泊松過程仿真

泊松過程仿真一、 仿真內(nèi)容及目的1.1仿真內(nèi)容首先查閱相關(guān)資料，學(xué)習(xí)如何在仿真環(huán)境下對隨機過程進行仿真。然后在C語言、MATLAB等環(huán)境下，結(jié)合泊松過程的相關(guān)理論知識，設(shè)計算法及程序?qū)Σ此蛇^程進行仿真實驗。最后對得到的實驗結(jié)果進行分析。1.2仿真目的利用仿真實驗，將泊松過程這一抽象的概念圖形化、數(shù)字化、具體化，生成樣本進行描述分析。加深對泊松過程這一抽象概念的認識和理解，其次掌握如何運用仿真工具對所學(xué)的理論知識進行仿真模擬，增強自己的動手能力和自學(xué)能力。二、 實驗原理計數(shù)過程定義：設(shè)N(t)表示到時刻t為止已發(fā)生的“事件A”的總數(shù)，若N(t)滿足下列條件：N(t)>0；N(t)取正整數(shù)值；若s<t，則N(s)<N(t)；當s<t時，N(t)-N(s)表示區(qū)間(s,t］中發(fā)生的“事件A”的次數(shù)。則稱隨機過程｛N(t),t>0｝為計數(shù)過程。泊松過程定義：一個計數(shù)過程｛N(t),>0｝,具有參數(shù)人〉0，若它滿足下列條件：(1)N(t)=0；(2)N(t)是獨立增量過程;（3）在任一長度為t的區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)人>0的泊松分布，即對任意事件S，t>0，有則稱｛N（t）,t>0｝為泊松過程。根據(jù)以上定義，令隨機變量T（n>1）表示從第（n-1）次事件發(fā)生到第n次n事件發(fā)生的時間間隔，則可以證明，Tn服從互相獨立但參數(shù)為人的相同指數(shù)分布。因為只要按照參數(shù)人產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機時間間隔序列，并計數(shù)系統(tǒng)隨時間運行的過程中，按這個時間間隔序列對系統(tǒng)狀態(tài)進行加1計數(shù)，則這個計數(shù)系統(tǒng)就對應(yīng)了參數(shù)為人的泊松過程。三、 仿真環(huán)境及算法3.1仿真環(huán)境C語言、MATLAB2.2仿真算法時間區(qū)間為［0,T］，泊松過程的速率為人。（1） 令當前時刻t=0，泊松事件計數(shù)值N=0，使其滿足泊松過程定義的第一個條件；（2） 在MATLAB中，利用rand（）函數(shù)生成（0,1）上均勻分布的隨機數(shù)U，利用逆變換法得到指數(shù)分布隨機數(shù)E，即令E=-Lln（U）；力（3） 令t=t+E，如果t>T,則停止；（4） 令N=N+1并設(shè)tN=t；（5） 回到第2步。四、 仿真結(jié)果及分析根據(jù)上述算法，我主要在C語言和MATLAB環(huán)境下做了仿真。C語言環(huán)境下能模擬出泊松過程的數(shù)據(jù)但不夠清晰、直觀，所以最后想到在MATLAB環(huán)境仿真，將得到的數(shù)據(jù)圖形化，這樣便于分析理解。主要仿真如下：4.1C語言環(huán)境下這里設(shè)置時間區(qū)間為（0,10），即T=10,人=1。實驗結(jié)果：圖1：第一次運行結(jié)果圖2：第二次運行結(jié)果結(jié)果分析：分別執(zhí)行兩次程序，分別得到兩個不同的實驗結(jié)果，分別如圖1，圖2所示。由圖1可以看出該事件總共發(fā)生了13次，發(fā)生的時間從小到大分別為：0.756124,1.065722，1.419995，2.923336，4.866784，5.304658，5.310878，5.425449，5.481566，7.207677，7.541941，9.279402,9.499325；同理可以從圖2可以知道該事件發(fā)生的次數(shù)和對應(yīng)的時間。4.2MATLAB環(huán)境下這里設(shè)置樣本函數(shù)1的時間區(qū)間為（0,15），人=1；樣本函數(shù)2的時間區(qū)間為（0,15），人二2。實驗結(jié)果：圖3：第一次仿真波形圖4：第一次仿真結(jié)果圖5：第二次仿真波形圖6：第二次仿真結(jié)果結(jié)果分析：運行兩次程序，得到兩組數(shù)據(jù)，圖3和圖4位第一次運行程序得到的實驗結(jié)果，圖5和圖6為第二次運行程序得到的實驗結(jié)果。圖4為泊松過程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，x1表示樣本函數(shù)1對應(yīng)的時間節(jié)點，y1為樣本函數(shù)1的時間節(jié)點所對應(yīng)的事件發(fā)生次數(shù)；根據(jù)圖4的樣本數(shù)據(jù)得到圖3的波形圖，由圖中可以看出，整個過程是遞增的，并且可以找到每個時間節(jié)點所對應(yīng)的事件發(fā)生次數(shù)。因為整個過程是隨機的，所以我們可以看到圖5和圖6得到的實驗結(jié)果和第一次得到的實驗結(jié)果不大一樣，但總體趨勢都是遞增的。五、實驗代碼C語言代碼mAM代碼0州#include<math.h> %樣本函數(shù)1#include<stdlib.h>lamda1=1.0;T1=15;t1=0;N1=0;intmain()x1=[];y1=[];x1(1)=0;y1(1)=0;(whilet1<T1;intN=0,T=10;U1=rand();doubleU,E;E1=-(1/lamda1)*log(U1);doublet=0;t1=t1+E1;doublelamda=1.0;if(t1<T1)printf("時間t%d:%lf,發(fā)生的次數(shù)N:%d\n",N,t,N);N1=N1+1;srand((unsigned)time(NULL));//初始化隨機數(shù)x1(N1+1)=t1;while(1)y1(N1+1)=N1;(endU=rand()/(RAND_MAX+1.0);endE=-(1/lamda)*log(U);y1t=t+E;x1%樣本函數(shù)2