高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第二節(jié)數(shù)列極限一、概念引入二、數(shù)列定義三、數(shù)列極限四、數(shù)列極限性質(zhì)五、小結(jié)思索題11/311單擊任意點(diǎn)開(kāi)始觀察1.【割圓術(shù)】觀察完成“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒铡疽恳?、概念引?/312正六邊形面積正十二邊形面積正形面積3/3132.【截丈問(wèn)題】“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”公元前3左右，中國(guó)古代思想家墨子語(yǔ)：4/314二、數(shù)列定義【比如】5/315【注意】1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)6/316單擊任意點(diǎn)開(kāi)始觀察三、數(shù)列極限觀察結(jié)束7/317【問(wèn)題1】當(dāng)

無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限靠近于某一確定數(shù)值?假如是,怎樣確定?【問(wèn)題2】“無(wú)限靠近”意味著什么?怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它，描述它。經(jīng)過(guò)上面演示試驗(yàn)觀察:【直觀定義】當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限靠近于一個(gè)確定常數(shù)a，稱a是數(shù)列xn極限.“距離任意小”8/3189/319【發(fā)散】假如數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散.【說(shuō)明】發(fā)散有①不存在；②-∞；③+∞；④∞。1.【準(zhǔn)確定義】設(shè){xn}為一數(shù)列,

若存在常數(shù)a

,

對(duì)任給定正數(shù)ε(不論它多么小),

總存在正數(shù)N

,使得當(dāng)n>N

時(shí)，不等式

|xn-a|<ε都成立,那么就稱

a是數(shù)列{xn}

極限,或者稱數(shù)列{xn}

收斂于a,

記為

或10/3110任意、給定二重性：只有任意（小）才能刻劃出xn

“無(wú)限靠近于a

”，而只有給定才能找到對(duì)應(yīng)N.（已知極限存在時(shí)，慣用給定性來(lái)論證）（但不是函數(shù)關(guān)系，因N不唯一）【注意】（5）.［意義］用一個(gè)有限數(shù)，概括出一個(gè)無(wú)限改變量(用常量研究變量)。11/31113.【幾何解釋】等價(jià)解釋2.【ε—N

定義】Any表任意(給)Exist表存在或最少有一個(gè)【思索】認(rèn)為“當(dāng)n>N時(shí)，有沒(méi)有窮多個(gè)點(diǎn)落在(a-ε,a+ε)內(nèi)”是等價(jià)解釋，正確嗎？12/3112數(shù)列極限定義未給出求極限方法.【例1】【證】所以,【注意】13/3113【例2】【證】【練習(xí)】證實(shí)常數(shù)列極限等于它本身.（公式）所以,14/3114【例3】【證】【小結(jié)】用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但無(wú)須要求最小N.—公式15/3115【補(bǔ)例4】【證】放大不等式16/3116【注意】(1)即，經(jīng)過(guò)不等式放大等辦法求出正整數(shù)N，再定出n范圍，從而確保成立.(2)

N與ε是相對(duì)應(yīng)，但N不是唯一;N有沒(méi)有窮多個(gè)，則“n>N”允許為“n≥N”.(3)同理，因ε任意，則2ε，等也任意，則允許為17/3117四、數(shù)列極限性質(zhì)1.唯一性【定理1】每個(gè)收斂數(shù)列只有一個(gè)極限.【證】［注意以下證實(shí)都是已知極限存在時(shí)，利用ε給定性來(lái)論證］用反證法18/3118【例5】【證】由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.矛盾【證完】19/31192.有界性【比如】有界無(wú)界不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1區(qū)間內(nèi).20/3120(2)【定理2】收斂數(shù)列必定有界.【證】由定義,【注意】①逆否命題必成立：無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.②逆命題不成立；有界列不一定收斂.③數(shù)列有界是收斂必要條件.21/31213.保號(hào)性【定理3】【證實(shí)】由數(shù)列極限定義，有從而【證完】22/3122【推論】【證實(shí)】以下用反證法由定理3知【證完】23/31234.【子數(shù)列收斂性】（收斂列與其子列關(guān)系）【注意】［比如］（1）【定義】①②③24/3124（2）【定理4】收斂數(shù)列任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．【證】【分析】欲證25/3125【證畢】（尋找到K）26/3126【注意】a.慣用此關(guān)系判斷一個(gè)數(shù)列極限不存在方法①：若數(shù)列有兩個(gè)子列收斂于不一樣極限，則原數(shù)列發(fā)散.如數(shù)列方法②：若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散,則原數(shù)列發(fā)散.

如b.上例說(shuō)明了發(fā)散數(shù)列也可能有收斂子列.27/3127五、小結(jié)數(shù)列:研究其改變規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想、準(zhǔn)確定義、幾何意義;收斂數(shù)列性質(zhì):唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列收斂性.28/3128【思索題】【錯(cuò)證】能夠證實(shí)因?yàn)榻庑虏坏仁焦十?dāng)時(shí)必有［證完］29/3129【思索題解答】【分析】錯(cuò)誤①：極限是1明顯是不對(duì)，應(yīng)為0.錯(cuò)誤②：推導(dǎo)過(guò)程中又將不適當(dāng)放大，致使不等式：不能對(duì)任何ε>0成立.［比如］取ε=1/2時(shí)，找不到n滿足該不等式.【結(jié)論】極限分析定義嚴(yán)格描述了極限過(guò)程，假如隨心