命題與證明PPT優(yōu)質(zhì)教學(xué)課件市名師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎市公開課獲獎?wù)n件

命題與證明第1頁本節(jié)課學(xué)習(xí)目標1.學(xué)會判斷命題真假2.掌握怎樣證實命題第2頁引入三角形一邊與另一邊延長線所組成角叫三角形外角.我們前面學(xué)習(xí)了許多相關(guān)三角形概念，如：不在同一直線上三條線段首尾相接所組成圖形叫三角形.第3頁

像這么，對一個概念含義加以描述說明或作出明確要求語句叫作這個概念定義.

比如：“把數(shù)與表示數(shù)字母用運算符號連接而成式子叫作代數(shù)式”是“代數(shù)式”定義.

“同一平面內(nèi)沒有公共點兩條直線叫作平行線”是“平行線”定義.第4頁以下敘述事情語句中，哪些是對事情作出了判斷？（1）三角形內(nèi)角和等于180°;（2）假如|a|=3，那么a=3;（3）1月份有31天;（4）作一條線段等于已知線段;（5）一個銳角與一個鈍角互補嗎？第5頁普通地，對某一件事情作出判斷語句（陳說句）叫作命題.

如上述語句中，（1），（2），（3）都是命題，（4），（5）沒有對事情作出判斷，就不是命題.第6頁觀察以下命題表述形式有什么共同點？（1）假如a=b且b=c，那么a=c；（2）假如兩個角和等于90°，那么這兩個角互為余角.

它們表述形式都是“假如……，那么……”.第7頁命題通常寫成“假如……，那么……”形式，其中“假如”引出部分就是條件，“那么”引出部分就是結(jié)論.比如，對于上述命題（2），“兩個角和等于90°”就是條件，“這兩個角互為余角”就是結(jié)論.（2）假如兩個角和等于90°，那么這兩個角互為余角.第8頁有時為了敘述簡便，命題也能夠省略關(guān)聯(lián)詞“假如”、“那么”.

如：“假如兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”能夠簡寫成“對頂角相等”；

“假如兩個角是同一個角余角，那么這兩個角相等”

能夠簡寫成“同角余角相等”.第9頁做一做（1）指出以下命題條件和結(jié)論，并改寫成“如果……，那么……”形式：命題條件結(jié)論①能被2整除數(shù)是偶數(shù).②有公共頂點兩個角是對頂角.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.那么這個數(shù)是偶數(shù)假如一個數(shù)能被2整除那么這兩個角是對頂角假如兩個角有公共頂點那么它們同位角相等假如兩條直線平行那么這兩條直線平行假如兩個同位角相等第10頁（2）上述命題③與④條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)絡(luò)？③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

命題③與④條件與結(jié)論交換了位置.

對于兩個命題，假如一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題結(jié)論和條件，我們把這么兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個叫作逆命題.

比如，上述命題③與④就是互逆命題.

從上我們能夠看出，只要將一個命題條件和結(jié)論交換，就可得到它逆命題，所以每個命題都有逆命題.第11頁1.以下語句中，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點之間線段最短；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）任意一個三角形三條中線都相交于一點嗎？（1）假如x=3，求值；2.

將以下命題改寫成“假如……，那么……”形式.（1）兩條直線相交，只有一個交點；（2）個位數(shù)字是5整數(shù)一定能被5整除；（3）互為相反數(shù)兩個數(shù)之和等于0；（4）三角形一個外角大于它任何一個內(nèi)角.練習(xí)第12頁3.寫出以下命題逆命題：（1）若兩數(shù)相等，則它們絕對值也相等；（2）假如m是整數(shù)，那么它也是有理數(shù)；（3）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（4）兩邊相等三角形是等腰三角形.4.在以下空格上填寫適當概念：（1）垂直且平分一條線段直線叫作這條線段

（2）在數(shù)軸上，表示一個實數(shù)點與原點距離叫作這個實數(shù)

垂直平分線絕對值練習(xí)第13頁議一議以下命題中，哪些正確，哪些錯誤？并說一說你理由.（1）每一個月都有31天；（2）假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)；（3）同位角相等；（4）同角補角相等.錯誤錯誤錯誤正確第14頁上面五個命題中，命題(4)是正確，命題(1)(2)(3)都是錯誤.我們把正確命題稱為真命題，把錯誤命題稱為假命題.

（1）每一個月都有31天；（2）假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)；（3）同位角相等；

（4）同角補角相等.結(jié)論第15頁

像此例第(1)題那樣，從一個命題條件出發(fā)，經(jīng)過講道理(推理)，得出它結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個過程叫作證實.

像此例第(2)題那樣，找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題結(jié)論，從而判斷這個命題為假，這個過程叫作舉反例.（1）假如a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；解

假如a是整數(shù)，依據(jù)有理數(shù)定義：“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”得出a是實數(shù).所以命題(1)為真．（2）假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)解

0.5是有理數(shù)，所以命題(2)為假．不過0.5不是整數(shù).第16頁判斷以下命題為真命題是依據(jù)什么呢？是分別依據(jù)有理數(shù)、等腰（等邊）三角形定義作出判斷．（1）假如a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；（2）假如三角形ABCD是等邊三角形，那么它是等腰三角形．第17頁

從上面例子看到，在判斷一個命題是否為真命題時經(jīng)常要利用一些概念定義，不過光用定義只能判斷一些很簡單命題是否為真.

