2022年中考數(shù)學訓練-（特殊）平行四邊形相關計算（解析版）

2022年中考數(shù)學改革重點題型專練（重慶專用）

專練五、（特殊）平行四邊形相關計算

1.如圖，在正方形ABQ9中，AB=4,點。是對角線AC的中點，點。是線段OA上的動

點（點。不與點O,A重合），連接BQ,并延長交邊于點E,過點。作FQL8Q交

CC于點凡分別連接8尸與EF,交對角線AC于點G.過點C作CH〃。尸交BE于

點、H,連接以下四個結論：①BQ=。/：②△OEF的周長為8；③SABQG=」SABEF；

2

④線段AH的最小值為2旄-2.其中正確結論的個數(shù)為（）

BC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】M：'：BQVFQ,

；./FQB=NBCD=90°,

.?.點8,點C,點凡點。四點共圓，

；.NQFB=N℃8=45°,NQBF=NQCF=45°,

：.NQBF=NQFB,

：.BQ=FQ,故①正確；

如圖，延長D4至N使4N=CF,連接BN,

BC

"：CF=AN,NBAN=NBCF=90°,AB=BC,

:AABN妾ACBF(SAS),

:.BF=BN,NABN=4CBF,

\'ZQBF=45°,

AZABE+ZCBF=45°,

；NA8E+NA8N=45°,

:.NEBN=NEBF=45°,

又；BE=BE,BF=BN,

:.△BEFWABEN(SAS),

：.EF=EN,

：./XDEF的周長=DE+DF+EF=DE+DF+EN=DE+DF+AE+CF=AD+CD=8,故②正確；

'：CH//FQ,

：.NBHC=NBQF=90°,

...點，在以BC為邊的圓上運動，

如圖，以BC為直徑作圓，取BC的中點P,連接4P,PH,

A_E________D

：.BP=2=HP,

?'-AP='福2+Bp2=。16+4=2遙,

在中，AH>AP-HP,

當點H在AP上時，AH有最小值為2巫-2,故④正確;

如圖，連接EG,

A

B

?ND4C=NQ8尸=45°,

?點A,點8,點凡點E四點共圓,

.ZBAC=ZBEG=45°，

.NBEG=NEBF=45°,NEGB=90°,

?EG=BG,

?BE=,

?NBEG=NBFQ=45°,

.點E,點凡點G,點。四點共圓,

.ZBQG=ZBFE,ZBGQ=ZBEF,

.△BQGsMFE,

S

ABQG=2_1

^ABFE2

'?S^BQG=工S八BEF；故③正確,

2

故選：D.

2.如圖，矩形ABC。中，CD=4病，點E為BC邊的中點，點尸在邊A。上，將四邊形

ECD尸沿著E尸翻折得到四邊形ECiOi凡ECi交A。于點H,若CiH：HE=1：3且OiCi

的延長線恰好經(jīng)過點A,則折痕EF的長為（)

C.D.976

【解答】解：如圖所示，過E作￡6,4D于6,則四邊形A8EG是矩形,

設CiH=a(a>0),則EH=3a,CiH=4a=BE=AG,

設AH=x(x>a),則HG=4a-x,

VZAC}H=ZEGH=90°,ZAHC\=ZEHG,

!當即a=X,

GHEH4a-x3a

解得工1=3?；騒2=〃(舍去)，

.\AH=3a,HG=4a-3a=at

為△E”G中，/7G2+EG2=/7E2,

.\tz2+(4^/21)2=(3。)2,

解得4=J森，

???HG=V^，HE=3yf^,

由題可得，ZCEF=ZHEF,NCEF=NHFE,

：.NHEF=NHFE,

:.HF=HE=3yT^,GF=2yf^,

RtZiEFG中'￡F=VGF2+GE2=7(2A/42)2+(4V/21)

故選:A.

