六年級奧數(shù).-數(shù)論.質(zhì)數(shù)、合數(shù)、約數(shù)、倍數(shù).學(xué)生版

學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考孕受;啊二) 一、 質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身，再不能被其他自然數(shù)整除，那么它就叫做質(zhì)數(shù)〔也叫做素數(shù)〕。一個大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身，還能被其他自然數(shù)整除，那么它就叫做合數(shù)。要特別記住：。和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。質(zhì)數(shù)有無限多個。最小的質(zhì)數(shù)是2。合數(shù)有無限多個。最小的合數(shù)是4。常用的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共計25個；除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5,其余的質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是1,3,7或9.考點(diǎn)：⑴值得注意的是很多題都會以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點(diǎn).⑵除了2和5,其余質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是1,3,7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注忌.二、判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的質(zhì)數(shù)觀均為整數(shù))，使得q能夠整除p,那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的〃，我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)K2,再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除夕,如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近144=12x12,根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).常用質(zhì)數(shù)整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017.約數(shù)、公約數(shù)與最大公約數(shù)概念(1)約數(shù):在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫因數(shù)，整數(shù)。能被整數(shù)A整除，。叫做A的倍數(shù)，A就叫做。的約數(shù)；(2)公約數(shù):如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的約數(shù)，稱這個整數(shù)為它們的“公約數(shù)”；(3)最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個就是最大公約數(shù)；(4)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來.例如：231=3x7x11,252=22x32x7，所以(231,252)=3x7=21；2|1812短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：3巴_6，所以(12,18)=2x3=6；32輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除,能夠整除的那個余數(shù),就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù),得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù),得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù),得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù),直到余數(shù)是0為止．那么,最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)．(如果最后的除數(shù)是1,那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)．例如，求600和1515的最大公約數(shù)：1515?600=2---315；600?315=1--285；315?285=1…30；285+30=9…15；30+15=2…0；所以1515和600的最大公約數(shù)是15.最大公約數(shù)的性質(zhì)①幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；②幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；③幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)n，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以n.求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)。；求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；-即為所求.a約數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系〔1〕約數(shù)是對一個數(shù)說的；〔2〕公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù),最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù).倍數(shù):一個整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除,這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)公倍數(shù):在兩個或兩個以上的自然數(shù)中,如果它們有相同的倍數(shù),那么這些倍數(shù)就叫做它們的公倍數(shù)最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的那個稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。.求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：231=3x7x11,252=22x3x7,所以(231,252]=22x3x7x11=2772；短除法求最小公倍數(shù)；

2|1812例如：3|9_6,所以118,121=2x3x3x2=36；32axb

(a,b).最小公倍數(shù)的性質(zhì)①兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).②兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積.③兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)..求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)a；求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)bb；b即為所求.例如:a[3_5]=[3,5]=15

