波利亞與怎樣解題表

波利亞與《怎樣解題》表江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)楊松扣喬治?波利亞(GeorgePolya,1887-1985)美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。先后在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀法律、語(yǔ)言、數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲布達(dá)佩斯大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，是法國(guó)巴黎科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士。波利亞畢生從事數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)工作，他一生發(fā)表了200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，許多數(shù)學(xué)分支上都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了許多以他的名字命名的術(shù)語(yǔ)和定理。波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題和分析問題的能力，他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會(huì)年輕人思考”?！皩W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于解題?！薄敖忸}是一種本領(lǐng)，是只能靠模仿和實(shí)踐才能學(xué)到的本領(lǐng)?！苯忸}關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，認(rèn)為“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。直接從老師或書本那兒被動(dòng)的不假思索的接受過來的知識(shí)，可能很快忘掉，難于成為自己的東西?！辈ɡ麃喺f：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？這就是說善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考，思路合理，見解獨(dú)到和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題?！彼J(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是“加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”，“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑。這種思想得到了國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的一致贊同，國(guó)際數(shù)學(xué)管理者委員會(huì)把解題能力列為十項(xiàng)基本技能的首位，美國(guó)數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)理事會(huì)把解題提到了“學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”這一高度?！皩W(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難”，許多人對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢(shì)。大家都有這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“你是怎么想出這個(gè)解法的？為什么我沒有想到呢？”作為數(shù)學(xué)教授的波利亞為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他很早就開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造，利用在大學(xué)任教的機(jī)會(huì)，通過與學(xué)生的交流和對(duì)學(xué)生的細(xì)致觀察，認(rèn)真研究了人們解題的過程，通過和一批數(shù)學(xué)大家的交流，花了整整三十年的時(shí)間，直到1944年才發(fā)展為名著《怎樣解題》一書。該書出版后，被譯成多種文字，直到今天，該書仍被各國(guó)數(shù)學(xué)教育界奉為經(jīng)典，波利亞的啟發(fā)式教學(xué)和數(shù)學(xué)解題方法成為數(shù)學(xué)教育的一面旗幟，在全世界廣為流傳。波利亞指出：解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個(gè)思維過程，是一個(gè)把知識(shí)與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認(rèn)為“對(duì)你自己提出問題是解決問題的開始”，“當(dāng)你有目的地向自己提出問題時(shí)，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個(gè)步驟，只要解題時(shí)按這四個(gè)步驟去做，必能成功。如果能在平時(shí)的解題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表，必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆:“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”“怎樣解題”表第一，你必須弄清問題弄清問題未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖。引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。把條件的各個(gè)部分分開。你能否把它們寫下來？第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。擬定計(jì)劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎？你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類比的問題？你能否解決這個(gè)問題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？第三，實(shí)行你的計(jì)劃。實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？第四，驗(yàn)算所得到的解?；仡櫡此寄隳芊駲z驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否一下子看出它來？你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問題？《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這張包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進(jìn)行分解，使我們對(duì)解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動(dòng)。他說《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？……”波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程，實(shí)際上是他解決和研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時(shí)的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程。我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識(shí)到這些問題罷了。在解決實(shí)際問題時(shí)，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭(zhēng)取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。下面舉個(gè)例來說明“怎樣解題表”的應(yīng)用。對(duì)于［-1,1］的任意任意實(shí)數(shù)a,求使不等式(-)x2,ax<(-)2x+a-1恒成立的X的2 2取值范圍。解題過程如下：1、 弄清問題。重新敘述問題如下：當(dāng)-1<a<1時(shí)，x2+ax>2x+a-1恒成立(即與a的取值無關(guān))，求x的取值范圍。換種說法：g(a)=(x-1)a+x2-2x+1>0在［-1,1］上恒成立，求x的取值范圍。2、 制訂計(jì)劃，建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。為了得到x的取值范圍，可分別令a=-1和a=1。3、 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。注意到g(a)是關(guān)于a的一次函數(shù)，將a=-1和a=1分別代入g(a)>0，聯(lián)立兩個(gè)不等式，可得x<0或x>2。4、 檢驗(yàn)反思解題過程，看每一步是否合理、充分。從上看來，弄清問題的本質(zhì)就是重新敘述問題；制訂計(jì)劃的關(guān)鍵是將條件與結(jié)論進(jìn)行溝通；實(shí)現(xiàn)計(jì)劃的過程是選擇合理、簡(jiǎn)捷的解法；反思回顧是檢驗(yàn)每一個(gè)步驟，力求解答簡(jiǎn)捷、完整。弄清問題要慎之又慎；擬定計(jì)劃要盯著