2022年中考數(shù)學(xué)：勾股定理（二）

2022年中考數(shù)學(xué)專題：勾股定理（二）

1.如圖，每一小格的長度為1,點4,B都在格點上，若，則AC

的長為（）

B..............

A.V13B.C.2V13D.3V13

3

2.如圖，。。是RPABC的外接圓，OE〉B交。。于點E，垂足為點D,

AE,CB的延長線交于點F.若。0=3,AB=8,則FC的長是（

3.如圖，在Rt^ABC中，乙4cB=90。，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任

意長為半徑作弧，分別交BA.BC于M、N兩點；②分別以M、N為

圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP,

交邊AC于。點.若4B=10,BC=6,則線段CD的長為（）

4.如圖，AABC中，Z.ACB=90°,AC=8,BC=6,將AADE沿DE翻

折，使點A與點B重合，則CE的長為（）

5.在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運用如圖圖形，驗證著名的勾股

定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證

明〃.實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式

和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

A.統(tǒng)計思想B.分類思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.函數(shù)思想

6.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題："今有池方一丈，葭（jid

）生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何（丈、尺是長度

單位，1丈=10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正

方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水

池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度是多少？則水深為

A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺

7.如圖，在RPABC中，"CB=90。，AB=瓜BC=2,以點A為圓心，AC的

長為半徑畫弧，交4B于點D,交AC于點C,以點B為圓心，4C的長為半

徑畫弧，交4B于點E,交BC于點F,則圖中陰影部分的面積為（）

A.8—7TB.4—7rC.2—^D.1-E

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,點、E為BC上一點，把ACDE

沿DE翻折，點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）

9.如圖，在由4ABe紙片中，44cB=90。，AC=4,BC=3,點D,E分

別在AB,AC上，連結(jié)DE,將AADE沿DE翻折，使點A的對應(yīng)點F

落在BC的延長線上，若FD平分乙EFB,則AD的長為（）

A.史B.空C.至D.空

9877

10.如圖，QO的直徑48=8,AM,BN是它的兩條切線，DE與。。相

切于點E,并與AM,BN分別相交于D,C兩點，BD,OC相交

于點F,若CD=10,則BF的長是（)

（、8V15010V15

-9'-9~

11.如圖，在正方形4BCD中，點E、F分別在邊BC、CO上，且^EAF=45°,

4E交BD于M點，4F交8。于N點.

(1)若正方形的邊長為2,則4CEF的周長是—.

(2)下列結(jié)論：①BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中點，則tan^AEF=2；

③連接MF,則44WF為等腰直角三角形.其中正確結(jié)論的序號是—(把

你認(rèn)為所有正確的都填上).

12.已知菱形4BCD的面積為26，點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD

上的動點.連接AE,若4E平分乙BAC,則線段PE與PC的和的最小值

為,最大值為?

13.如圖，AB是。。的弦，C是3的中點，0C交AB于點。.若AB=

8cm,CD=2cm,則00的半徑為cm.

14.如圖，正方形ABCD的邊長為4,對角線AC,BD相交于點。，點E,

F分別在BC,CD的延長線上，且CE=2,DF=1,G為EF的中點,

連接0E,交CD于點H,連接GH,則GH的長為.

15.如圖，已知O0的半徑為1,點P是。。外一點，且。P=2.若P7是

。。的切線，T為切點，連結(jié)。7,則PT=.

16.在矩形ABCD中，AB=2cm,將矩形ABCD沿某直線折疊，使點B與點。重

合，折痕與直線4D交于點E,且DE=3cm,則矩形4BCD的面積為cm2.

17.在邊長為4的正方形ABCD中，連接對角線AC,BD,點P是正方形邊上或

對角線上的一點，若PB=3PC,則PC=.

18.如圖，在^ABCD中，對角線AC,BD交于點。，AB1AC,AH1BD

于點H,若AB=2,BC=2g,則4"的長為.

19.如圖，正方形ABCD的邊長為8,點M在DC上且DM=2,N是AC上

的一動點，則DN+MN的最小值是

20.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,將此矩形折疊，使點C與點4重

合，點。落在點處，折痕為EF,則4。的長為—0。'的長為____.

