2-質(zhì)點動力學例題

設(shè)一高速運動的帶電粒子沿豎直方向以

v0

向上運動，從時刻

t=0

開始粒子受到

F=F0t

水平力的作用，F(xiàn)0

為常量，粒子質(zhì)量為

m

。水平方向有例1解粒子的運動軌跡。求運動軌跡為豎直方向有設(shè)一物體在離地面上空高度等于地球半徑處由靜止落下。在地面附近有以地心為坐標原點，物體受萬有引力解可得：例2它到達地面時的速度（不計空氣阻力和地球的自轉(zhuǎn)）。求例3在豎直向上方向建坐標，地面為原點（如圖）.設(shè)壓力為

N解Oyly取整個繩為研究對象一柔軟繩長

l，線密度

r，一端著地開始自由下落.求下落到任意長度

y

時刻，給地面的壓力為多少？以初速度v0

豎直向上拋出一質(zhì)量為m

的小球，小球除受重力外，還受一個大小為αmv

2

的粘滯阻力。解例4求小球上升的最大高度。裝沙子后總質(zhì)量為M

的車由靜止開始運動，運動過程中合外力始終為

f

，每秒漏沙量為

。解取車和沙子為研究對象，地面參考系如圖，t=0

時

v

=0例5fx求車運動的速度。TT質(zhì)量分別為

m1和

m2的兩物體用輕細繩相連接后，懸掛在一個固定在電梯內(nèi)的定滑輪的兩邊?；喓屠K的質(zhì)量以及所有摩擦均不計。當電梯以

a0=g/2

的加速度下降時。解取電梯為參考系例6m1和m2的加速度和繩中的張力。求m1gm2gO'對m1有對m2有m方法（一）取地面為參考系例7一光滑斜面固定在升降機的底板上，如圖所示，當升降機以勻加速度a0

上升時，質(zhì)量為m的物體從斜面頂端開始下滑。yxx

方向y方向物體對斜面的壓力和物體相對斜面的加速度。求解設(shè)物體的加速度為yxx方向y方向方法（二）取升降機為參考系慣性力例題8

物體在黏滯流體中的運動。質(zhì)量為m的小球在重力G（mg）、浮力F0、阻力f=－kv（其中k是一個比例常數(shù)，它與小球的尺寸、材料與流體的黏度有關(guān)，而v是小球的運動速度）的作用下豎直下降。試求小球的速度、位置隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。OoF0xvF解：

該題為已知力求運動。以小球m為研究對象，畫出受力圖，并以小球運動直線為x軸，取其一點為原點O。由牛頓定律可寫出

解出小球的速度例題9

由地面沿鉛直方向發(fā)射質(zhì)量為m的宇宙飛船。試求宇宙飛船能脫離地球引力所需的最小初速度(不計空氣阻力及其它作用力）解：選宇宙飛船為研究對象。設(shè)地球為均質(zhì)球，地心為原點，取x坐標軸向上為正。飛船只受地球引力作用，根據(jù)萬有引定力定律，地球?qū)︼w船引力的大小為由牛頓第二定律得

飛船要脫離地球引力的作用，即意味著飛船的末位置x趨于無限大而v≥0。把x→∞時v=0代入上式，即可求得飛船脫離地球引力所需的最小初速度(取地球的平均半徑為6370km)為=11.2km·s-1這個速度稱為第二宇宙速度。需要指出，在上面的分析中忽略了空氣阻力，同時也未考慮地球自轉(zhuǎn)等影響。設(shè)飛船在地面附近(x≈R)發(fā)射時的初速度為v0，在x處的速度為v例10

質(zhì)量為m的勻質(zhì)鏈條，全長為

L，開始時，下端與地面的距離為

h,

當鏈條自由下落在地面上時所受鏈條的作用力？Lh解

設(shè)鏈條在此時的速度根據(jù)動量定理地面受力m求鏈條下落在地面上的長度為l(l<L)時，地面

dm一粒子彈水平地穿過并排靜止放置在光滑水平面上的木塊,已知兩木塊的質(zhì)量分別為m1,m2

，子彈穿過兩木塊的時間各為

t1,

t2

，設(shè)子彈在木塊中所受的阻力為恒力F子彈穿過第一木塊時，兩木塊速度相同，均為v1

子彈穿過第二木塊后，第二木塊速度變?yōu)関2例11解求子彈穿過后，兩木塊各以多大速度運動解得如圖所示，兩部運水的卡車A、B在水平面上沿同一方向運動，B的速度為u

，從B上以6kg/s的速率將水抽至A上，水從管子尾部出口垂直落下，車與地面間的摩擦不計，時刻t時，A車的質(zhì)量為M，速度為v

。選A車M和

t時間內(nèi)抽至A車的水

m為研究系統(tǒng)，水平方向上動量守恒解例12求時刻t

，A

的瞬時加速度ABuvA在恒星系中，兩個質(zhì)量分別為m1和m2

的星球，原來為靜止，且相距為無窮遠，后在引力的作用下，互相接近，到相距為r時。解由動量守恒，機械能守恒例13解得相對速率求它們之間的相對速率為多少？oxyv2v1mv2mv1例題2-6圖（a）（b）例題14