對于絕大多數(shù)命題真假判斷，光用定義是遠遠不夠，那么除了依據(jù)定義外，還能依據(jù)什么來推理，去判斷命題真假呢？第18頁數(shù)學(xué)中有些命題正確性是人們在長久實踐中總結(jié)出來，并把它們作為判斷其它命題真假原始依據(jù)，這么真命題叫做基本事實.有些命題能夠從公理或其它真命題出發(fā)，用邏輯推理方法判斷它們是正確，而且能夠深入作為判斷其它命題真假依據(jù)，這么真命題叫做定理.第19頁

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid，約公元前330—前275)對他那個時代數(shù)學(xué)知識作了系統(tǒng)化總結(jié)，他挑選出一些人們在長久實踐中總結(jié)出來公認真命題，作為證實原始依據(jù)，稱這些真命題為公理.

歐幾里得第20頁本書中，我們把少數(shù)真命題作為基本事實.

比如，兩點確定一條直線；兩點之間線段最短；經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

人們能夠用定義和基本事實作為推理出發(fā)點，去判斷其它命題真假.基本事實同位角相等，兩直線平行.內(nèi)錯角相等，兩直線平行.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.第21頁我們把經(jīng)過證實為真命題叫作定理.

比如，“三角形內(nèi)角和等于180°”稱為“三角形內(nèi)角和定理”.

定理也能夠作為判斷其它命題真假依據(jù)，由某定理直接得出真命題叫作這個定理推論.

比如，“三角形一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角和”稱為“三角形內(nèi)角和定理推論”，也可稱為“三角形外角定理”.第22頁

當一個命題是真命題時，它逆命題不一定是真命題.

比如，“假如∠1和∠2是對頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它逆命題“假如∠1=∠2，那么∠1和∠2是對頂角”就是假命題.

假如一個定理逆命題能被證實是真命題，那么就叫它是原定理逆定理，這兩個定理叫作互逆定理.

我們前面學(xué)過定理中就有互逆定理.

比如，“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是互逆定理.第23頁

采取剪拼或度量方法，猜測“三角形外角和”等于多少度.從剪拼或度量能夠猜測三角形三個外角之和等于360°，不過剪拼時難以真正拼成一個周角，只是靠近周角；分別度量這三個角后再相加，結(jié)果可能靠近360°，但不能很準確地都得360°．

另外，因為不一樣形狀三角形有沒有數(shù)個，我們也不可能用剪拼或度量方法來一一驗證，所以，我們只能猜測任何一個三角形外角和都為360°．此時猜測出命題僅僅是一個猜測，未必都是真命題．要確定這個命題是真命題，還需要經(jīng)過推理方法加以證實.第24頁證實命題“三角形外角和為360°”是真命題.動腦筋已知：如圖∠BAF，∠CBD和∠ACE

分別是△ABC三個外角.求證︰∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°證實:∵∠BAF=∠2+∠3，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第25頁經(jīng)過剛才三站“證實”之旅，你能說出完整幾何命題證實需要哪幾個步驟嗎？（1）依據(jù)題意，畫出圖形。（2）結(jié)合圖形，寫出已知求證（3）寫出證實過程，而且步步有依據(jù)。依據(jù)(定義)(定理)(推論)(基本事實)（真命題）條件結(jié)論數(shù)學(xué)上證實一個命題時，通常從命題條件出發(fā)，利用定義、基本事實以及已經(jīng)證實了定理和推論，通過一步步推理，最終證實這個命題結(jié)論成立.

證實每一步都必須要有依據(jù).推理第26頁例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點D在線段BA延長線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.證實：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理）

∠B=∠C（已知）∴∠DAC=2∠B（等式性質(zhì)）又∵AE平分∠DAC（已知）∴∠DAC=2∠DAE（角平分線定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）第27頁例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中最少有一個角大于或等于60°.

分析這個命題結(jié)論是“最少有一個”，也就是說可能出現(xiàn)“有一個”、“有兩個”、“有三個”這三種情況.假如直接來證實，將很繁瑣，所以，我們將從另外一個角度來證實.證實假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒有一個角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.所以，∠A，∠B，∠C中最少有一個角大于或等于60°.

分析這個命題結(jié)論是“最少有一個”，也就是說可能出現(xiàn)“有一個”、“有兩個”、“有三個”這三種情況.假如直接來證實，將很繁瑣，所以，我們將從另外一個角度來證實.第28頁

像這么，當直接證實一個命題為真有困難時，我們能夠先假設(shè)命題不成立，然后利用命題條件或相關(guān)結(jié)論，經(jīng)過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證實命題正確，這種證實方法稱為反證法.

反證法是一個間接證實方法，其基本思緒可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，必定結(jié)論”.反證法步驟：假設(shè)結(jié)論反面成立→邏輯推理得出矛盾→必定原結(jié)論正確第29頁(1).證實命題：一個角兩邊分別平行于另一個角兩邊，且方向相同，則這兩個角相等。已知：如圖，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求證：∠B=∠B’

證實：∵AB∥A’B’（）

∴∠B’=∠α（）∵BC∥B’C’（）∴∠B=∠α（）∴∠B=∠B’()已知兩直線平行，同位角相等

已知兩直線平行，同位角相等等量代換1.在括號內(nèi)填上理由.第30頁(2).已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證實：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180（

）.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補