D'

BEC

21.如圖，在。。中，4B是直徑，CD是弦，ABLCD,垂足為P,過點。的

O。的切線與AB延長線交于點E,連接CE.

(1)求證：CE為。。的切線；

(2)若O。半徑為3,CE=4,求sin/DEC.

22.如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫圓,交AC于點。，DF1AB

于點F,連接。尸，且4F=1.

(1)求證：DF是。。的切線；

(2)求線段0F的長度.

C4D.

23.如圖1,在AABC中，乙4cB=90。，AC=BC,點。是4B邊上一點(含

端點4、B),過點B作BE垂直于射線CD,垂足為E,點、F在射線

CD上，且EF=BE,連接AF>BF.

(1)求證：AABF-ACBE；

(2)如圖2,連接AE,點P、M、N分別為線段AC.AE.EF的

中點，連接PM、MN、PN.求4PMN的度數(shù)及翳的值；

(3)在(2)的條件下，若BC=夜，直接寫出APMN面積的最大值.

24.已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點。，4BOC=120。，

AB=2.

(1)求矩形對角線的長；

(2)過。作OEVAD于點E,連結(jié)BE.記^ABE=a,求tana的值.

25.在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：

已知線段BC=2,使用作圖工具作^BAC=30°,嘗試操作后思考：

(1)這樣的點4唯一嗎？

(2)點力的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點4的位置不唯一，它在

以BC為弦的圓弧上(點B、C除外)，.…小華同學(xué)畫出了符合要求的一

條圓弧(如圖1).

(1)小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長為一；

②4ABe面積的最大值為；

(2)經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在

如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為A',請你根據(jù)圖1證明484c>30。.

(3)請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2,已知矩形

ABCD的邊長AB=2,BC=3,點P在直線CD的左側(cè)，且tanzDPC=

①線段PB長的最小值為—；

②若S^jpCD=|S/JPAD,則線段PD長為.

26.如圖，圓。中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點E.

(1)M是CD的中點，OM=3,CD=12,求圓。的半徑長;

(2)點F在CD上，且CE=EF,求證：AF1BD.

27.在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

(1)如圖①，圓錐的母線長為12cm,B為母線OC的中點，點A在底

面圓周上，AC的長為47tcm.在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻

從點A爬行到點B的最短路徑，并標(biāo)出它的長(結(jié)果保留根號).

O

B

、B

JJC

4A

①②

（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.。是圓錐的頂點,

點A在圓柱的底面圓周上，設(shè)圓錐的母線長為I,圓柱的高為h.

①螞蟻從點A爬行到點。的最短路徑的長為_/+%_（用含1,八的

代數(shù)式表示）.

②設(shè)AD的長為a,點、B在母線0C上，OB=b.圓柱的側(cè)面展開圖如

圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫

出求最短路徑的長的思路.

28.研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相

交所成的角.

例如，正方體（圖1）,因為在平面AA'C'C中，CC//AA',

AA'與AB相交于點A，所以直線AB與AA1所成的MA'就是既不相交

也不平行的兩條直線AB與CC所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體ABCD-A'B'C'D',求既不相交也不平行的兩直線BA'與

AC所成角的大小.

(2)如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點；

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個

圖形是—;

②在所選正確展開圖中，若點M到AB,BC的距離分別是2和5,點N到

BD,BC的距離分別是4和3,P是4B上一動點，求PM+PN的最小

值.

29.如圖，在四邊形4BCD中，對角線AC與BD交于點。，已知OA=OC,OB=OD,

過點。作EF1BD,分別交4B、DC于點E,F,連接DE,BF.

(1)求證：四邊形DEBF是菱形：

(2)設(shè)AD〃EF,AD+AB=12,BD=4相,求4F的長.

30.如圖，在正方形ABCD中，E,F為邊AB上的兩個三等分點，點4關(guān)于DE

的對稱點為A',44'的延長線交BC于點G.

(1)求證：DE//A'F；

(2)求4GA8的大?。?/p>

(3)求證：A'C=2A'B.

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參考答案

1.B

[※解析※]

根據(jù)勾股定理先求出4B的長，由圖可知AC=AB-BC,然后代入數(shù)據(jù)計算

即可.