一個質(zhì)量的壘球，以的速率沿水平方向飛向擊球手，被擊中后，又以相同的速率沿的仰角方向飛出。設(shè)球和棒的作用時間ms，求壘球受到棒的平均打擊力。解：直接用動量定理的矢量形式求解。壘球被擊中前后的動量和的矢量關(guān)系。組成矢量三角形。由題意可知壘球受到棒的平均打擊力約為壘球自身重力的5900倍，說明打擊力是多么強大！

aDcos2mvtF=例題15粒子是氦原子核。在一次粒子散射實驗中，粒子和靜止的氧原子核發(fā)生“碰撞”。實驗測出，碰撞后粒子沿與入射方向成角的方向運動，而氧原子核沿與粒子入射方向成角的方向運動。求碰撞前后粒子的速率比。Mxyo圖2-12粒子散射解：

令粒子入射方向與x軸平行，由動量守恒定律得由以上兩式解得即碰撞后粒子的速率約為初速率為71%。質(zhì)量為10kg的質(zhì)點，在外力作用下做平面曲線運動，該質(zhì)點的速度為解在質(zhì)點從y=16m

到y(tǒng)=32m

的過程中，外力做的功。求例16,開始時質(zhì)點位于坐標原點。L緩慢拉質(zhì)量為m的小球，解xy例17

=

0

時，求已知用力保持方向不變作的功。已知

m=2kg,

在

F=12t

作用下由靜止做直線運動.解例18求t=0

2s內(nèi)F作的功及t=2s時的功率。

一輕彈簧的勁度系數(shù)為k=100N/m，用手推一質(zhì)量m=0.1

kg

的物體把彈簧壓縮到離平衡位置為x1=0.02m處,如圖所示。放手后，物體沿水平面移動到x2=0.1m而停止。

放手后，物體運動到x1

處和彈簧分離。在整個過程中，解例19物體與水平面間的滑動摩擦系數(shù)。求摩擦力作功彈簧彈性力作功根據(jù)動能定理有長為l的均質(zhì)鏈條，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知鏈條與水平面間靜摩擦系數(shù)為

0,滑動摩擦系數(shù)為

(1)以鏈條的水平部分為研究對象，設(shè)鏈條每單位長度的質(zhì)量為

，沿鉛垂向下取Oy

軸。解Oy例20求滿足什么條件時，鏈條將開始滑動

(2)若下垂部分長度為b時，鏈條自靜止開始滑動，當鏈條末端剛剛滑離桌面時，其速度等于多少？當y>b0

，拉力大于最大靜摩擦力時，鏈條將開始滑動。

設(shè)鏈條下落長度y=b0

時，處于臨界狀態(tài)(2)以整個鏈條為研究對象，鏈條在運動過程中各部分之間相互作用的內(nèi)力的功之和為零，摩擦力的功重力的功根據(jù)動能定理有例21是不是保守力?解不是保守力如果是保守力，則把一個物體從地球表面上沿鉛垂方向以第二宇宙速度解根據(jù)機械能守恒定律有:

例22物體從地面飛行到與地心相距

nRe

處經(jīng)歷的時間。求發(fā)射出去，阻力忽略不計，用彈簧連接兩個木板m1

、m2

，彈簧壓縮x0

。解整個過程只有保守力作功，機械能守恒例23給m2

上加多大的壓力能使m1

離開桌面？求例題24

馬拉爬犁在水平雪地上沿一彎曲道路行走。爬犁總質(zhì)量為3t，它和地面的滑動摩擦系數(shù)求馬拉爬犁行走2km的過程中，路面摩擦力對爬犁做的功。解:

爬犁在雪地上移動任一元位移dr的過程中，它受的滑動摩擦力的大小為

＝－0.12×3000×9.81×2000=－7.06×106(J)

例題25

質(zhì)量為m的擺錘系于繩的下端，繩長為l，上端固定，一個水平力F從零逐漸增大，緩慢地作用在擺錘上，使擺錘雖得以移動，但在所有時間內(nèi)均無限地接近于力平衡，一直到繩子與豎直線成角的位置。試計算變力F所做的功。

dsFlT解:

選擺錘為研究對象。將力沿水平、豎直方向分解，其分量式為

力F對擺錘所作的總功為

例題26

把質(zhì)量為m的物體，從地球表面沿鉛直方向發(fā)射出去，試求能使物體脫離地球引力場而作宇宙飛行所需的最小初速度—第二宇宙速度。解：取地球中心為坐標原點并假設(shè)地球是半徑為R、質(zhì)量為M的均質(zhì)球。在物體從初始位置(r1=R)運動到末了位置(r2=∞)的過程中，不考慮空氣阻力，只有萬有引力做功，由動能定理考慮到

這個結(jié)果與例題2-4的結(jié)果相同。例題27

一個勁度系數(shù)為k的彈簧，一端固定，另一端與質(zhì)量為m