債券久期、免疫方法與凸性

債券久期、免疫方法與凸性一、久期及其計(jì)算多年以來(lái)，專(zhuān)家們運(yùn)用資產(chǎn)到期期限作為利率風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo)。例如，30年期固定利率債券比1年期債券更具有利率敏感性。但是，人們已意識(shí)到期限只是提供的最后一筆現(xiàn)金流量的信息，并沒(méi)有考慮到前期得到的現(xiàn)金流量（例如利息償還）。通過(guò)計(jì)算持續(xù)期（久期）就可以解決這個(gè)問(wèn)題。它是一個(gè)平均的到期期限，考慮了資產(chǎn)壽命早期所獲得的現(xiàn)金流量因素。有效持續(xù)期用公式表示則為：【例1】票面利率為10%，還有3年到期的債券。價(jià)格為95.2，當(dāng)前利率為12%。求其持續(xù)期。第0年第1年第2年第3年當(dāng)前利率95.2101011012%該債券的持續(xù)期（久期）由下列公式計(jì)算出來(lái)：持續(xù)期=持續(xù)期是按照貼現(xiàn)現(xiàn)金流量的權(quán)重來(lái)加權(quán)的平均年數(shù)（1年、2年、3年）。簡(jiǎn)單地說(shuō)，持續(xù)期代表的是資產(chǎn)的平均到期期限。在本例中，2.728年的持續(xù)期與3年比較接近，原因是在第3年得到一筆最大的現(xiàn)金流量110。持續(xù)期與償還期不是同一概念：償還期是指金融工具的生命周期，即從其簽訂金融契約到契約終止的這段時(shí)間；持續(xù)期則反映了現(xiàn)金流量，比如利息的支付、部分本金的提前償還等因素的時(shí)間價(jià)值。對(duì)于那些分期付息的金融工具，其持續(xù)期對(duì)于那些分期付息的金融工具，其持續(xù)期總是短于償還期。持續(xù)期與償還期呈正相關(guān)關(guān)系，即償還期越長(zhǎng)、持續(xù)期越長(zhǎng)；持續(xù)期與現(xiàn)金流量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，償還期內(nèi)金融工具的現(xiàn)金流量越大，持續(xù)期越短。二、債券價(jià)格對(duì)利率變動(dòng)的敏感程度由金融工具的理論價(jià)格公式：兩邊對(duì)利率求導(dǎo)，可得出金融工具現(xiàn)值（理論價(jià)格）對(duì)利率變動(dòng)的敏感程度：兩邊同時(shí)乘以得===-D*·dy其中D*即為修正久期相應(yīng)地，修正久期D*=，即修正久期可以看成等于債券價(jià)格對(duì)收益率一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值除以債券價(jià)格。后面，我們把債券的凸度(C)類(lèi)似地定義為債券價(jià)格對(duì)收益率二階導(dǎo)數(shù)除以價(jià)格。持續(xù)期已經(jīng)變成了一項(xiàng)測(cè)量資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的非常有用的指標(biāo)。有上式可知，資產(chǎn)和負(fù)債價(jià)格（請(qǐng)注意：在金融資產(chǎn)的場(chǎng)合，對(duì)于一方是資產(chǎn)，對(duì)于另一方就是負(fù)債，影響一方資產(chǎn)價(jià)格的因素也就是影響另一方負(fù)債價(jià)格的因素）的變動(dòng)產(chǎn)生于二個(gè)因素：持續(xù)期和利率變動(dòng)。一旦你知道了一項(xiàng)資產(chǎn)的持續(xù)期，你就會(huì)很容易地計(jì)算出利率變動(dòng)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的影響。