解：由圖可得，

AB=V62+42=>36+16=V52=2m，

4>/13

：.AC=AB-BC=2V13-等

3

2.A

[※解析※]

先根據(jù)已知條件推出OD”BC,。。是2MBe的中位線，0E是三角形4FC的

中位線，再根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，根據(jù)中位線定理即可求出FC的長.

解：由題知，AC為直徑，

/.ABC=90°,

vOE1AB9

???OD//BC,

???OA=OC,

???。。為三角形4BC的中位線，

???**X8=4，

又???OD=3,

???OA=y/AD2+OD2=V42+32=5,

???OE=OA=5,

?OE〃CF,點、。是4c中點，

???OE是三角形ACF的中位線，

???CF=2OE=2x5=10,

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3.A

[※解析※]

由尺規(guī)作圖痕跡可知，劭是N/8C的角平分線，過〃點作也48于〃點，設(shè)

DC=DH=x^\AD=AC-DC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,在RtZUZW中，由勾股定

理得到（8-為2=/+42,由此即可求出x的值.

解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，劭是N4a'的角平分線，

過D點、作加工AB于H點,

'：/C=NDHB5°,

：.DC=DH,

AC=7AB2-BC2=V102-62=8,

設(shè).DC=DH=x,則小心心8-x,BC=BH=6,AH=AB~BH=^,

在/△/口/中，由勾股定理：AD2=AH2+DH2,

代入數(shù)據(jù)：(8-x)2=x2+42,解得x=3,故CD=3,

4.D

[※解析※]

在Rt%CE中，根據(jù)勾股定理得到方程(8-x)2=x2+62,即可求解.

解：設(shè)CE=x,則AE=8-x=EB,

在Rt^BCE中，BE2=CE2+BC2,

即(8-x)2=X2+62,

解得“.

5.C

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[※解析※]

掌握幾種數(shù)學(xué)思想所包含的意義即可解決問題.

解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證

明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，

6.C

[※解析※]

根據(jù)勾股定理列出方程，再解方程即可求出水深.

解：設(shè)水深為h尺,則蘆葦長為（八+1）尺，

根據(jù)勾股定理，得（/l+l）2-/l2=（10+2）2,

解得h=12,

???水深為12尺，

7.D

[※解析※]

先根據(jù)直角三角形中的勾股定理求得4c=1,再把不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)

化為求規(guī)則圖形的面積：S陰影部分=SAABC一扇形EBF+S扇形DA）把已知條件

代入求解即可.

解：根據(jù)題意可知AC=NAB2—BC2=Jv52-22=1，則BE=BF=AD^AC=

1,

設(shè)Z.B=n°,Z-A=m°,

v乙ACB=90°,

???+匕4=90°,即九+771=90,

/717TX12+7n7TXl2\_

,1,S陰影部分=SAABC—3扇形EBF+S勵功4C)=9X2X11-

\360360)一

(,n+m)n.n

—---=1

36049

8.D

[※解析※]

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設(shè)CE=x，則BE=3-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=5,

求出4F=4,BF=AB-AF=1,在R^BEF中，BE2+BF2=EF2,即

(3-x)2+l2=x2,即可求解.

解：設(shè)CE=x,則BE=3-x.

由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=5.

在Rt^DAF中，4D=3,DF=5.

:.AF=4.

：.BF=AB-AF=1.

222

在RSBEF中，BE+BF=EF.

即(3-x)2+l2=x2.

解得%=|.

9.D

[※解析※]

先根據(jù)勾股定理求出再根據(jù)折疊性質(zhì)得出N的片/頌AD=DF,然后根

據(jù)角平分線的定義證得/⑸叨=/加比/如后，進(jìn)而證得N成心0°,證明

RtAABCsRSFBD,可求得的長.

【詳解】解：V乙4cB=90。,4c=4,BC=3,

：.AB=>JAC2+BC2=V42+32=5,

由折疊性質(zhì)得：NDAE=/DFE,AD=DF,則劭=5-/〃，

,/尸。平分乙EFB,

ZBFD=ZDFE=ZDAE,

?:/DAE+/S,

工NBDF+/S,即/劭佇90°,

:.RtAABCsRtAFBD,

?BD_8C日n5-4。_3

?*DF~~ACAD-4f

解得：梏弟

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10.A

[※解析※]

構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，過點。作DHLBC于，.想辦法求出C,。兩點坐標(biāo),

構(gòu)建一次函數(shù)，根據(jù)方程組確定交點坐標(biāo)即可.

