離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹

1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列1.2線性移不變系統(tǒng)1.3常系數(shù)線性差分方程1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣

第1章離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第1頁

1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列

1.1.1序列定義

1.1.2序列基本運(yùn)算1.1.3慣用基本序列1.1.4序列周期性1.1.5用單位脈沖表示任意序列

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第2頁1.1.1序列定義信號(hào)在數(shù)學(xué)上定義為一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)表示一個(gè)信息，通常是關(guān)于一個(gè)物理系統(tǒng)狀態(tài)或特征。信號(hào)函數(shù)表示是關(guān)于一個(gè)或幾個(gè)獨(dú)立變量，關(guān)于一個(gè)獨(dú)立變量信號(hào)稱為一維信號(hào)，關(guān)于多個(gè)獨(dú)立變量信號(hào)稱為多維信號(hào)。在本書中，主要討論信號(hào)是一維信號(hào)x(t),普通情況下x(t)為隨時(shí)間改變信號(hào)，簡(jiǎn)稱時(shí)間信號(hào)或時(shí)域信號(hào)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第3頁

若t是定義在時(shí)間上連續(xù)變量，稱x(t)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，也就是模擬信號(hào)；若t僅在時(shí)間離散點(diǎn)上取值，稱x(t)為離散時(shí)間信號(hào)或時(shí)域離散信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)能夠經(jīng)過對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣得到,這種情況下把信號(hào)記為x(nT)，T表示是采樣點(diǎn)之間時(shí)間間隔，n是一個(gè)整數(shù)。離散時(shí)間信號(hào)能夠表示成以下形式：

｛x(nT)｝n=0,±1,±2,±3,...

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在大多數(shù)DSP系統(tǒng)中，x(nT)存放是按n下標(biāo)來放置，不一樣x(nT)只要靠n就可區(qū)分。所以，將x(nT)表示為x(n)，這是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象。所以一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)定義為：

｛x(n)｝n=0,±1,±2,±3,...

{x(n)}定義在n等于整數(shù)點(diǎn)上，在n不等于整數(shù)點(diǎn)上，{x(n)}沒有定義，但并不表示信號(hào)值為零。從數(shù)學(xué)角度看，上面定義式表示一個(gè)序列，所以也把離散時(shí)間信號(hào)稱作離散時(shí)間序列，經(jīng)常簡(jiǎn)化為x(n)。

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序列除了數(shù)學(xué)表示式外，還經(jīng)常采取圖形方式來表示，如圖1.1所表示。即使橫坐標(biāo)畫成一條連續(xù)直線，但x(n)僅僅對(duì)于整數(shù)n值才有意義。

圖1.1離散時(shí)間信號(hào)圖形表示

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離散時(shí)間信號(hào)在幅度上定義成連續(xù)，假如將幅度進(jìn)行量化，普通為等間隔量化。在時(shí)間和幅度上都取離散值信號(hào)稱為“數(shù)字信號(hào)”。所以，離散時(shí)間信號(hào)并不等于數(shù)字信號(hào)，但因?yàn)閿?shù)字信號(hào)是幅度量化得到，在數(shù)學(xué)表示和推導(dǎo)中不如序列形式方便和輕易，所以普通都采取離散時(shí)間信號(hào)來討論數(shù)字信號(hào)處理理論和算法。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第7頁1.1.2序列基本運(yùn)算和積移位標(biāo)乘翻轉(zhuǎn)累加差分時(shí)間尺度變換序列能量卷積和天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第8頁基本運(yùn)算—序列和設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)+y(n)表示兩個(gè)序列和，定義為同序號(hào)序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第9頁例：序列和例1.1.1設(shè)序列計(jì)算序列和x(n)+y(n)。解：天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第10頁例：序列求和圖示天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第11頁基本運(yùn)算—序列積設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)?y(n)