4，12J-(4,12)注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如:.倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系〔1〕倍數(shù)是對一個數(shù)說的；〔2〕最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)五、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1.兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果m為A、B的最大公約數(shù)，且A=ma,B=mb,那么a、b互質(zhì)，所以A、B的最小公倍數(shù)為mab，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：M|ABab①AxB=maxmb=mxmab，即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；②最大公約數(shù)是A、B、A+B、A-B及最小公倍數(shù)的約數(shù)..兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即(a,b)x[a,b]=axb，此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。.對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：6x7x8=336，而6,7,8的最小公倍數(shù)為336+2=168注：性質(zhì)3不是一個常見考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考Z\\求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和Z\\.求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為23x52x7,所以它的約數(shù)有(3+l)x(2+l)x(l+l)=4x3x2=24個。(包括1和1400本身)約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“復(fù)原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值"o.求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次幕求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：21000=23x3x53x7,所以21000所有約數(shù)的和為(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可?！分仉y點(diǎn)*〔1〕特殊質(zhì)數(shù)2、5,質(zhì)數(shù)的個位數(shù)特征〔2〕要注意觀察約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)系；〔3〕整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個數(shù)字都可以表示為△☆x^^x...x△☆的結(jié)構(gòu)，而且表達(dá)形式唯一”仁初題潟窗【例1】在19、197、2009這三個數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個數(shù)是〔〕.〔4〕 0 (B)1 (C)2 (D)3【鞏固】 大約1500年前，我國偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，計算出口的值在3.1415926和3.1415927之間,成為世界上第一個把n的值精確到7位小數(shù)的人.現(xiàn)代人利用電腦已經(jīng)將n的值計算到了小數(shù)點(diǎn)后515億位以上．這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律．但是細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù)，31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù)，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是質(zhì)數(shù)？【例2】小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼是四位數(shù)．同時，她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為abba，其中a。b，而且ab和ba都是質(zhì)數(shù)（a和b是兩個數(shù)字）.具有這種形式的數(shù)共有多少個？【鞏固】 自然數(shù)N是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有多少個？【例3】一個兩位數(shù)，數(shù)字和是質(zhì)數(shù)．而且，這個兩位數(shù)分別乘以3，5，7之后，得到的數(shù)的數(shù)字和都仍為質(zhì)數(shù)．滿足條件的兩位數(shù)為【鞏固】 三位數(shù)A滿足：它的所有質(zhì)因數(shù)之和是26。這樣的三位數(shù)A有個?！纠?】用數(shù)字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9〔不允許把6倒過來當(dāng)作9，也不許把9倒過來當(dāng)作6〕組成七個不同的兩位質(zhì)數(shù)，這七個質(zhì)數(shù)之和等于 【鞏固】如果一些不同質(zhì)數(shù)的平均數(shù)是21，那么這些質(zhì)數(shù)中最大的一個可能是多少？