D,

3.如圖，在邊長為4的正方形A8CQ中，點E、點F分別是8C、AB上的點，連接OE、

DF、EF,滿足NOEF=NDEC.若AF=1,則EF的長為（）

C-fD-y-V2

【解答】解：如圖，在EF上截取EG=EC,連接。G,

:四邊形ABCZ）是正方形，

.?./A=/C=90°,AB=BC^4,

在△￡)(?￡：和△OGE中，

'CE=GE

?ZDEC=ZDEG-

ED=ED

.,.△DCE經(jīng)ADGE(SAS),

；.NDGE=/C=90°,DG=DC,

；NA=/C=90°,AB=BC=4,

：.ZDGF^ZA^90),,DG=DA,

在Rt/\DAF和RtADGF中，

[DF=DF,

IDA=DG'

ARtADAF^RtADGF(HL),

：.AF^GF=\,

,:EG=EC,

:*BE=BC-EC=4-EG,EF=EG+FG=EG+\,BF=AB-AF=4-1=3,

在RtZ\BEF中，根據(jù)勾股定理，得

BE2+BF2=EF2,

(4-EG)2+32=(￡G+1)2,

解得EG=2A,

：.EF=EG+FG^2A+l^3A.

.?.EF的長為3.4.

故選：B.

4.如圖，在矩形ABC。中，ZABD=60°,BC=4Vs＞連接BC,將△BCD繞點。順時針

旋轉(zhuǎn)”（0。<n<90°）,得到△8CQ,連接BZT,CC,延長CC交BB吁點N,連接AB',

當NB4?=N3NC時，則△439的面積為（）

B

A.2739-673B.-21C5V1^-89

10~5~4

【解答】解：如圖，設BD與CN交點為M,A8與B'。交點為。,

A------------，"

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：DC=DC,DB=DB',ZCDC'=NBDB'=n,

：.ZDCC'=NDC'C=A(180°-n)=90°-

22

同理：ZDBB'=NDB'8=90°-H,

.,.ADCC,S/\DBB，,

ZNMB=ZCMD,ZMBN=ZMCD,

:.叢BMNs^CDM,

：./BNM=ZCDM,

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AB//CD,

：.ZCDM=ZABD=60°,

:.NBNM=/BAB'=60°,

VZAOB'=NBOD,ZB'AO=NDBO,

.?.△AB。'S^BDO,

z

.A0=B0

,,B0DO

在矩形A8C￡>中，ZABD=60°,4O=BC=4?,

：.AB=J^AD=4,

：.BD=2AB^S,

設AO=JGB'0=y,

則5O=4-x,00=8-y,

??x?一_一y,

4-x8-y

.?.y=2x,

在RtZ\ADO中，根據(jù)勾股定理，得

AO2+AD2^OD2,

；.7+48=(8-2A-)2,

化簡得,3X2-32x+16=0,

解得彳=竺心屬或也亙(舍去),

33

如圖，過點。作O〃_LAB'于點H,

在RtAHB'。中，根據(jù)勾股定理，得

OB'2=夕H2+OH2

=(AB'-AH)2+(AOsin600)2

=AB'2-2AB'?AH+AH2+AO2sin260°

=AB'2-2AB'M0.cos60+A02?cos260°+AO2sin260°

=A8'2+AO2-2AB'?AO-COS600,

解得AB'=2tM=2萬-6，

2

的面積=AAB'?A8?sin60°=^^B'=2739-673.

2

故選：A.

5.如圖，在邊長為1的正方形4BC￡>中，E、尸是AD邊上的兩個動點，且AE=F￡>,連接

BE、CF、BD,CF與BD交于點、G,連接4G交BE于點”，連接。H,下列結論正確的

個數(shù)是()

?AG±BE；②HD平分NEHG；③△ABGs/\FQG；?SAHDG：SAHBG=tan/ZMG；⑤

線段DH的最小值是近二1：⑥當E、F重合時，延長AG交CZ)于M,則tan/EBM=3.

24

A.5個B.4個C.3個D.2個

【解答】解：...四邊形A8C7)是正方形，

：.AB=CD,NBA￡>=NA￡>C=90°,NADB=NCDB=45°,

在△ABE和△QCF中，

'AB=CD

<ZBAD=ZADC>

AE=DF

A^ABE^/\DCF(SAS),

NABE=ZDCF,

在△ADG和△COG中，

'AD=CD

,ZADB=ZCDB)

DG=DG

:AADG迫/\CDG(SAS),

NDAG=ZDCF,

：./ABE=ADAG,

"：ZDAG+ZBAH=90°,

AZABE+ZBAH=90°,

:./AHB=90°,

：.AG1BE,故①正確；

同法可證：4AGB咨ACGB,

■:DF//CB,

：./\CBG^/\FDG,

:.XABGsXFDG,故③正確；

,:S&HDG：SAHBG=DG：BG-DF-.BC=DF：CD=tanZFCD,

又,：/DAG=NFCD,

.**S^HDG：S^HBG=tanZFCD=tanZG,故④正確;

