第二章隨機變量及分布一元

連續(xù)型隨機變量及概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.1.

實例:了解人們身高的分布身高的數(shù)據(jù)已知根據(jù)這些數(shù)據(jù)作頻率直方圖對頻率直方圖進行考察

af

(

x)dxP(a

￡

X

￡

b)

=對于隨機變量X

,如果存在非負可積函數(shù)f(x)

,

x?

(-￥

,+￥

)

,使得對任意a

￡

b

,

有b則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度.2.

連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)的定義3.

概率密度函數(shù)的性質1

:

f

(

x)

?

0￥-￥2

:

f

(

x)dx

=

1這兩條性質是判定一個函數(shù)f(x)是否為某隨機變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.f

(x)xo面積為1上之比的極限.

這里，如果把概率理解為質量，f

(x)相當于線密度.的概率與區(qū)間長度DxX落在區(qū)間(x,x

+Dx]DxP(x

<

X

￡

x

+

Dx)limDxfi

0Dx

x=

limDxfi

0=f(x)故X的密度f(x)在x

這一點的值，恰好是4.

對f(x)的進一步理解:若x是f(x)的連續(xù)點，則：x+DxDxDxfi

0f

(t)dt

f

(

x)Dx=

lim

0,f

(

x)

=

kx

+

1, 0

￡

x

￡

2其它例：已知連續(xù)型隨機變量的概率密度為求常數(shù)k

+￥-￥f

(

x)dx

=

1

20=

1

即：(kx

+1)dx解：21(20kx

2

+

x)

=

1

2k

+

2

=

12\

k

=

-

1要注意的是，密度函數(shù)

f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.

但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.

也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.f

(x)xo若不計高階無窮小，有：P{x

<

X

￡

x

+

Dx}

=

f

(

x)Dx它表示隨機變量X取值于(x,x

+Dx]的概率近似等于f

(x)Dx.f

(x)Dx

在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的P(

X

=

xk

)

=

pk作用相類似.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0.即：P

(

X

=

a)

=

0,a為任一指定值這是因為

aP(

X

=

a)

=

lim

P(a

￡

X

<

a

+Dx)Dxfi

0a

+Dxf

(

x)dx=

limDxfi

0=

0需要指出的是:由此得，1)對連續(xù)型隨機變量X,有P(a

￡

X

￡

b)

=

P(a

<

X

￡

b)=

P(a

￡

X

<

b)=

P(a

<

X

<

b)2)P(X=a)=0而{X=a}并非不可能事件{X

?

R

-{a}}并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,

不能推出

A

=

f由P(B)=1,

不能推出

B=S下面給出幾個隨機變量的例子.由于連續(xù)型隨機變量唯一被它的密度函數(shù)所確定.所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型隨機變量的概率規(guī)律就得到了全面描述.f

(x)xo則稱X服從區(qū)間(a,

b)上的均勻分布，記作：X

～

U(a,

b)它的實際背景是：

隨機變量X

取值在區(qū)間(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比.則X

具有(a,b)上的均勻分布.（1）若隨機變量X的概率密度為：f

(x)ab

1,

a

<

x

<

b0,

其它f

(

x)

=

b

-

a均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.例1某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,

7:45

等時刻

有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間

X

是7:00

到

7:30

之間的均勻隨機變量,

試求他候車時間少于5

分鐘的概率.解：以7:00為起點0，以分為單位依題意，X

～

U

(0,30)

1

,0

<

x

<

300,

其它f

(

x)

=

30從上午7時起，每15分鐘來一班車，即7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，

1

,0

<

x

<

300,

其它f

(

x)

=

3030

30

32510=

15

1

dx

+

30

1

dx

=

1即乘客候車時間少于5

分鐘的概率是1/3.候車時間X少于5

分鐘，乘客必須在7:10到7:15

之間，或在7:25

到7:30

之間到達車站.所求概率為：P{10

<

X

<

15}

+

P{25

<

X

<

30}指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.（2）若隨機變量X具有概率密度

x

?

0x

<

0f

(

x)

=

0

le

-lxl

>

0則稱X服從參數(shù)為l

的指數(shù)分布.常簡記為X~E(

l

).

+￥-￥+￥f