泊松過程仿真

泊松過程仿真一、 仿真內容及目的1.1仿真內容首先查閱相關資料，學習如何在仿真環(huán)境下對隨機過程進行仿真。然后在C語言、MATLAB等環(huán)境下，結合泊松過程的相關理論知識，設計算法及程序對泊松過程進行仿真實驗。最后對得到的實驗結果進行分析。1.2仿真目的利用仿真實驗，將泊松過程這一抽象的概念圖形化、數字化、具體化，生成樣本進行描述分析。加深對泊松過程這一抽象概念的認識和理解，其次掌握如何運用仿真工具對所學的理論知識進行仿真模擬，增強自己的動手能力和自學能力。二、 實驗原理計數過程定義：設N(t)表示到時刻t為止已發(fā)生的“事件A”的總數，若N(t)滿足下列條件：N(t)>0；N(t)取正整數值；若s<t，則N(s)<N(t)；當s<t時，N(t)-N(s)表示區(qū)間(s,t］中發(fā)生的“事件A”的次數。則稱隨機過程｛N(t),t>0｝為計數過程。泊松過程定義：一個計數過程｛N(t),>0｝,具有參數人〉0，若它滿足下列條件：(1)N(t)=0；(2)N(t)是獨立增量過程;（3）在任一長度為t的區(qū)間內，事件發(fā)生的次數服從參數人>0的泊松分布，即對任意事件S，t>0，有則稱｛N（t）,t>0｝為泊松過程。根據以上定義，令隨機變量T（n>1）表示從第（n-1）次事件發(fā)生到第n次n事件發(fā)生的時間間隔，則可以證明，Tn服從互相獨立但參數為人的相同指數分布。因為只要按照參數人產生指數分布的隨機時間間隔序列，并計數系統(tǒng)隨時間運行的過程中，按這個時間間隔序列對系統(tǒng)狀態(tài)進行加1計數，則這個計數系統(tǒng)就對應了參數為人的泊松過程。三、 仿真環(huán)境及算法3.1仿真環(huán)境C語言、MATLAB2.2仿真算法時間區(qū)間為［0,T］，泊松過程的速率為人。（1） 令當前時刻t=0，泊松事件計數值N=0，使其滿足泊松過程定義的第一個條件；（2） 在MATLAB中，利用rand（）函數生成（0,1）上均勻分布的隨機數U，利用逆變換法得到指數分布隨機數E，即令E=-Lln（U）；力（3） 令t=t+E，如果t>T,則停止；（4） 令N=N+1并設tN=t；（5） 回到第2步。四、 仿真結果及分析根據上述算法，我主要在C語言和MATLAB環(huán)境下做了仿真。C語言環(huán)境下能模擬出泊松過程的數據但不夠清晰、直觀，所以最后想到在MATLAB環(huán)境仿真，將得到的數據圖形化，這樣便于分析理解。主要仿真如下：4.1C語言環(huán)境下這里設置時間區(qū)間為（0,10），即T=10,人=1。實驗結果：圖1：第一次運行結果圖2：第二次運行結果結果分析：分別執(zhí)行兩次程序，分別得到兩個不同的實驗結果，分別如圖1，圖2所示。由圖1可以看出該事件總共發(fā)生了13次，發(fā)生的時間從小到大分別為：0.756124,1.065722，1.419995，2.923336，4.866784，5.304658，5.310878，5.425449，5.481566，7.207677，7.541941，9.279402,9.499325；同理可以從圖2可以知道該事件發(fā)生的次數和對應的時間。4.2MATLAB環(huán)境下這里設置樣本函數1的時間區(qū)間為（0,15），人=1；樣本函數2的時間區(qū)間為（0,15），人二2。實驗結果：圖3：第一次仿真波形圖4：第一次仿真結果圖5：第二次仿真波形圖6：第二次仿真結果結果分析：運行兩次程序，得到兩組數據，圖3和圖4位第一次運行程序得到的實驗結果，圖5和圖6為第二次運行程序得到的實驗結果。圖4為泊松過程產生的數據，x1表示樣本函數1對應的時間節(jié)點，y1為樣本函數1的時間節(jié)點所對應的事件發(fā)生次數；根據圖4的樣本數據得到圖3的波形圖，由圖中可以看出，整個過程是遞增的，并且可以找到每個時間節(jié)點所對應的事件發(fā)生次數。因為整個過程是隨機的，所以我們可以看到圖5和圖6得到的實驗結果和第一次得到的實驗結果不大一樣，但總體趨勢都是遞增的。五、實驗代碼C語言代碼mAM代碼0州#include<math.h> %樣本函數1#include<stdlib.h>lamda1=1.0;T1=15;t1=0;N1=0;intmain()x1=[];y1=[];x1(1)=0;y1(1)=0;(whilet1<T1;intN=0,T=10;U1=rand();doubleU,E;E1=-(1/lamda1)*log(U1);doublet=0;t1=t1+E1;doublelamda=1.0;if(t1<T1)printf("時間t%d:%lf,發(fā)生的次數N:%d\n",N,t,N);N1=N1+1;srand((unsigned)time(NULL));//初始化隨機數x1(N1+1)=t1;while(1)y1(N1+1)=N1;(endU=rand()/(RAND_MAX+1.0);endE=-(1/lamda)*log(U);y1t=t+E;x1%樣本函數2