取AB的中點。，連接OD、OH,

：.AO=OH=^X\=X,

22_

由勾股定理得，°0=后奇=與，

"：OH+DH>OD,

，。、D、〃三點共線時，DH最小,

，。”最小=1二1.故⑤正確：

2

如圖，當E、尸重合時，則點E是A。的中點，設EC與8M的交于點N,

D

M

C

'JAD//BC,

:ADEGSABCG,

?DEDG=1

""BC"BG~2

,JAB//CD,

-DMDG=1

"AB'BG~2

，￡>M=LB=-1,

22

：.CM=^=DE,

2

又，：BC=CD,ZBCM=ZCDE=90°,

...△￡>CE絲△CBM(SAS),

:.NCBM=NDCE,BM=CE,

；NDCE+NBCE=90°,

:.NBCE+NCBM=90°,

：.ZCNB=90°,

:.CE=S,

2

?；S&BCM=LXBCXCM=LXBMXCN,

22

CN=?,

5

：.EN=3^,

10

VtanZCBM=里皿”，

BNBC2

:.BN=Z氐

5

/.tanZEBM=^-=—,故⑥正確；

BN4

無法證明Z)H平分NEHG,故②錯誤，

故選：A.

6.如圖，在正方形ABC。中，對角線AC,BO相交于點。，點E在。C邊上，且CE=2￡)E,

連接AE交BD于點G,過點。作OFLAE,連接。F并延長，交。C于點尸，過點。作

OQLOP分別交AE、AO于點N、H,交BA的延長線于點Q,現(xiàn)給出下列結論：①NAFO

=45°；②OG=OG；?DP1=NH*OH-,④sin/AQO=返；其中正確的結論有()

5

o

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

【解答】解：???四邊形A8CQ是正方形，

：.AO=DO=CO=BO,ACLBD,

VZAOD=ZNOF=90°,

???ZAON=ZDOF,

???NOAO+NA￡>O=900=ZOAF+ZDAF+ZADO,

VDF±AE,

???ZDAF+ZADF=90°=ZDAF+ZADO+ZODF,

：.ZOAF=ZODF,

：.^XANO^/XDFO(ASA),

：?ON=OF,

：.ZAFO=45°,故①正確;

如圖，過點。作OKLAE于K,

,:CE=2DE,

：.AD=3DEf

??,tanNOAE=迺=^L△,

ADAF3

：.AF=3DF,

,?/\ANO^/\DFO,

：.AN=DF,

；.NF=2DF,

?：ON=OF,NNOF=90°,

0K=KN=KF=UN,

2

：.DF=OK,

又,：NOGK=NDGF,NOKG=/DFG=90°,

:.△0KG92DFGCAAS),

：.GO=DG,故②正確；

@VZDAO=ZODC=45°,OA=OD,ZAOH=ZDOP,

.?.△AO”絲△OOP(ASA),

：.AH=DP,

,:NANH=NFNO=45°=ZHAO,NAHN=NAHO,

：.XAHNs△OHA,

.AHHN

HOAH

：.AH1=HO'HN,

：.DP2=NH'OH,故③正確；

■:NNAO+NAON=NANQ=45°,ZAQO+ZAON^ZBAO=45Q,

ZNAO=ZAQO,

'：OG=GD,

：.AO=2OG,

.?.4G=VAO2刈G2=A/^°G,

.".sinZNAO=sinZAQO=^-—^-^-,故④正確，

AG5

故選：D.

7.如圖，邊長為4的正方形ABC。中，對角線AC,BO交于點O,E在BD上,連接CE,

作EFVCE交AB于點F,連接CF交BD于點H,則下列結論：?EF=EC-,②Cp=CG

?CA；③BE*DH=16；④若8尸=1,則。E=3加,正確的是()

AD

D.①②③④

【解答】解：如圖，連接AE,

：.AD=CD,ZADB=ZCDB=ZBAC=ZDAC=45°,

又?：DE=DE,

:./XADE絲4CDE(SAS),

：.AE=EC,ZDAE=ZDCE.