表示兩個(gè)序列積，定義為同序號(hào)序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第12頁例：序列積例1.1.2設(shè)序列計(jì)算序列積x(n)?y(n)。解：天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第13頁例：序列求積圖示x(n)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第14頁基本運(yùn)算—序列移位設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)=x(n-m)表示將序列x(n)進(jìn)行移位。

m為正時(shí)x(n-m)：x(n)逐項(xiàng)依次延時(shí)(右移)m位x(n+m)：x(n)逐項(xiàng)依次超前(左移)m位m為負(fù)時(shí)，則相反。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第15頁例：序列移位例1.1.3設(shè)序列計(jì)算序列移位序列x(n+1)。解：天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第16頁例：序列移位圖示x(n)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第17頁基本運(yùn)算—序列標(biāo)乘設(shè)序列為x(n)，a為常數(shù)(a≠0)，則序列y(n)=ax(n)表示將序列x(n)標(biāo)乘，定義為各序列值均乘以a，使新序列幅度為原序列a倍。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第18頁例：序列標(biāo)乘例1.1.4設(shè)序列計(jì)算序列4x(n)。解：天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第19頁基本運(yùn)算—序列翻轉(zhuǎn)設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)=x(-n)

表示以n=0縱軸為對(duì)稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第20頁例：序列翻轉(zhuǎn)例1.1.5設(shè)序列計(jì)算序列x(-n)。解：天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第21頁基本運(yùn)算—序列累加設(shè)序列為x(n)，則序列

定義為對(duì)x(n)累加，表示將n以前全部x(n)值求和。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第22頁例:序列累加設(shè)序列為則其累加序列即…y(0)=x(0)=1,y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)=3,y(2)=y(1)+x(2)=7…天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第23頁基本運(yùn)算—序列差分前向差分：將序列先進(jìn)行左移，再相減Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：將序列先進(jìn)行右移，再相減▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此輕易得出▽x(n)=Δx(n-1)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第24頁多階差分運(yùn)算二階前向差分二階后向差分單位延遲算子D，有Dy(n)=y(n-1)▽y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n)▽=1-D

k階后向差分(按二項(xiàng)式定理展開)二階后向差分天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第25頁例:差分運(yùn)算例1.1.6設(shè)序列求Δx(n)和▽x(n)。解：前向差分天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第26頁例:差分運(yùn)算后向差分天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第27頁基本運(yùn)算—時(shí)間尺度(百分比)變換設(shè)序列為x(n)，m為正整數(shù)，則序列抽取序列：y(n)=x(mn)x(mn)和x(n/m)定義為對(duì)x(n)時(shí)間尺度變換。插值序列：

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第28頁抽取序列x(mn)：對(duì)x(n)進(jìn)行抽取運(yùn)算不是簡(jiǎn)單在時(shí)間軸上按百分比增加到m倍以1/m倍取樣頻率每隔m-1個(gè)點(diǎn)抽取1點(diǎn)。保留

x(0)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第29頁插值序列x(n/m)：對(duì)x(n)進(jìn)行插值運(yùn)算表示在原序列x(n)相鄰兩點(diǎn)之間插入m-1個(gè)零值點(diǎn)

保留

x(0)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第30頁基本運(yùn)算—序列能量設(shè)序列為x(n)，則序列

定義為序列能量，表示序列各取樣值平方之和；

若為復(fù)序列，取模值后再求平方和。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第31頁基本運(yùn)算—序列卷積和設(shè)序列為x(n)和z(n)，則序列

定義為序列x(n)和z(n)卷積和。卷積和又稱為離散卷積或線性卷積，是很主要公式。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第32頁卷積和計(jì)算四個(gè)步驟

翻轉(zhuǎn)：x(m)，z(m)→z(-m)

移位：z(-m)→z(n-m)n為正數(shù)時(shí)，右移n位n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n位

相乘：z(n-m)?

x(m)（m值相同）

相加：y(n)=∑{z(n-m)?

x(m)}天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第33頁對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！例：卷積和計(jì)算例1.1.7設(shè)序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：

n＜0時(shí)，x(m)與z(n-m)沒有重合，得y(n)=0。

0≤n≤4時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第34頁例：卷積和計(jì)算4＜n≤6時(shí)，6＜n≤10時(shí)，n＞10時(shí)，x(m)與z(n-m)沒有重合，得y(n)=0。

