求遞推數(shù)列通項的特征根法與不動點法

求遞推數(shù)列通項的特征根法與不動點法一、形如a2=pa1+qa（p,q是常數(shù)）的數(shù)列形如a=m,a=m,a =pa+qa（p,q是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項1 12 2n+2 n+1a，其特征方程為x2=px+q…①若①有二異根以,P，則可令a=can+cPn（c,c是待定常數(shù)）n1 2 12若①有二重根a=P，則可令a=（c+nc）an（c,c是待定常數(shù)）n1 2 1 2再利用a=m,a=m,可求得c,c，進而求得a.1 12 2 1 2 n例1.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=3,a=3a-2a（n&N*），求數(shù)列｛a｝的通項a.n 1 2 n+2 n+1 n n n解：其特征方程為x2=3x-2，解得x=1,x=2，令a=c?1n+c-2n，1 2 n1 2,[a=c+2c=2 c11由"=；+4c2=3，得"=1，二氣=1+2n-1.V2 1 2 [2 2例2.已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=2,4a=4a -a(neN*)，求數(shù)列｛a｝的通項a.n 1 2 n+2 n+1 n n n解：其特征方程為4x2=4x-1，…… 1^ / \(1\n解得x=x=—，令a=(c+nc)-1 2 2n1 2^2)1a=(c+c)x=11 2 2，a=(c+2c)x=21 2 43n-2二a= n 2n-1二、形如a=竺HB的數(shù)列

n+2Ca+D對于數(shù)列a=An^B，n+2Ca+Da1=m,neN*(A,B,C,D是常數(shù)且C。0,AD-BC。0)其特征方程為x=A^Cx+D變形為Cx2+(D-A)x-B=0…②若②有二異根a,P，則可令％1三=c-匚a（其中c是待定常數(shù)），代入a,a的值可求a-p a-p 12得c值.

公比為c的等比數(shù)列，于是這樣可求得氣.這樣數(shù)列］^^\是首項為公比為c的等比數(shù)列，于是這樣可求得氣.［a-pJ a-pn 11若②有二重根1若②有二重根a=p，則可令 a —an+11 ... . ..——+c（其中C是侍定常數(shù)），代入a「a2的值可n求得c值.這樣數(shù)列］這樣數(shù)列］是首項為，［a—aJ a—ann此方法又稱不動點法.公差為C的等差數(shù)列，于是這樣可求得氣.例3.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=TOC\o"1-5"\h\z年二(n>2)，求數(shù)列｛a｝的通項a.

例3.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=n-1解：其特征方程為x=*+2，化簡得2x2—2=0，解得x=1,x=—1，令 ~-=c.土—-2x+1 1 2 a+1 a+14 1由a=2,得a=5，可得c=—3，數(shù)列［匕二］是以氏21=1為首項，以-1為公比的等比數(shù)列，［a+1J a+13 33n3n—(—1)n.an 3n+(—1)n2a 1例4.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a =—n——(ngN*)，求數(shù)列｛a｝的通項a.n 1 n+14a+6 n n解：其特征方程為x=?'，即4x2+4x+1=0，解得x=x=——4x+6 12 2由a=2,得a=—，求得c=1，1 2 14c 、數(shù)歹列V—數(shù)歹列V—j->是以

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