；?NEAF=NBCE,

VZABC+ZFEC+ZEFB+ZBCE=360°,

AZBCE+ZEFB=180°,

XVZAFE+ZBFE=180°,

I.NAFE=ZBCE=NEAF,

：.AE=EFf

：?EF=EC,故①正確；

?：EF=EC,NFEC=90°,

：.ZEFC=ZECF=45°,

：.ZFAC=ZEFC=45°,

又?:NACF=/FCG,

:ZCGsRACF,

?CFCA

**CG=CF，

,.CF2=CG?C4,故②正確；

/ZECH^ZCDB,/EHC=ZDHC,

,.△ECHsACDH,

-CH_EC；

'DH'CD'

?CHDH

*EC"CD，

:NECH=NDBC,NBEC=NCEH,

,.△ECHs/\EBC,

.?-C-H-=-E-C-,

BCBE

.?CH,二BC.,

ECBE

.?-D-H-二B..C,

CDBE

?.BC?CQ=Q”/E=16,故③正確；

.”尸=1,AB=4,

\AF=3,AC=4&,

：ZECF=ZACD=451,,

\ZACF=ZDCE,

又,.?/E4C=NC￡)E=45°,

△AFCSXDEC,

AFAFC

D3E

區(qū)

DE

.?.OE=2返，故④正確，

2

故選：D.

8.如圖，在矩形ABC。中，NBA。的平分線交BC于點E.OH_LAE于點H,

連接8H并延長交C。于點F,連接DE交BF于點O,下列結論：?AD=AE；②/AM

=NCED；③OE=OD；@BH=HF；?BC-CF=2HE,其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解答】解：①平分NBA。，

AZBAE=ZDAE=^ZBAD=45°,

2

,JAD//BC,

：.ZDAE=ZAEB=45°,

；.NAEB=NBAE=45°,

：.AB=BE,

：.AE=y/2AB,

,:AD=4^B,

.'.AD=AE,故①正確；

②在AABE和△4"。中，

，ZBAE=ZDAE

<ZABE=ZAHD)

AE=AD

.?.△ABE絲△AH￡>(AAS),

：.BE=DH,

:.AB=BE=AH=HD,

：.ZADE^ZAED^1.(180°-45°)=67.5°,

2

AZC￡D=180°-45°-67.5°=67.5°,

AZAED^ZCED,故②正確；

'：AB=AH,

'：AAHB=k(180°-45°)=67.5°,(對頂角相等)，

2

：.NOHE=675°=ZAED,

：.OE=OH,

；NDHO=90°-67.5°=22.5°,40DH=675°-45°=22.5°,

：.ZDHO=ZODH,

：.OH=OD,

：.OE=OD=OH,故③正確；

:NEBH=90°-67.5°=22.5°,

：.ZEBH=ZOHD,

在△BE”和△4￡>/中，

'/EBH=/0HD=22.5°

■BE=DH，

ZAEB=ZHDF=45°

:.叢BEH沿叢HDF(ASA),

：.BH=HF,HE=DF,故④正確；

HE=AE-AH=BC-CD,

：.BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故

⑤正確；

故選：D.

9.如圖，正方形ABCQ中，點E為對角線AC上一點，交邊A8于F,連接。尸交

線段AC于點H,延長。E交邊BC于點Q,連接0F.下列結論：?DE=EF；②若AB

=6,CQ=3,則AF=2；③/AF￡>=/￡>FQ；④若AH=2,CE=4,則A8=3揚VI5；

其中正確的有()個.

C.3個D.4個

【解答】解：如圖，連接BE,

?.?四邊形ABC。為正方形，

：.CB=CD,NBCE=NDCE=45°,

在△BEC和△DEC中，

'DC=BC

<ZDCE=ZBCE)

CE=CE

:ADCEmABCE(SAS),

:.DE=BE,NCDE=NCBE,

：.ZADE=NABE,

VZDAB=90°,NDEF=90°,

：.ZAD￡+ZAF￡=180°,

VZAFE+ZEFB^\SQ0,

ZADE=NEFB,

：.NABE=NEFB,

：.EF=BE,

：.DE=EF,故①正確；

VZD￡F=90°,DE=EF,

：.NEDF=NDFE=45°,

如圖：延長BC到G,使CG=AF,連接QG,

在△4OF和△C￡>G中，

'AD=CD

<ZDAF=ZDCG)