從這里我們可以發(fā)現(xiàn)資產(chǎn)價(jià)格與利率變動(dòng)負(fù)相關(guān)，利率上升資產(chǎn)價(jià)格下降，利率下降資產(chǎn)價(jià)格上升，持續(xù)期的長(zhǎng)短放大了這種影響（利率變動(dòng)引起價(jià)格變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)）。【例2】有一6年期的公司債券（面額100元），票面利率8%，而市場(chǎng)要求的到期收益率也是8%，已知持續(xù)期D=4.993年。如果目前的到期收益率上升1個(gè)基本點(diǎn)（1%），此時(shí)公司債的價(jià)格會(huì)下跌0.0462%。=0.074074+0.137174+0.190520+0.23521+0.272233+4.08350=4.993公司債的價(jià)格現(xiàn)在是100*（1-0.0462）=95.38元。三、免疫的基本含義利率風(fēng)險(xiǎn)表現(xiàn)在兩個(gè)方面：價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)和再投資風(fēng)險(xiǎn)。價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)是由于市場(chǎng)利率上升引起債券價(jià)格下跌給債券投資者帶來(lái)的資產(chǎn)損失；再投資風(fēng)險(xiǎn)是由于市場(chǎng)利率下降引起利息的再投資收入減少給債券投資者帶來(lái)的收入損失。當(dāng)市場(chǎng)利率上升時(shí)，債券投資者面臨著資產(chǎn)損失和再投資收入增加；而當(dāng)市場(chǎng)利率下降時(shí)，債券投資者面臨著資產(chǎn)增加和再投資收入損失。因此，債券的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)和再投資風(fēng)險(xiǎn)有相互抵消的特性。正是基于這一抵消特性，產(chǎn)生了免疫的想法，并提出免疫策略（immunizationstrategy），用以規(guī)避利率變動(dòng)給投資者帶來(lái)的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)或再投資風(fēng)險(xiǎn)。在諸多免疫策略中，被學(xué)術(shù)界重點(diǎn)關(guān)注和被投資界廣泛應(yīng)用的一類(lèi)免疫策略是持續(xù)期配比策略（duration-matchedstrategy）?？紤]一個(gè)每年付息一次的中長(zhǎng)期附息債券，如果持有期小于一年，投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)只有價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，沒(méi)有再投資風(fēng)險(xiǎn)。隨著持有期的增加，價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)減少而再投資風(fēng)險(xiǎn)增加。如果持有到期，則投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)只有再投資風(fēng)險(xiǎn)，沒(méi)有價(jià)格解得：。因此，養(yǎng)老基金應(yīng)當(dāng)將其出售保險(xiǎn)單所得收入的68.79%投資于30年期的長(zhǎng)期國(guó)債，其余的投資于6個(gè)月的短期國(guó)債。即應(yīng)投資與長(zhǎng)期國(guó)債的是523.23美元，其余的237.38美元用于購(gòu)買(mǎi)短期國(guó)債。最后，我們來(lái)考察這種方法的效果。假定收益曲線向上平移了10個(gè)基本點(diǎn)。此時(shí)，負(fù)債的折現(xiàn)率變成10.1%,長(zhǎng)期國(guó)債的收益率變?yōu)?2.1%,短期國(guó)債的收益率變?yōu)?.1%。比較變化前后價(jià)值的變化列表如下(表2)：表2：組合免疫的績(jī)效

