函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)-新人教A版選修2-2省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

1/24函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當(dāng)x1、x2∈G且x1＜x2時(shí)

yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在G上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在G上是減函數(shù)；若f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在G上含有嚴(yán)格單調(diào)性。G稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間復(fù)習(xí)引入G=(a,b)2/24

以前,我們主要采取定義法去判斷函數(shù)單調(diào)性.在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜情況下,比較f(x1)與f(x2)大小并不輕易.假如利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性就比較簡(jiǎn)單.判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些方法？圖象法定義法已知函數(shù)3/24xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

觀(guān)察下面一些函數(shù)圖象,探討函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)關(guān)系.

在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),假如,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

假如,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.結(jié)論4/24例1已知導(dǎo)函數(shù)以下信息:當(dāng)1<x<4時(shí),當(dāng)x>4,或x<1時(shí),當(dāng)x=4,或x=1時(shí),試畫(huà)出函數(shù)圖象大致形狀.解:

當(dāng)1<x<4時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>4,或x<1時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)x=4,或x=1時(shí),

綜上,函數(shù)圖象大致形狀如右圖所表示.xyO145/24例2判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(1)因?yàn)?所以所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增.6/24(2)因?yàn)?所以當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.例2判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:7/24解:(3)因?yàn)?所以所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減.例2判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:8/24(4)因?yàn)?所以

當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng),即時(shí),函數(shù)

單調(diào)遞減.例2判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:9/24求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間步驟：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)(3)確認(rèn)并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）10/24練習(xí)P2611.判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:11/241.判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:12/24函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系注意：應(yīng)正確了解“某個(gè)區(qū)間”含義,它必是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間。13/24

練習(xí)、判斷以下函數(shù)單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間。p?(0,)（1）求函數(shù)定義域（2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自變量x取值范圍

(4)下結(jié)論，寫(xiě)出函數(shù)單調(diào)區(qū)間?？偨Y(jié):用“導(dǎo)數(shù)法”求單調(diào)區(qū)間步驟：練習(xí)：14/24證實(shí)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)性方法：(1)求f’(x)(2)確認(rèn)f’(x)在(a,b)內(nèi)符號(hào)(3)作出結(jié)論15/24例求證函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)16/241.對(duì)x∈(a,b),假如f/(x)≥0,但f/(x)不恒為0,則f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù);2.對(duì)x∈(a,b),假如f/(x)≤0,但f/(x)不恒為0,則f(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù);補(bǔ)充結(jié)論17/24解：由已知得因?yàn)楹瘮?shù)在（0，1]上單調(diào)遞增18/24

例3如圖,水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水體積相同)注入下面四種底面積相同容器中,請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)水高度h與時(shí)間t函數(shù)關(guān)系圖象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO19/24

普通地,假如一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)改變得快,這時(shí),函數(shù)圖象就比較“陡峭”(向上或向下);

反之,函數(shù)圖象就“平緩”一些.

如圖,函數(shù)在或內(nèi)圖象“陡峭”,在或內(nèi)圖象“平緩”.20/24例求證：方程只有一個(gè)根。21/24知識(shí)小結(jié)：普通地，函數(shù)y＝f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)：假如

，則f(x)在該區(qū)間是增函數(shù)。假如

，則f(x)在該區(qū)間是減函數(shù)。求單調(diào)區(qū)間步驟:（1）求函數(shù)定義域（