,AF=CG

A/\ADF^/\CDG(SAS),

:"AFD=NG,NADF=NCDG,DF=DG,

VAADF+ACDQ=^°-ZFDQ=45Q,

Z.ZCDG+ZCDQ=45°=ZGDQ,

：.ZGDQ^ZFDQ,

又'：DG=DF,DQ=DQ,

：.^QDF^/\QDG(SAS),

：.FQ=QG,ZG=ZDFQ,

.,.ZDFA=ZDFQ,故③正確；

；AB=6,CQ=3,

：.BQ=3,FB=6-AF,FQ=QG=3+A凡

,.?F02=FB2+8Q2,

(3+AF)2=9+(6-AF)2,

；.AF=2,故②正確；

如圖：將△€!)￡?繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM,連接

：./\CDE^/\ADM,

：.AM=CE^4,NOCE=ND4M=45°,ZADM^ZCDE,DM=DE,

：.AMAH=90°,ZADM+ZADH^ZCDE+ZADH^45Q=NMDH,

又,：DH=DH,

：./^DMH^/\DEH(SAS),

：.EH=MH,

MH=JM+AH2=.16+4=2爬,

:.EH=MH=2娓,

：.AC=AH+EH+EC=6+2-^,

；./18=_^=3,+近5，故④正確；

&

故選：D.

10.如圖，正方形ABCQ邊長為3,連接BD點E、尸分別是A。、CQ上的一點，AE=DF

=1.連接AF、BE交于點G,AF與BO交于點P.點M是2C上一點，ZMAF=45°,

連接AM交8E于點將AM繞點M旋轉(zhuǎn)90°交4尸的延長線于點N,連接CN.下列

s

結論：①AG=GH；②NMCN=135°；③④tan/CNM=工；⑤連接CP,

SABMH32

△CNP的面積是9.其中，正確結論的個數(shù)是（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解："：AD=AB,/BAC=NAQF=90°,DF=AE,

：.(SAS),

：.ZDAF=ZABE,BE=AF,

VZMAF=45°,

：.ZDAF+ZBAM=45°,

AZABE+ZBAM=45°=NAHG,

：.ZAHG=ZMAF=45°,

：.AG=GHfNAG〃=90°,故①正確；

如圖，連接AC,MF,過點A作AQ〃3￡交C3的延長線于Q,

???四邊形A3。是正方形，

AZACB=ZACD=45°,AB=BC=3f

???AC=3&,

??,將AM繞點M旋轉(zhuǎn)90°交AF的延長線于點M

.??AM=MN,NAMN=90°,

：?4MAN=NMNA=45。,

:?/MNA=/MCA=45°,

?,?點A,點M,點C,點N四點共圓，

AZAMN=ZACN=90°,

；.NMCN=135°,故②正確；

\'AQ//BE,AE//BC,

，四邊形AEB。是平行四邊形，NQAF=NBAD=90°,

：.AE=BQ=\,ZBAQ=ZDAF,AQ=BE=AF,

,：ZFAM=45°,

：.ZDAF+ZBAM=45Q,

N8AQ+NBAM=45°=ZQAM,

：.ZQAM=ZMAF,

又AQ=AF,

.'.△AQM絲△4FM(SAS),

：.QM=MF,

'：MF2^CF2+MC2,

(1+BM)2=(3-1)2+(3-BM)2,

:.BM=W,

2

VAD//BC,

二二AEHs叢MBH,

S

.AAEH(AE)2=生

SABHMBM9

工設S&BHM=9a,

"：tanZDAF=^L=^^1,

ADAG3

:.AG=3EG=GH,

?^S^AGH=3cb

故③正確；

SABHM3

??,點A,點M,點C,點N四點共圓，

.??/MNC=NM4C,

?.,NMAC+NCAN=45°,ZCAN+ZDAF=45°,

*.ZDAF=ZMAC=/MNC,

??,tanNCNAfntanNOAFnllL。，故④錯誤；

AD3

9

：AB=BCfZABP=ZCBP=45°,BP=BP,

???△ABP咨/\CBP(SAS),

:?AP=CP,

：.ZPAC=ZPCA9

VZACN=90°,

：.ZPAC+ZANC=90Q=/PCA+/PCN,

:?/PCN=/PNC,

:?PC=PN=AP,

?.?/CAN+NZM尸=45°=ZDAF+ZBAM,

，/CAN=/BAM,

tanZCAN=tanZBAM,

.BMCN

"AB'AC"

3_

.~2CN

:.CN=&M，

2

，SAACN=」XAC><CN=a,

22

,:AP=PN,

'.S^CPN——,故⑤正確；

4

故選：B.