負(fù)債資產(chǎn)

養(yǎng)老基金30年期國(guó)庫(kù)券6個(gè)月期國(guó)庫(kù)券原價(jià)值760.61523.23237.38變化后價(jià)值756.29519.03237.26價(jià)值的變化-4.32-4.2-0.12可以看出,變化后資產(chǎn)的總價(jià)值756.29（519.03+237.26）剛好等于負(fù)債總值。五、組合免疫存在的問(wèn)題只要細(xì)心地分析上述例子不難發(fā)現(xiàn)，我們?cè)谟媒M合免疫進(jìn)行資產(chǎn)負(fù)債管理時(shí)進(jìn)行了一些不太切合實(shí)際的假設(shè)，這正是組合免疫所存在的問(wèn)題之一。實(shí)際上，組合免疫方法存在三個(gè)方面的問(wèn)題：第一，組合免疫方法適合于短期情形，它在短期內(nèi)可靠。但是，隨著時(shí)間的變化，不同債券的持續(xù)期將產(chǎn)生不同的變化。這一點(diǎn)直接從持續(xù)期公式中可以看出來(lái)，一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是一個(gè)6個(gè)月債券和5年期債券，6個(gè)月后前者持續(xù)期為零(減少了0.5)，而后者持續(xù)期的減少小于0.5。因此,當(dāng)前很有效的組合方式明天就不一定有效。這并不是說(shuō)它明天就一定無(wú)效,只是效果肯定沒(méi)有當(dāng)前的好;而且隨著時(shí)間的推移,這個(gè)組合方式將越來(lái)越不可靠。第二，隨著時(shí)間的變化,市場(chǎng)利率可能發(fā)生變化,市場(chǎng)利率的變化又直接導(dǎo)致不同金融工具的價(jià)格變化，從而到期收益率也發(fā)生變化，持續(xù)期自然隨之而變化。顯然,不同金融工具持續(xù)期的變化程度是不同的。因此，對(duì)于利率的微小的變化，持續(xù)期的匹配效果不會(huì)受到太大的影響，但對(duì)利率較大的變化，組合持續(xù)期的匹配效果將大大地受到影響。解決這個(gè)問(wèn)題的辦法是頻繁地重新計(jì)算持續(xù)期和權(quán)重，并據(jù)以調(diào)整債券的組合。第三，這種簡(jiǎn)單的持續(xù)期匹配的方法是基于這樣的一個(gè)基本假設(shè)；收益率曲線平行移動(dòng)，即當(dāng)市場(chǎng)利率發(fā)生變化時(shí)，不同期限債券的收益率都以同樣的幅度上漲或下調(diào)。事實(shí)上并非如此，通常短期債券比長(zhǎng)期債券更加敏感。同時(shí)，即使是到期日相同的金融工具對(duì)利率的敏感性也可能不同，如到期期限相同的債券因有不同的違約風(fēng)險(xiǎn)而對(duì)利率的敏感性不同。解決這一問(wèn)題的有效辦法是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行回歸分析：假定資產(chǎn)和負(fù)債的收益率變化之間存在著某種比例關(guān)系，利用歷史數(shù)據(jù)回歸分析，找出這一比例關(guān)系。在上例中將負(fù)債收益率變化對(duì)30年期國(guó)債收益率的變化作回歸。所得的系數(shù)為利率的β值。然后用同樣的方法計(jì)算負(fù)債對(duì)6個(gè)月短期國(guó)債的利率的β值。六、凸性我們知道修正的持續(xù)期度量的是價(jià)格—收益曲線上給定點(diǎn)相應(yīng)的斜率。并由此而得出價(jià)格變化的近似公式。這一近似公式并不精確，當(dāng)收益率的變化較大時(shí)，近似公式給出的價(jià)格變動(dòng)量與實(shí)際變動(dòng)量相差可能很大。這一現(xiàn)象的背后原因在于，這種近似公式的根據(jù)是數(shù)學(xué)中函數(shù)的泰勒展式。我們?cè)趹?yīng)用泰勒(Taylor)公式進(jìn)行近似時(shí)結(jié)果一般是很復(fù)雜的，它通常表示為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的多階項(xiàng)之和。而上述近似只取了一階項(xiàng)。為了更精確地對(duì)價(jià)格的變化進(jìn)行近似，一個(gè)很自然的方法是加進(jìn)二階項(xiàng)。二階項(xiàng)的一個(gè)重要特征是與凸性有關(guān)，而曲線的凸性反應(yīng)的是曲線的彎曲程度，它能夠說(shuō)明一階線性近似的精確程度。如圖2，圖中的直線是由近似公式給出的直線，曲線則是通過(guò)計(jì)算得出的。圖形說(shuō)明了凸性的作用。圖2：價(jià)格—收益率的關(guān)系1、凸性的定義凸性可以通過(guò)計(jì)算修正久期對(duì)收益率的導(dǎo)數(shù)或債券價(jià)格對(duì)收益率的二階導(dǎo)數(shù)，再除以債券的價(jià)格得到。記凸性為C，則其定義由下式給出：為了顯示凸性的重要性，可以對(duì)債券價(jià)格的相應(yīng)變化進(jìn)行泰勒二階展開(kāi)，有當(dāng)收益率變動(dòng)幅度不太大時(shí)，收益率變動(dòng)幅度與價(jià)格變動(dòng)率之間的關(guān)系就可以近似表示為：由上式可以看出，當(dāng)收益率變化較小時(shí)，凸性的意義并不明顯，可以忽略不計(jì)。而當(dāng)收益率波動(dòng)較大時(shí)，凸性的作用就變得很重要。有的金融文獻(xiàn)將凸性定義為二階導(dǎo)數(shù)而不用除以債券價(jià)格，其結(jié)果不會(huì)有多大的改變。凸性一詞源于數(shù)學(xué)，它用于描述函數(shù)圖象的形狀。凸性值的正負(fù)性描述的是曲線彎曲的方向，正號(hào)表示向下彎曲；負(fù)號(hào)表示向上彎曲。凸性值的大小表示彎曲的程度，值越大，彎曲程度越高，反之則彎曲程度越小。圖3給出兩個(gè)假想債券的價(jià)格—收益率曲線，它們因?yàn)榫哂胁煌耐剐远沟脗瘜?duì)收益率的相同變化呈現(xiàn)出不同的價(jià)格變化。凸性越大，價(jià)格受到的影響越大。

圖3中，AD為由近似公式求出的ΔP，AB為高凸性債券的真實(shí)ΔP

，AC為低凸性債券的真實(shí)ΔP

。圖3：凸性的作用當(dāng)收益率下降時(shí)，價(jià)格的實(shí)際上升率高于用久期計(jì)算出