五年級(jí)杯賽沖刺六數(shù)論真題賞析配套練習(xí)

1、整除；2、余數(shù)問題；3、位值原理4、分解質(zhì)因數(shù)；5、質(zhì)數(shù)與合數(shù)；6、約數(shù)與倍數(shù)（約數(shù)個(gè)數(shù)7、完全平方數(shù)（平方差）；8、數(shù)論新定義；9、數(shù)論最值；10、數(shù)論綜【1（2015年12月19日10:30~2:00第十六屆“杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)選拔賽第9題）如果一個(gè)數(shù)不是11的倍數(shù)，但是移除一個(gè)任意位上的數(shù)碼后，它就變成11的倍數(shù)了（比如111就是這樣的數(shù)，無論移除其個(gè)位、十位或百位數(shù)碼，都變成11的倍數(shù)了這樣的數(shù)定義為“數(shù)四位“數(shù)”有 【答案】移除a，則11bcd，即11dcbb，則11acd，即11dca；移除c，則11abd，即11dbad，則11abc，即11cba所以四位“數(shù)”有0個(gè) ，但是至少對(duì)于不會(huì)做本題的同學(xué)來說，填0顯然是最有可能得分的做法?！?（2015年12月27日80~9:00第十四屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽五年級(jí)組第3題 ，從左往右數(shù)第五位上的數(shù)字忘記了，只記得是56786789的乘積，那 【答案】 567867895678678926308324246mod9因 56786789，所以8

在小于10000的正整數(shù)換一個(gè)數(shù)最上與最低位上的數(shù)字，得到一個(gè)新數(shù)，且新數(shù)是原數(shù)的1.2倍，滿足 【答案】5

所以原數(shù)的個(gè)位數(shù)字必定是5；設(shè)滿足條件的三位數(shù)為ab5，由題意得5baab51.250

0ba1210a10b5，119a2b494設(shè)滿足條件的四位數(shù)為abc5，由題意得5bcaabc51.2，500100b10c 1199a20b2c4994a4b9c9滿足條件，即4995是滿足條件的數(shù)；那么滿足條件的的所有數(shù)的總和是449549955535．【4（2014年12月20日10:30~2:00第十五屆“杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)選拔賽第12題）多可以得到個(gè)桃子．【答案】根據(jù)題目條件可得aak1k25722ak1k1144當(dāng)k82a81143，得a6則獲得桃子數(shù)量最多的那個(gè)孩子最多可以得到688175個(gè)桃子．已知若干未知整的乘積，通過乘積進(jìn)分質(zhì)因數(shù)和因數(shù)重求這些是解決題的重思，其較高的性得 遇多整加減結(jié)都點(diǎn)將化法值如方簡(jiǎn)單的因分解等“1的，對(duì)某些問來說不漏解?！?（2015年12月27日80~9:00第十四屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽五年級(jí)組第8題【答案】3743

大于等于22且小于100的素?cái)?shù)有：2 9,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79 97；再考慮除以7A10A20A30A60A70A1mod7A2mod7；滿足條件的素?cái)?shù)有：37,43,79，逐個(gè)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)37,43,79均滿足條件； 【6（2014年12月20日10:30

2:00第十五屆“杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)選拔賽第18題）且CDE恰好有16個(gè)因數(shù)，則ABCDE的最小值為 【答案】因?yàn)?6168244222222所以由約數(shù)個(gè)數(shù)可得CDEp15p7pp3p3p3 ppppp 五位數(shù)中2014的倍數(shù)從2014510070到201471 后三位都恰好對(duì)應(yīng)的倍數(shù) 70到1471994；1427，其倍數(shù)中滿足CDE可能的幾種情況的最小值分別為277，2373，237和2357；其中最小的是23371412，即滿足條件的ABCDE的最小值為2 1 68． 【7（2014年12月20日10:30定義n12n5!12

45n!n1（其中n為正整數(shù)，且1n100）2如n7n!n1!717!8!7!7!87!247!222 的n的和 【答案】n!n1n!n!n1n!2n1 n!n

n

2因?yàn)?n100，所以12k21

k2，n2k216n的和為2121222721227272781572736【8（2013年12月21日9:00~10:30第十四屆“杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)選拔賽第16題）有這樣的正整數(shù)n，使得8n7、18n35均為完全平方數(shù)。則所有符合要求的正整數(shù)n 【答案】2或8n7設(shè)

因?yàn)?,1872，所以9得72n639a24得72n1404b2；兩式相減，得9a24b2773a22b277；由平方 得3a2b3a2b777711173a2b于是有3a2b

3a2b或3a2b132

a，解得b32

a或 b代入原式分別得到n 22或n8

8【9（2015年12月19日10:30~2:00第十六屆“杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)選拔賽第7題）對(duì)字母a~z進(jìn)行編碼（a1b2，z26），這樣每個(gè)英文單詞（所有單詞中的字母都認(rèn)為是小寫字母）pgoodp711546300（g7，o15，小的三位數(shù)“數(shù)”為．接下來只需要驗(yàn)算小于106的三位合數(shù)中是否存在“數(shù)”即可；驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)1002252，10223

（1）nSnSn（2）n的所有質(zhì)因數(shù)，計(jì)算這些質(zhì)因數(shù)的平方和，再除以2，將結(jié)果中的所有0n（比如所有質(zhì)因數(shù)平方和除以2后的結(jié)果為3025，那么移除0變?yōu)?25．滿足這兩個(gè)條件的正整數(shù)n 所以由nSnSn，得SnSnSnmod9；則Sn0或1mod9；事實(shí)上nSnSnn不能太以n不能為五位數(shù)，而一位、兩位、三位、四位數(shù)理論上都有可能；則Sn36，即Sn1,9,10,1819,27,28,36若Sn1，則nSnSn111n1若Sn10，則nSnSn10110n1沒有質(zhì)因數(shù)，不滿足條件；若Sn18，則nSnSn1811458，n8541321373，32123222753.5，不滿足條件；若Sn19nSnSn1911729n9271731277222107291729，滿足條件；若Sn27nSnSn221944，19441827，不滿足條件；

8222962296192863226822681836接下來趁熱打鐵，一起來做一些習(xí)題吧：用1、2、3、4、67、8、9這樣的八個(gè)數(shù)組成一個(gè)多位整數(shù)，使它能被1、2、3、4、6、7、8、9中的每個(gè)數(shù)整除．其中每一個(gè)數(shù)字至少使用一次，也可以重復(fù)使用，例如：．那么，滿足這樣條件的整數(shù)中，最小的一個(gè)是．1352015的結(jié)果的末三位是 設(shè)n是小于50的自然數(shù)，那么使得4n5和7n6有大于1的公約數(shù)的所有n的可能值之和 設(shè)A ，A的約數(shù)個(gè)數(shù)為B；B的約數(shù)中，5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為C；C的約數(shù)和為D；D的約數(shù)積為E；的偶約數(shù)個(gè)數(shù)為F；F的約數(shù)的倒數(shù)和為G．則G 已知p,q是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，且201