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第35頁1.1.3幾個(gè)慣用序列單位脈沖(抽樣)序列單位階躍序列矩形序列實(shí)指數(shù)序列正弦序列復(fù)指數(shù)序列天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第36頁單位脈沖序列δ(n)只在n=0時(shí)取確定值1，其它均為零δ(n)類似于δ(t)δ(n-m)只有在n=m時(shí)取確定值1，而其余點(diǎn)取值均為零

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第37頁單位階躍序列u(n)類似于u(t)u(t)在t=0時(shí)常不定義，u(n)在n=0時(shí)為u(0)=1

δ(n)和u(n)關(guān)系：δ(n)=u(n)-u(n-1)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第38頁單位矩形序列N為矩形序列長(zhǎng)度

和u(n)、δ(n)關(guān)系

：天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第39頁實(shí)指數(shù)序列a為實(shí)數(shù)當(dāng)|a|＜1時(shí)序列收斂當(dāng)|a|＞1時(shí)序列發(fā)散

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第40頁正弦序列A為幅度ω為數(shù)字域角頻率φ為起始相位

x(n)由x(t)=sinΩt取樣得到x(n)=Asin(ωn+φ)

歸一化:ω=ΩT=Ω/fs(ω與Ω線性關(guān)系)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第41頁復(fù)指數(shù)序列

ω為數(shù)字域角頻率用實(shí)部與虛部表示

用極坐標(biāo)表示

σ=0時(shí)，序列含有以2π為周期周期性

復(fù)指數(shù)序列在實(shí)際中不存在，它是為了數(shù)學(xué)上表示和分析方便而引入，它特征和正弦或余弦序列特征基本一致。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第42頁1.1.4序列周期性對(duì)于序列x(n)，假如對(duì)全部n存在一個(gè)最小正整數(shù)N，滿足x(n)=x(n+N)則序列x(n)是周期序列，最小周期為N。以正弦序列為例討論周期性設(shè)x(n)=Asin(ωn+φ)

則有

x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)

若滿足條件ωN=2kπ，則x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第43頁周期性討論N、k為整數(shù)，k取值滿足條件，且確保N是最小正整數(shù)。其周期為

2π/ω為整數(shù)時(shí)，取k=1，確保為最小正整數(shù)。此時(shí)為周期序列，周期為2π/ω。

例1.1.8序列，因?yàn)?π/ω=8，所以是一個(gè)周期序列，其周期N=8。

例1.1.8序列，因?yàn)?π/ω=8，所以是一個(gè)周期序列，其周期N=8。

例1.1.8序列，因?yàn)?π/ω=8，所以是一個(gè)周期序列，其周期N=8。

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第44頁周期性討論2π/ω為有理數(shù)而非整數(shù)時(shí)，依然是周期序列，周期大于2π/ω。例1.1.9序列，2π/ω=8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

2π/ω為無理數(shù)時(shí)，任何k都不能使N為正整數(shù)，這時(shí)正弦序列不是周期序列。

指數(shù)為純虛數(shù)復(fù)指數(shù)序列周期性與正弦序列情況相同。

例1.1.10序列,2π/ω=8π/3是無理數(shù)，所以不是周期序列。例1.1.9序列，2π/ω=8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第45頁周期性討論判斷一個(gè)正弦序列是否是周期序列方法是：用2π除以它數(shù)字頻率ω，若得出是整數(shù)或有理數(shù)，則序列為周期序列；若得出是無理數(shù)，序列就不是周期序列。但不論序列是否為周期序列，仍把ω稱作序列數(shù)字頻率。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第46頁下面來說明模擬頻率和數(shù)字頻率之間關(guān)系。

設(shè)模擬正弦信號(hào)為

對(duì)該以T為采樣間隔進(jìn)行采樣離散,得

將離散后信號(hào)表示成離散正弦序列，即

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第47頁

可知

其中，稱為采樣頻率。該式即為數(shù)字頻率ω和模擬角頻率Ω0、模擬頻率f0之間關(guān)系式，它們是依靠采樣間隔T或采樣頻率fs進(jìn)行關(guān)聯(lián)。

整理后可得

能夠看出：

ω是一個(gè)相對(duì)頻率，它是連續(xù)正弦信號(hào)頻率f0

對(duì)抽樣頻率fs相對(duì)頻率乘以2π，或說是連續(xù)正弦信號(hào)角頻率Ω0對(duì)抽樣頻率fs相對(duì)頻率。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第48頁