11.如圖，正方形A8CQ的邊長為4,點E在邊AB上，BE=1,ND4M=45°,點尸在射

線4M上，且AF=J5，過點F作A。的平行線交34的延長線于點”，CF與相交

于點G,連接EC、EG,EF.下列結論：①NEFG=45°:②△AEG的周長為8：(§)△

CEGsAAFG；④aCEG的面積為6.8.其中正確的個數(shù)是()

H

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：如圖，在正方形ABC。中，AQ〃3C,AB=8C=A￡>=4,NB=/BAD=90°,

：.ZHAD=90°,

?：HF〃AD,

：.ZH=90°,

VZHAF=90°-NZMM=45°,

AZAFH=ZHAF=45°.

?:AF=啦,

：?AH=HF=l=BE.

：.EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC,

:?△EHFQACBE(SAS),

：?EF=EC,NHEF=NBCE,

?；NBCE+NBEC=90°,

：.HEF+ZBEC=90°,

AZFEC=90°,

???△CEb是等腰直角三角形，

：.ZEFG=45°,故①正確；

在RtZXCBE中，BE=T,3c=4,

：.EC2=BE2+BC2=17,

'CF=7CE2+EF2=

過點尸作尸QJ_8C于。，交A。于P,

AZAPF=90°=N.H=/HAD,

,?四邊形APF”是矩形,

,:AH=HF,

矩形A//FP是正方形，

：.AP=PF=AH=\,

同理：四邊形ABQP是矩形,

：.PQ=AB=4,BQ=AP=\,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC~BQ=3,

■:AD//BC,

：./\FPG^/\FQC,

.FPPG

"FQ=CQ

?.?1—二PG，,

53

：.PG=^-,

5

：.AG=AP+PG=^-,

5

在Rt^EAG中，根據(jù)勾股定理得，EG=^22=1L

AG+AE5

Z./XAEG的周長=AG+EG+4E=g+H+3=8,故②正確;

55

;FG=

----,

5

..AF^l2_572EC_V17_572

*AG__88GC8

5-5~

.AFEC

?------H.......

AGGC

又；/￡4G=NECF=45°,

：.4CEGs叢AFG,故③正確；

VSEFC=AEC2=H,電」，

A22GC4

；.SACEG=—X2Z_=6.8,故④正確;

1+42

故選：D.

H

n

BQC

12.如圖，菱形ABC。中，NBA￡）=60°,4c與BO交于點O,E為CD延長線上的一點，

且CD=DE,連結BE,分別交AC,于點F、G,連結OG,則下列結論：?OG=1AB-,

2

②SMCD=6SABOF；③由點A、B、D、E構成的四邊形是菱形；④S四邊彩OOGF>S/\ABF.其

中正確的結論是（）

BA

/w

cDE

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

【解答】解：①,?,四邊形ABCD是菱形，

：.AB//CDfAB=CD,BO=OD,

:?/ABG=/GED,NBAG=NGDE,

*：CD=DE,

；?AB=DE,

：./\ABG^/\DEG(A4S),

:?BG=GE,

???OG=LB,???①正確；

2

②由①知△A8Gg△DEG,

：.AG=GD,

???四邊形ABC。是菱形，

：.AB=AD,AO_L5。，

:/BAD=60°,

：.AB=BD=AD,BG±AD,

:.NFBO=30°,ZAB0=6Q°,NBAO=30°,

,00,0B，愿

"BO"0A^3-，

.,SAB0F:SAA0B=）多

,**S>ACD=S2ABC=2SMBO,

?.?SABOFqSAlCD'?,?②正確

③由①知△ABG^4DEG,

：.AB=DE,

,JAB//DE,

四邊形ABQE是平行四邊形，

由②知：AB=BD,

二四邊形A8OE是菱形，.?.③正確.

@'：BO=DO,AG=DG,

.?./」，OG//AB,

AB2

：./\OGF^^ABF,

.OF0G1

"AF"AB

:.S&AFG=?SdOFG，

S^AOG=SAAFG+SAOFG，

=，

**?SAQPQ^^AA0GSgOG：S△。郎=1：4,SAFOG：S^FAB=1：4,

3

??SAFAB=4SAF0G=ySAA0G，

*：AG=GD,

??S^AOGSAGOD,

?WXJF=SAG0D+SA0FG=SAA0G+ySAA0G至SzkAOG，

?,?5Wi!iKODGF=S^FAB,④不正確.

