y,A(p))≥ε,這與引理矛盾.下證:對(duì)于每一個(gè)有界集D,limn→∞Η*(S(n?θ-np?D)?A(p))=0.由前面可知,對(duì)于?ε>0,p∈P,存在nε,p使得Η*(S(nε?p?θ-nε,pp?B(θ-nε?pp))?A(p))＜ε?設(shè)D是Rd中的一個(gè)有界集,由于{B(p)}是吸收的,因而存在nD,當(dāng)n≥nD時(shí),S(n,θ-n-nε,pp?D)?B(θ-nε?pp)?因而S(n+nε,p?θ-n-nε,pp,D)=S(nε,p?θ-nε,pp)?S(n,θ-n-nε,pp?D)?S(nε,p?θ-nε,pp,B(θ-nε,pp)),取nD,p,ε=nD+nε,p,則當(dāng)n≥nD,p,ε時(shí),H*(S(n,θ-np,D),A(p))<ε.下面我們來(lái)證明:A(P)的不變性.對(duì)于?n≥0,y∈A(θnp),由引理可知存在序列{xm},{ym}及{tm},滿足xm∈B(θ-tm。θnp),ym∈S(tm,θ-tm。θnp,xm)使得y=limm→∞ym.因而當(dāng)tm>n時(shí),由{B(p)}是正不變的,可知存在序列{Zm},Zm∈S(tm-n,θ-tm+np,xm)?B(p)且ym∈S(n,p,Zm).由于B(p)是緊的,因而存在{Zm}的收斂子列{Zm′},Zm′→Z∈B(p)(m′→∞).因而由引理可知Z∈A(p).又由S(n,p,·)的上半連續(xù)性可知y∈S(n,p,Z)?S(n,p,A(p)),因此A(θnp)?S(n,p,A(p)).代替上面的p用θ-mp,用m代替n,因?yàn)锳(θ-mp)?B(θ-mp),則A(θm?θ-mp)?S(m,θ-mp,A(θ-mp))?即A(p)?S(m,θ-mp,A(θ-mp)),?m≥0,因而對(duì)于?n≥0,m≥0,S(n,p,A(p))?S(n,p,S(m,θ-mp,A(θ-mp)))?S(n,p,S(m,θ-mp?B(θ-mp)))=S(n+m,θ-n-mθnp?B(θ-n-mθnp))=S(k,θ-kθnp?B(θ-kθnp))?k≥n?因而對(duì)于?n≥0,S(n,p,A(p))?∪k≥0S(k,θ-kθnp?B(θ-kθnp)),因而有S(n,p,A(p))?A(θnp)=∩m≥0∪k≥mS(k,θ-kθnp?B(θ-kθnp))ˉ.因此我們證明了A(θnp)=S(n,p,A(p)).下面我們考慮如果B(p)不是正不變的,是否有上鏈吸引子?在進(jìn)一步的假設(shè)下,我們也能得到上鏈吸引子的存在性,也即我們有下面的定理:定理3.2如果B(p)不是正不變的,但進(jìn)一步假設(shè)S(n,p,·)是下半連續(xù),則A(p)=∪D?Rn?D有界ΛD(p)ˉ(其中ΛD(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np,D)ˉ)是極小的上鏈吸引子.證首先證明對(duì)于?p∈P,任意有界集D,limn→∞Η*(S(n,θ-np?D)?A(p))=0.否則,存在序列{xm},{ym},ε>0,使得xm∈D,ym∈S(m,θmp,xm),H*(ym,A(p))≥ε.由B(p)是吸收,因而存在N0,當(dāng)m>N0時(shí),S(m,θ-mp,D)?B(p),因而當(dāng)m充分大時(shí),ym∈B(p).又由于B(p)是緊的,因而存在收斂子列ym′→y,所以?k≥0?y∈∪n≥kS(n,θ-np,D)ˉ?于是y∈ΛD(p)?A(p),這與H*(ym,A(p))>ε矛盾.下證:A(p)是嚴(yán)格不變的.首先證明對(duì)于任一有界集合D,ΛD(θp)=S(1,p,ΛD(p)).事實(shí)上對(duì)于?y∈ΛD(θp),存在xm,ym,tm使得xm∈D,ym∈S(tm,θ-tm(p),xm),且ym→y(m→∞),因而存在zm∈S(tm-1,θ-tm+1(p),xm),使得ym∈S(1,p,zm),由B(p)是吸收集,當(dāng)m充分大時(shí),zm∈B(p).由于B(p)是緊的,因而存在收斂的子序列zm′→z∈B(p),且ym′∈S(1,p,zm′),因此z∈ΛD(p).由映射的上半連續(xù)性可知,y∈S(1,p,z),故ΛD(θp)?S(1,p,ΛD(p)).另一方面,?x∈ΛD(p),?xm,tm,zm∈D,使得xm∈S(tm,θ-tmp,zm)且xm→x(m→∞).由于S(1,p)是下半連續(xù),因而對(duì)于?y∈S(1,p,x),?ym∈S(1,p,xm)使得ym→y(m→∞).因而ym∈S(tm+1,θ-tm-1θp,zm),于是y∈ΛD(θp),即S(1,p,ΛD(p))?ΛD(θp).因而我們有A(θp)=∪D有界ΛD(θp)ˉ?∪D有界S(1,p,ΛD(p))ˉ=S(1?p,∪D有界(ΛD(p))ˉ?S(1,p)∪D有界ΛD(p)ˉ.事實(shí)上,令G=∪D有界ΛD(p),則S(1?p)∪D有界(ΛD(p))ˉ=S(1?p)Gˉ,對(duì)于?y∈S(1,p)Gˉ,存在xn∈G使得S(1,p)xn→y(n→∞),由于Gˉ是緊的,因而存在子列xnk→x∈Gˉ(k→∞),由上半連續(xù)性,可知limn→∞Η*(S(1?p)xnk?S(1?p)x)=0,所以y∈S(1,p)x.