數(shù)字頻率特點(diǎn)：（1）ω是一個(gè)連續(xù)取值量；（2）ω量綱為一個(gè)角度量綱單位：弧度（rad）。它表示序列在采樣間隔T內(nèi)正弦信號(hào)改變角度，表示了信號(hào)相對(duì)改變快慢程度；（3）序列對(duì)于ω是以2π為周期，或者說，ω獨(dú)立取值范圍為[0,2π)或[-π,π)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第49頁正弦型序列是周期序列條件為：（有理數(shù)）則當(dāng)N個(gè)抽樣間隔等于k個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)周期時(shí)，由正弦信號(hào)抽樣得到正弦序列是周期序列。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第50頁1.1.5用單位脈沖序列表示任意序列

任何序列都能夠用單位脈沖序列移位加權(quán)和來表示，即式中天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第51頁比如如圖序列，能夠表示成天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第52頁x(n)可看成是x(n)和δ(n)卷積和，即例1.1.11

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第53頁1.2線性移不變系統(tǒng)

1.2.1系統(tǒng)定義

數(shù)字信號(hào)處理任何處理都是依靠系統(tǒng)來完成,所以系統(tǒng)是數(shù)字信號(hào)處理關(guān)鍵，系統(tǒng)普通包含系統(tǒng)硬件和系統(tǒng)所完成處理算法。系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)唯一性變換或運(yùn)算。這種映射是廣義，實(shí)際上表示是一個(gè)詳細(xì)處理，或是變換，或是濾波。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第54頁系統(tǒng)能夠表示為

其中，符號(hào)T[]表示系統(tǒng)映射或處理，能夠把T[]簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)圖形表示以下列圖所表示，輸入x(n)稱為系統(tǒng)激勵(lì)，輸出y(n)稱為系統(tǒng)響應(yīng)。因?yàn)樗鼈兙鶠殡x散時(shí)間信號(hào)，將系統(tǒng)T[]稱為離散時(shí)間系統(tǒng)或時(shí)域離散系統(tǒng)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第55頁

1.2.2線性離散時(shí)間系統(tǒng)

滿足疊加原理系統(tǒng)，或滿足齊次性和可加性系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。

設(shè)y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]對(duì)任意常數(shù)a,b，若

T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)則稱T[]為線性離散時(shí)間系統(tǒng)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第56頁

推廣到普通情況，設(shè)yk(n)=T[xk(n)]，k=1，2，...N線性系統(tǒng)滿足1≤k≤N

線性系統(tǒng)特點(diǎn)是多個(gè)輸入線性組合系統(tǒng)輸出等于各輸入單獨(dú)作用輸出線性組合。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第57頁[例1.2.1]

證實(shí)由線性方程表示系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。證實(shí)

設(shè)所以，該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第58頁

1.2.3非時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng)若滿足以下條件，系統(tǒng)稱為非時(shí)變（非移變）系統(tǒng)，或時(shí)不變（移不變）系統(tǒng)。

設(shè)

y(n)=T[x(n)]對(duì)任意整數(shù)k,有

y(n-k)=T[x(n-k)]

即系統(tǒng)映射T[]不隨時(shí)間改變，只要輸入x(n)是相同，不論何時(shí)進(jìn)行激勵(lì)，輸出y(n)總是相同，這正是系統(tǒng)非時(shí)變性特征。

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第59頁下列圖形象說明了系統(tǒng)非時(shí)變性概念。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第60頁[例1.2.2]設(shè)系統(tǒng)映射y=T[x(n)]=nx(n)，判斷系統(tǒng)線性和時(shí)不變性。解設(shè)y1(n)=nx1(n),y2(n)=nx2(n)x(n)

=a1x1(n)+a2x2(n)

則T[x(n)]=nx(n)

=na1x1(n)+na2x2(n)=a1y1(n)+a2y2(n)

所以，系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。設(shè)y(n)=nx(n),x1(n)=x(n-k)y1(n)=nx1(n)=nx(n-k)