綜上所述①②③正確.

故選：B.

B

13.如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△AB。和等邊

△ACE,F為A8的中點，OE與A3交于點G,EF與AC交于點H,ZACB=90°,Z

BAC=30°,給出如下結論：

①EF_L4C；②四邊形AOFE為菱形；

③4O=4AG；@4FH=BD；其中正確結論的是（）

【解答】解：:△ACE是等邊三角形,

：.ZEAC=60°,AE=AC,

VZBAC=30°,

：.ZEAF=ZACB=90°,AB=2BC,

?.?尸為AB的中點，

：.AB=2AF,

：.BC=AF,

在△ABC和△EEI中，

，AC=AE

<ZACB=ZEAF?

BC=FA

AAABC^AEM(SAS),

：.FE=AB,/AEF=NBAC=30°,

ZAWE=180°-ZEAC-ZAEF=180°-60°-30°=90°,

：.EF±AC,故①正確，

'：EF±AC,ZACB=90Q,

：.FH//BC,

是A8的中點，

是aABC的中位線，

：.FH=1.BC,

2

'：BC=1AB,AB=BD,

2

：.BD=4FH,故④正確；

'：AD=BD,BF=AF,

:.NDFB=90°,ZBDF=30°,

VZFAE=90",

：.NDFB=NEAF,

,：EFA.AC,

：.ZAEF=30°,

；.NBDF=NFEA,

在△。8尸和△EE4中，

，ZBDF=ZFEA

<NDFB=EAF，

BF=FA

：.^DBF^/\EFA(AAS),

：.AE=DF,

'：FE=AB=AD,

：.四邊形ADFE為平行四邊形，

'：AB>AC,

：.AD>AE,

四邊形ADFE不是菱形，故②錯誤;

，：AG=1AF,

2

:.AG=1AB,

4

'：AD=AB,

則AQ=4AG,故③正確，

故選：C.

14.如圖，菱形ABC。的邊長為4,E、尸分別是A8、AD.上的點，連接CE、CF、EF,

AC與EF相交于點G,若BE=AF=1,NBA￡>=120°,則FG的長為（)

A.2ZI3B.返C.1D.3

424

【解答】解：過點E作EM〃8C交AC于M,ENLBC于N,如圖所示：

?菱形ABC。的邊長為4,/54。=120°,

：.AB=BC=4,ZBAC=ZFAC=^ZBAD=60°,AD//BC,

2

/\ABC是等邊三角形，

：.ZB=ZACB=60°,BC=ACf

?:EM〃BC,

：.EM//AD,ZAEM=ZB=60°=/BAC,

，△AEM是等邊三角形，

：.AM=AE=AB-BE=4-1=3,

,:ND,

：.AAGF^AMGE,

?FG_AF_1

EGEM3

：.FG=^EF,

4

在△8CE和△AC尸中，

，BC=AC

<ZB=ZFAC?

BE=AF

.?.△BCE絲△ACF(SAS),

：.CE=CF,ZBCE^ZACF,

：.ZACF+ZACE=ZACF+ZACE=ZACB=60a,

...△CEF是等邊三角形，

；.EF=CE,

,:ENLBC,ZB=60°,

:.NBEN=30",

；.BN=LBE=L,

22

.*.EN=/BN=返，CN=BC-BN=4-1=1,

222

EF=CE=VEN2-K;N2^

:.FG=LEF="^,

44

故選：A.