接下來(lái)證明:S(1,p,A(p))?A(θp).?x∈A(p),由定義可知,存在有界集族{Dn},序列{xn},xn∈ΛDn(p)使得xn→x(n→∞),由于S(1,p)是下半連續(xù),因而對(duì)于?y∈S(1,p,x),?yn滿足yn∈S(1,p,xn),使得yn→y(n→∞)且yn∈S(1,p,xn)?ΛDn(θp).因而y∈∪ΛDn(θp)ˉ?A(θp).下證:極小性.如果{A′(p)}也是上鏈吸引子,因而對(duì)于任一有界集D,limn→∞Η*(S(n,θ-np,D),A′(p))=0,斷言:ΛD(p)?A′(p).事實(shí)上ΛD(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np?D)ˉ,所以任取y∈ΛD(p),有對(duì)于?m>0,?tm≥m,(tm→∞)及xtm∈S(tm,θ-tmp,D)滿足xtm→y(tm→∞),因而limm→∞d(xtm?A′(p))=0,于是存在ytm∈A′(p),使得limm→∞d(xtm?ytm)=0,由A′(p)的緊性可知存在ytm的子列yt′m使得yt′m→y^?(t′m→+∞)及y^∈A′(p)?并且limm→∞d(y^?y)≤limm→∞(d(y^?yt′m)+d(yt′m?xt′m)+d(xt′m?y))=0?所以y^=y,因而y∈A′(p).因而有A(p)=∪D有界ΛD(p)ˉ?A′(p),所以A(p)是極小的,這完成了定理的證明.接下來(lái)我們考慮在什么條件下,∪D有界ΛD(p)ˉ=A1(p)及∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np?B(θ-np))ˉ=A2(p)?是一致的.命題如果{B(P)}是正向不變的且一致有界(也即存在有界集D^,使得B(p)?D^,?p∈P),以及S(n,p,·)是下半連續(xù),則對(duì)所有的p∈P,A1(p)=A2(p)證因?yàn)閧B(p)}是正不變的吸收集,由于定理1可知,A2(p)吸引任一有界集,因而對(duì)任一有界集D,limn→∞Η*(S(n,θ-np?D)?A2(p))=0,由此可知ΛD(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np?D)ˉ?A2(p)?所以A1(p)?A2(p)下證:A2(p)?A1(p).由于{B(p)}是正不變的,因而A2(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np?B(θ-np)ˉ?B(p),又由于A2(p)是不變的,所以S(n,θ-np?A2(θ-np))=A2(p)?由B(p)?D^可知A2(p)?Λ(p).所以A2(p)?A1(p).因此A2(p)=A1(p).4強(qiáng)上鏈吸引子p本節(jié)我們給出強(qiáng)上鏈吸引子的定義及存在性.定義4.1族D={D(p),p∈P}稱為有界,如果對(duì)于?p,D(p)是有界集.{B(p)}稱為強(qiáng)的緊吸收族,如果對(duì)于任意的D={D(p)}有界族,?p∈P,?Np,D使得當(dāng)n≥Np,D時(shí).S(n,θ-np?D(θ-np))?B(p).定義4.2緊集族{A(p)}稱為是強(qiáng)上鏈吸引子,如果A(p)是嚴(yán)格不變的,對(duì)于任意的有界族D,limn→∞Η*(S(n,θ-np?D(θ-np)?A(p))=0.定理4.1假設(shè)S(1,p,·)是連續(xù)的,如果存在強(qiáng)的緊吸收族{B(p)},則存在強(qiáng)上鏈吸引子{A(p)},其中A(p)=∪D有界族ΛD(p)ˉ?ΛD(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np?D(θ-np))ˉ,且是極小的.證首先證明不變性:對(duì)于任一有界集族,D={D(p)}我們有ΛD(θp)=S(1,p,ΛD(p))事實(shí)上對(duì)于?y∈ΛD(θp),?xm,ym,tm,使得xm∈D(θ-tmθp),ym∈S(tm,θ-tmθp,xm)且ym→y(m→∞),因而存在zm∈S(tm-1,θ-tm+1p,xm)使得ym∈S(1,p,zm).由于{B(p)}是緊吸收集,因而當(dāng)m充分大時(shí),zm∈B(p),因而有收斂的子序列zm′→z∈B(p),且ym′∈S(1,p,zm′),所以z∈ΛD(p),由映射的上半連續(xù)性可知y∈S(1,p,z),即ΛD(θp)?S(1,p,ΛD(p)).另一方面,對(duì)于?x∈ΛD(p),?xm,tm,zm∈D(θ-tmp),使得xm∈S(tm,θ-tmp,zm)且xm→x(m→∞).由于S(1,p)是下半連續(xù),因而對(duì)于?y∈S(1,p,x),?ym∈S(1,p,xm)使得ym→y(m→∞).因而ym∈S(tm+1,θ-tm-1θp,zm),于是y∈ΛD(θp),即S(1,p,ΛD(p))?ΛD(θp).因而A(θp)=∪D有界集ΛD(θp)ˉ?∪D有界集S(1?p,ΛD(p))ˉ=S(1?p?∪D有界集ΛD(p))ˉ?S(1?p)∪D有界集ΛD(p)ˉ=S(1?p)A(p).下證:S(1,p)A(p)?A(θp).?x∈A(p),由定義可知,存在有界族序列{Dn},及序列{xn},xn∈ΛDn(p),