而y(n-k)=(n-k)x(n-k)≠y1(n)所以，系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第61頁

1.2.4線性時(shí)不變離散系統(tǒng)

定義同時(shí)具備線性和時(shí)不變性系統(tǒng)稱作線性非時(shí)變系統(tǒng)或線性時(shí)不變系統(tǒng)。它主要意義在于，系統(tǒng)處理過程能夠統(tǒng)一采取這種系統(tǒng)特征描述之一——單位取樣響應(yīng)，以一個(gè)相同運(yùn)算方式——卷積運(yùn)算，進(jìn)行統(tǒng)一表示。任何一個(gè)信號(hào)能夠表示成單位取樣序列線性組合，即天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第62頁

系統(tǒng)對(duì)響應(yīng)為

設(shè)系統(tǒng)對(duì)單位取樣序列響應(yīng)為，即

稱為系統(tǒng)“單位取樣響應(yīng)”，它是描述系統(tǒng)一個(gè)非常主要信號(hào)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第63頁依據(jù)時(shí)不變性，有

則系統(tǒng)輸出y(n)可表示為上式表明：當(dāng)線性非時(shí)變系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)h(n)確定時(shí)，系統(tǒng)對(duì)任何一個(gè)輸入x(n)響應(yīng)y(n)就確定了，y(n)能夠表示成x(n)和h(n)之間一個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)算形式。將上式運(yùn)算方式稱作“離散卷積”，簡(jiǎn)稱“卷積”，采取符號(hào)“*”表示，即天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第64頁

1.2.5離散卷積運(yùn)算規(guī)律

(1)交換律

h(n)*x(n)=x(n)*h(n)它意義能夠解釋為，假如交換系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)h(n)和輸入x(n)，系統(tǒng)輸出保持不變。

x(n)h(n)y(n)=h(n)x(n)y(n)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第65頁交換律證實(shí)：令n-m=k（m=n-k），則天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第66頁

(2)結(jié)合律

x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)=x(n)*[h2(n)*h1(n)]它意義能夠解釋為一個(gè)級(jí)聯(lián)絡(luò)統(tǒng)結(jié)構(gòu)，級(jí)聯(lián)次序能夠交換，或系統(tǒng)級(jí)聯(lián)能夠等效為一個(gè)系統(tǒng)，輸出保持不變。x(n)y(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h1(n)*h2(n)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第67頁結(jié)合律證實(shí)：令k-m=r（k=r+m），則天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第68頁

(3)分配律

x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)=x(n)*[h1(n)+h2(n)]它意義能夠解釋為一個(gè)并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)結(jié)構(gòu)，或并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)能夠等效為一個(gè)系統(tǒng)，輸出保持不變。

x(n)y(n)h1(n)+h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第69頁

分配律證實(shí)：

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第70頁

(4)與δ(n)卷積不變性

x(n)*δ(n)=x(n)它意義能夠解釋為輸入經(jīng)過一個(gè)零相位全通系統(tǒng)。

(5)與δ(n-k)卷積移位性x(n)*δ(n-k)=x(n-k)它意義能夠解釋為輸入經(jīng)過一個(gè)線性相位全通系統(tǒng)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第71頁

1.2.6離散卷積計(jì)算

卷積計(jì)算普通采取兩種方法：解析法和圖解法，或是兩種方法結(jié)合。

[例1.2.3]設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和輸入序列以下列圖所表示，畫出輸出波形。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第72頁解：（1）采取圖解法。

圖解法過程如圖1.2所表示。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第73頁圖1.2例1.2.3圖解法天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第74頁（2）采取解析法。

因?yàn)樗?/p>

將x(n)表示式代入上式，得到兩種方法結(jié)果一致。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第75頁1.2.7系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性

一、穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出系統(tǒng)。若則

線性時(shí)不變離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)充要條件（穩(wěn)定性定理）：即，系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)絕對(duì)可和。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第76頁證實(shí)：充分條件若系統(tǒng)滿足條件，且輸入x(n)有界，有，對(duì)全部n，M是一個(gè)任意大有限數(shù)，此時(shí)系統(tǒng)輸出為

