生活中的優(yōu)化問題舉例2

人教A版選修2—2精講細(xì)練生活中的優(yōu)化問題舉例一、知識精講利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟如下二、典例細(xì)練【題型一】面積容積的最值問題例題1：(江蘇卷17)請你設(shè)計(jì)一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=cm.（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問應(yīng)取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.P【解析】（1）由題意知,包裝盒的底面邊長為,高為,所以包裝盒側(cè)面積為S==,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，此時應(yīng)15cm.（2），所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)x=20時，V最大。此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為【點(diǎn)評】本題中的第1小題應(yīng)用均值不等式作為解答方法時，需注意均值不等式等號成立的條件；第2小題中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法去求體積的最大值，充分體現(xiàn)了三次函數(shù)求最值時應(yīng)用求導(dǎo)的優(yōu)越性。變式訓(xùn)練：（福州市高二期末模塊測試）如圖，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？【解析】：設(shè)小正方形的邊長為厘米，則盒子底面長為（）cm,寬為()cm,，（0<x<）（舍去）∴，在定義域內(nèi)僅有一個極大值，立方厘米?！绢}型二】利潤最大問題例題2：(福建卷理科18)（本小題滿分13分）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克。（I）求a的值（II）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大?！窘馕觥浚罕拘☆}主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分13分。解：（I）因?yàn)閤=5時，y=11，所以（II）由（I）可知，該商品每日的銷售量所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤從而，于是，當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：（3，4）4（4，6）+0-單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x=4是函數(shù)在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；所以，當(dāng)x=4時，函數(shù)取得最大值，且最大值等于42。答：當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。變式訓(xùn)練：（福州市高二期末模塊測試）【解析】（Ⅰ）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價為元，月銷售量為件，則月利潤為，所以與的函數(shù)關(guān)系式為．（Ⅱ）由，得，（舍去），∵，當(dāng)時，當(dāng)時函數(shù)在處取到極大，也是最大.故改進(jìn)工藝后，紀(jì)念品的銷售價為元時，該公司銷售該紀(jì)念品的月利潤最大．【題型三】費(fèi)用最省問題例題3：(山東卷理科21)（本小題滿分12分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時的.【解析】（I）設(shè)容器的容積為V，由題意知故由于因此所以建造費(fèi)用因此（II）由（I）得由于當(dāng)令所以（1）當(dāng)時，所以是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。（2）當(dāng)即時，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時，建造費(fèi)用最小時當(dāng)時，建造費(fèi)用最小時變式訓(xùn)練：(湖北卷)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．【解析】(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去