15.如圖，在菱形ABC。中，AB=BD,E,F分別是A8,AO上的點（不與端點重合），且

AE^DF,連接8尸，OE相交于點G,連接CG與BD相交于點H.下列結論：①DE=BF；

②NBGE=60°；③CGLBQ；④若AF=2OF,則BG=6GF.其中正確結論的序號是（）

A.①②B.①②④C.②③④D.①③④

【解答】解：①二?四邊形A8CO是菱形,

：.AD=AB,

又AB=BD,

：.AD=AB=BD,

...△A8O是等邊三角形,

；.N4=408=60°,

在△AEC與△OFB中，

AD=BD

-ZA=ZBDF>

AE=DF

:./XAED空叢DFB(SAS),

:.DE=BF,

???①符合題意；

②由①得△AEQ也△￡>月%

ZADE=NDBF,

「△ABD是等邊三角形，

：.ZADB=60°,

，NBGE=ZBDE+ZDBF=ZBDE+ZADE=NA￡>B=60°,

②符合題意；

③當點E,尸分別是AB,A￡)中點時，

由(1)知，AABD,△BDC為等邊三角形，

?.?點E,F分別是AB,AD中點，

:.NBDE=NDBG=30°,

:.DG=BG,

在△GOC和△BGC中，

'DG=BG

<DC=BC>

GC=GC

.?.△GOC四△BGC(SSS),

:.NDCG=NBCG,

：.CH±BD,

即CGLBD,

③不符合題意；

④過點尸作交力日于P點，如圖，

"：AF=2DF,

?FP：AE=DF：DA=\：3,

?：AE=DFfAB=AD,

：.BE=2AE,

：.FP：BE=FP：2AE=1：6,

9

\FP//AEf

:?PF〃BE,

：.FG：BG=FP：BE=\：6,

即BG=6GF,故本選項符合題意；

所以，正確的結論是①②④，

故選：B.

16.如圖，點E是正方形A8CD對角線8。上一點，連接AE,過點E作族_L4E,交線段

BC于點F,交線段AC于點M,連接AF交線段8。于點”給出下列四個結論，①

=EF；?V2DE=CF；③S&AEM=S&MCF；④BE=DE+?Bi口；正確的結論有（）

H

.4B

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【解答】解：過點E作PQ〃CO,交AD于P,BC于Q,

則四邊形。PQC為矩形，

:.PQ=CD=AD,PD=CQ,/E。尸=NM4=90°,

：.APAE+^PEA=9Qa,

\"EFLAE,

：.ZA￡F=90°,

：.ZPEA+ZFEQ^9O0,

:.NME=ZFEQ,

'：ZPDE=45°,NDPE=9U°,

：.PD=PE,

：.AD-PD=PQ-PE,

：.AP=EQ,

：./\PAE^/\QEF(ASA),

AQF=PE=-PD=CQ=1.CF,AE=EF,故①正確;

2

:NPDE=45°,NDPE=9Q°,

DE=V2/>￡=—CF,

2

：.CF=yf2DE,故②正確；

過點F作FK〃尸Q,

?：CQ=QF,

:.EK=DE,

VZ/fFB=90°,NKBF=45°,

：.BK=42BF,

：.BE=EK+BK=DE+最BF,故④正確,

③無法證明，

17.在矩形ABC。中，M為8C中點，連結AM,將△ACM沿AM翻折至△AEM,連結CE,

BE,延長AM交EC于F,若45=①，AQ=10,則BE=8.

【解答】解：???四邊形ABC。是矩形,

：.AD=BC^\O,AB=CZ)=m,ZABC=ZD=90",

4

是BC的中點，

：.CM=BM=^BC=5,

2

由折疊性質(zhì)可知，△ACM也△4EM,

：.CM=EM,AE=AC,

:.BM=EM=CM,

NMBE=NMEB,NMEC=ZMCE,

VZMBE+ZMEB+ZMEC+ZMCE^180c,

；.2NMEB+2NMEC=180°,

ZMEB+ZMEC=NBEC=90°,

：AE=AC,CM=EM,

垂直平分CE,

：.EN=CF,ZMNC=90°,

是BC中點，

：.BE=2MF,

在RtAABM中，

4M=〃B2+BM=J(*2+52=疊,

在RtzXAC尸中，CF2=AC2-AF2,

在Rt^MCF中，CF2=CM2-MF2,

.,.AC2-AF2=CM2-MF2,

'：AC2^AD2+CD2,

：.AD2+CD2-AF2=CM2-MF2,

設MF=x,

則1()2+(號)2.(與+乂)2=52-x2,

解得x=4,

.?.MF=4,

:.BE=2MF=8,

故答案為：8.

18.如圖，平行四邊形A3CD的對角線交于點O,NA8C=120°,AB=6,BC=13,將4

B0C沿直線8。翻折得到△BOF,B尸交于點E,貝ijSABED=_2迎

—40—

【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，NCBO=/OBE,

:平行四邊