兩邊取絕對(duì)值，得

即輸出y(n)有界，故系統(tǒng)是穩(wěn)定。

必要條件利用反證法，已知系統(tǒng)穩(wěn)定，假設(shè)，能夠找到一個(gè)有界輸入則即輸出無界，這不符合穩(wěn)定假設(shè)，因而假設(shè)不成立，所以是穩(wěn)定必要條件。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第77頁

二、因果性

若系統(tǒng)n時(shí)刻輸出，只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前輸入序列，而與n時(shí)刻以后輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。線性時(shí)不變離散系統(tǒng)是因果系統(tǒng)充要條件（因果性定理）：天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第78頁證實(shí)：充分條件若n<0時(shí)，h(n)=0，依據(jù)卷積和公式因?yàn)橹挥挟?dāng)n０-m≥0時(shí)，h(n０-m)才有值，所以m≤n０，這就證明了y(n０)值只取決于x(n)在n≤n０時(shí)值，所以系統(tǒng)是因果。

必要條件利用反證法，已知因果系統(tǒng)，假設(shè)當(dāng)n<0時(shí)，h(n)≠0。依據(jù)卷積和公式有

則上式第二項(xiàng)求和式中最少有一項(xiàng)不為0，即系統(tǒng)在n０時(shí)輸出y(n０)與輸入x(n)在n>n０時(shí)值相關(guān)，也就是y(n０)值與n０以后x(n)相關(guān)，所以該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)，與已知條件矛盾，因而假設(shè)不成立?？梢娨箉(n０)與n>n０時(shí)x(n)無關(guān)，則必須使

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第79頁

結(jié)論:因果穩(wěn)定線性時(shí)不變系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)是因果,且是絕對(duì)可和,即天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第80頁

[例1.2.4]某線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為試討論其是否是因果、穩(wěn)定。

解：

因果性:該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

穩(wěn)定性:

當(dāng)時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定,當(dāng)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第81頁[例1.2.5]設(shè)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系為，判斷其線性，移不變性，因果性和穩(wěn)定性。解：①因而所以此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)．②而因而

所以此系統(tǒng)不是移不變系統(tǒng)，也就是系統(tǒng)是移變。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第82頁③若x(n)有界，即，則

而，所以。即有界輸入產(chǎn)生有界輸出，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定。④只與x(n)當(dāng)前值相關(guān)，而與未來值無關(guān)，所以系統(tǒng)是因果。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第83頁１.３常系數(shù)線性差分方程連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系慣用常系數(shù)線性微分方程表示，而離散線性移不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系慣用常系數(shù)線性差分方程表示，即或者

常系數(shù)是指決定系統(tǒng)特征系數(shù)是常數(shù)，若系數(shù)中含有n，則稱為“變系數(shù)”。差分方程階數(shù)等于y(n)變量序號(hào)最高值與最低值之差，比如上式就是N階差分方程。

線性是指各y(n-i)項(xiàng)和各x(n-i)項(xiàng)都只有一次冪而且不存在它們相乘項(xiàng)，不然就是非線性。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第84頁求解差分方程有以下幾個(gè)方法：遞推法、時(shí)域經(jīng)典法、卷積法、變換域法等等．

遞推解法比較簡(jiǎn)單，適累計(jì)算機(jī)求解，不過只能得到數(shù)值解，不易直接得到閉合形式（公式）解答。時(shí)域經(jīng)典法和微分方程解法比較類似，比較麻煩，實(shí)際應(yīng)用中極少采取。卷積法則必須知道系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h(n)，這么利用卷積和就能得到任意輸入時(shí)輸出響應(yīng)。變換域法是利用Z變換方法求解差分方程。當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，單位抽樣響應(yīng)h(n)就能完全代表系統(tǒng)，那么對(duì)于線性移不變系統(tǒng)，任意輸入下系統(tǒng)輸出就能夠利用卷積和求得。差分方程在給定輸入和邊界條件下，可用迭代方法求系統(tǒng)響應(yīng)，當(dāng)輸入為δ(n)時(shí)，輸出（響應(yīng)）就是單位抽樣響應(yīng)h(n)。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第85頁[例1.3.1]常系數(shù)差分方程（１）初始條件為n<0時(shí)，y(n)=0，求其單位抽樣響應(yīng)；（２）初始條件為n≥0時(shí)，y(n)=0，求其單位抽樣響應(yīng)。解：（１）設(shè)，且，必有依次迭代所以單位抽樣響應(yīng)為天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第86頁（２）設(shè)，由初始條件知，必有將原式該寫為另一個(gè)遞推關(guān)系則所以單位抽樣響應(yīng)為由本例看出，差分方程相同，不過初始條件不一樣，得到單位抽樣響應(yīng)不一樣，也就是對(duì)應(yīng)著不一樣系統(tǒng)．天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第87頁1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣1.4.1采樣基本概念