【例5】a、b、c都是質(zhì)數(shù)，如果(a+b)x(b+c)=342，那么b=【鞏固】a,b,c者6是質(zhì)數(shù)，并且a+b=33,b+c=44,c+d=66,那么cd=【例6】將60拆成10個質(zhì)數(shù)之和，要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì)數(shù)是多少？【鞏固】將50分拆成10個質(zhì)數(shù)的和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則這個最大的質(zhì)數(shù)是多少？【例7】有些三位數(shù)，它的各位數(shù)字之積為質(zhì)數(shù)，這樣的三位數(shù)最小是 ，最大是【鞏固】萬尼亞想了一個三位質(zhì)數(shù)，各位數(shù)字都不相同．如果個位數(shù)字等于前兩個數(shù)字的和，那么這個數(shù)是幾？【例8】用L表示所有被3除余1的全體正整數(shù).如果L中的數(shù)（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何數(shù)整除，稱此數(shù)為“L—質(zhì)數(shù)”.問：第8個“L—質(zhì)數(shù)”是什么？【鞏固】 將八個不同的合數(shù)填入下面的括號中，如果要求相加的兩個合數(shù)互質(zhì)，那么A最小是幾?A=〔 〕+〔 〕=〔 〕+〔 〕=〔 〕+〔 〕=〔 〕+〔 〕【例9】一個自然數(shù)，它的最大的約數(shù)和次大的約數(shù)的和是111，這個自然數(shù)是【鞏固】 一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？【例10】兩個整數(shù)A、B的最大公約數(shù)是C,最小公倍數(shù)是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B,C+D=187,那么A+B等于多少？【鞏固】假設(shè)a,b,c是三個互不相等的大于0的自然數(shù)，且a+b+c=1155，則它們的最大公約數(shù)的最大值為，最小公倍數(shù)的最小值為，最小公倍數(shù)的最大值為.【例11】在1到100中,恰好有6個約數(shù)的數(shù)有多少個？【鞏固】恰有8個約數(shù)的兩位數(shù)有 個．【例12】動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒．那么平均給三群猴子，每只可得多少粒？【鞏固】加工某種機(jī)器零件,要經(jīng)過三道工序,第一道工序每名工人每小時可完成6個零件,第二道工序每名工人每小時可完成10個零件,第三道工序每名工人每小時可完成15個零件.要使加工生產(chǎn)均衡,三道工序最少共需要多少名工人?〔假設(shè)這三道工序可以同時進(jìn)行〕【例13】一次考試，參加的學(xué)生中有1得優(yōu)，1得良，1得中，其余的得差，已知參加考試的學(xué)生不滿7 3 250人，那么得差的學(xué)生有多少人？【鞏固】一次考試，參加的學(xué)生中有1得優(yōu)，1得良，1得中，其余的得差，已知參加考試的學(xué)生不滿100743人，那么得差的學(xué)生有多少人？【例14】兩個自然數(shù)a,b的最小公倍數(shù)等于50,問a+b有多少種可能的數(shù)值?【鞏固】已知a,b,c是三個自然數(shù)，且a與b的最小公倍數(shù)是60，a與c的最小公倍數(shù)是270。求b與c的最小公倍數(shù)?！纠?5】如圖，在長500米、寬300米的長方形廣場的外圍，每隔擺放一盆花，現(xiàn)要改為每隔2米擺放一盆花，并且廣場的4個頂點(diǎn)處的花盆不動，則需增加___盆花；在重新擺放花盆時，共有___盆花不用挪動?！眷柟獭坑幸恍┬∨笥雅懦梢恍校瑥淖竺娴谝蝗碎_始每隔2人發(fā)一個蘋果；從右面第一人開始每隔4人發(fā)一個桔子，結(jié)果有10個小朋友蘋果和桔子都拿到.那么這些小朋友最多有多少人？學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考課堂課邕檢測【隨練1】炎黃驕子菲爾茲獎被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎”，只獎勵40歲以下的數(shù)學(xué)家.華人數(shù)學(xué)家丘成桐、陶哲軒分別于1982年、2006年榮獲此獎.我們知道正整數(shù)中有無窮多個質(zhì)數(shù)（素數(shù)），陶哲軒等證明了這樣一個關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的奇妙定理：對任何正整數(shù)匕存在無窮多組含有左個等間隔質(zhì)數(shù)（素數(shù)）的數(shù)組.例如，左=3時，3,5,7是間隔為2的3個質(zhì)數(shù)；5,11,17是間隔為6的3個質(zhì)數(shù)：而,,是間隔為12的3個質(zhì)數(shù)（由小到大排列，只寫一組3個質(zhì)數(shù)即可）.【隨練2】用0-9這10個數(shù)字組成假設(shè)干個質(zhì)數(shù)，每個數(shù)字都恰好用一次，這些質(zhì)數(shù)的和最小是【隨練3】用0，1,2，…，9這10個數(shù)字組成6個質(zhì)數(shù)，每個數(shù)字至多用1次，每個質(zhì)數(shù)都不大于500，那么共有多少種不同的組成6個質(zhì)數(shù)的方法.請將所有方法都列出來.

【隨練4】三個兩兩不同的正整數(shù)，和為126,則它們兩兩最大公約數(shù)之和的最大值為【隨練5】甲、乙兩人同時從A點(diǎn)背向出發(fā)，沿400米的環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，兩人至少經(jīng)過多長時間才能在A點(diǎn)相遇？家庭作業(yè)一不￥【作業(yè)1】圖中圓圈內(nèi)依次寫出了前25個質(zhì)數(shù)；甲順次計算相鄰二質(zhì)數(shù)之和填在上行方格中；乙順次計算相鄰二質(zhì)數(shù)之積填在下行方格中.問：甲填的數(shù)中有多少個與乙填的數(shù)相同?為什么?【作業(yè)2】從1?9中選出8個數(shù)排成一個圓圈，使得相鄰的兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù).排好后可以從任意兩個數(shù)字之間切開，按順時針方向讀