從原理上說，采樣器就是一個(gè)開關(guān)，經(jīng)過控制開關(guān)接通和斷開來實(shí)現(xiàn)信號(hào)采樣，它概念如圖1.3所表示。

天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第88頁

圖1.3采樣過程天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第89頁采樣在數(shù)學(xué)上等效為以下運(yùn)算：

式中s(t)是一個(gè)開關(guān)函數(shù)，是原信號(hào)，是采樣后信號(hào)理想采樣情況下，s(t)是無限多項(xiàng)單位沖擊信號(hào)等間隔組成一個(gè)單位沖擊串，即式中T是采樣間隔。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第90頁則式中，只在時(shí)不為零，因而只在這些點(diǎn)上才有定義值，為，可見采樣結(jié)果是使原來模擬信號(hào)變成為在這些點(diǎn)上離散信號(hào)，這就是采樣簡(jiǎn)單原理。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第91頁1.4.2采樣過程中頻譜改變周期信號(hào)δT(t)能夠進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，以下式：能夠求解出式中，，是基波頻率，同時(shí)也是采樣頻率。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第92頁令，求得Ak為δT(t)等效為所以天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第93頁

上式表示是無限多個(gè)載波被調(diào)制之和，從頻域改變來看，頻譜被搬移到無限多個(gè)頻率點(diǎn)，這些頻率點(diǎn)是，所以頻譜就變成了周期函數(shù)，周期等于。所以天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第94頁

分析上式，xS(t)與xa(t)頻譜比較，主要改變是：它頻譜變成了周期，即是周期函數(shù)，周期為，也就是說，

離散時(shí)間信號(hào)頻譜是連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行無限項(xiàng)周期延拓結(jié)果，這是信號(hào)采樣帶來最主要改變。另一點(diǎn)改變是頻譜幅度變?yōu)樵瓉矸?/T。圖1.4表示了這種頻譜改變。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第95頁圖1.4理想采樣信號(hào)頻譜天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第96頁1.4.3低通信號(hào)采樣定理

設(shè)xa(t)表示一個(gè)帶限低通模擬信號(hào)，最高頻率分量為fmax，它頻譜為Xa(jΩ)，

如圖1.5所表示。圖1.5帶限低通模擬信號(hào)天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第97頁對(duì)該信號(hào)以采樣頻率fs進(jìn)行采樣，采樣后離散時(shí)間信號(hào)頻譜Xs(jΩ)變成了以fs為周期周期頻譜。顯然，在這種情況下，Xs(jΩ)和Xa(jΩ)包含信息是相同，或者說，采樣后離散信號(hào)能完全表示原來模擬信號(hào)。若fs<2fmax，這時(shí)周期頻譜各周期出現(xiàn)了混疊，造成實(shí)際周期頻譜一個(gè)周期不等于原信號(hào)頻譜，也就是說，采樣以后，信號(hào)出現(xiàn)了失真。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第98頁|Xa(jΩ)||Xs(jΩ)||ΔT(jΩ)||Xs(jΩ)|ΩΩΩΩΩSΩS-ΩS-ΩSΩS/2-ΩS/2ΩS-ΩS(a)(b)(c)(d)-ΩhΩhΩh天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論知識(shí)介紹第99頁

采樣定理對(duì)一個(gè)低通帶限信號(hào)進(jìn)行均勻理想采樣，假如采樣頻率大于等于信號(hào)最高頻率兩倍，采樣后信號(hào)能夠準(zhǔn)確地重建原信號(hào)。能夠表示為