解：如圖，構(gòu)建如圖平面直角坐標(biāo)系，過點。作DH1BC于H.

???OA=OB=4,

■■AD,BC,CD是。。的切線，

Z.DAB=Z.ABH=^DHB=90°,DA=DE,CE=CB,

???四邊形4BHD是矩形，

:?AD=BH,AB=DH=8,

???CH=>JCD2-DH2=4102-82=6,

設(shè)AD=DE==x,則EC=CB=x+6,

?,?%+x+6=10,

x-2,

???0(2,4),C(8,—4),8(0,-4),

??.直線OC的解析式為y=-1x,直線8。的解析式為y=4x-4,

由，=一六，解得

4f

ly=4%—4

9

.??嗚

???8?=]($2+(—[+4)2=噂,

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11.(1)4；(2)①③

[※解析※]

⑴將斯繞點[順時針旋轉(zhuǎn)90°,/點落在C點處，證明AEAF=AEAG(SAS),

AFADAGAB(SAS),進(jìn)而得到EF=DF+BE,即可求出ACEF的周長；

(2)對于①：將4"繞點1逆時針旋轉(zhuǎn)90°,材點落在〃點處，證明ABAM^

ADAH(SAS),AMAN三4H4N(S4S)即可判斷;對于②:設(shè)正方形邊長為2,BE=x,

則跖二戶1,g2-x,在Rt△儲Z?中使用勾股定理求出X,在利用N1爐/力座

即可求解；對于③：證明4KR。四點共圓，得到//用心/4!滬45°進(jìn)而

求解.

解：(1)將力產(chǎn)繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90°,6點落在G點處，如下圖所示：

?.*/.EAF=45°,且/.FAG=90"

/.EAG=45°,

AF=AG

在AE4F和4EAG中：\AEAF=^EAG=45°,

AE=AE-

二/EAFmdEAG(SAS),

二EF=GE,

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又Nl+N2=45。,Z3+Z2=45°,

AZ1=Z3,

⑦為正方形，

：.AD=AB,

(AD=AB

在4F/W和4G48中：Z1=Z3,

(AF=AG

：.AFAD^AGAB^SAS^

：.^ABG=4ADF=90。

/.△A8G+4ABE=90°+90°=180°,

???G、B、E三點共線，

EF=GE=GBBE=DF+BE,

：.CACEF=FF+FC+CF=(DF+BE)+EC+CF=(DF+CF)+(BE+EC)=CD+

BC=4,

故答案為：4；

(2)對于①：將//繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。，物點落在〃點處，如下圖所示：

VZ1+Z2=45°,N1+N4=N必止N口片45。,

AZ2=Z4,

BA=DA

在484M和/ZMH中：z2=z4,

.AM=AH

：.ABAM=ADAH(SAS)9

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/.Z.ADH=Z.ABM=45°,BM=DH,

：./.NDH=/.ADH+A.ADN=450+45°=90°,

.,.在RMHND中，由勾股定理得：NH2=DH2+DN2=BM2+DN2,

AN=AN

在AMANDA4/MN中：/MAN=4/MN=45。，

AM=AH

：.AMAN^AHAN(SAS),

：.MN=NH,

：.MN2=NH2=BM2+DN2,故①正確；

對于②：由(1)中可知：EF=BE+DF,設(shè)正方形邊長為2,當(dāng)尸為切中點時,

GB=DF=3CF=1,設(shè)BE=x,則牙。+1,C片2-x,

在Rt△必T中，由勾股定理：EF2=CF2+CE2,

：.(X+1)2=12+(27)2,解得x=|,即BE=l，

/.tan/AEF=tan^AEB=^=2x|=3,故②錯誤；

DC,N

對于③：如下圖所示：

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■:/EA百/BDO4B°,

；.A、M、F、〃四點共圓，

；.N川滬/加滬45°,

.?.△4監(jiān)'為等腰直角三角形，故③正確;

12.V3；2+V7

[※解析※]

根據(jù)點E是一邊BC上的中點及4E平分NBAC判定2MBC是等邊三角形，根

據(jù)菱形ABCD的面積求出菱形的邊長；求PE+PC的最小值，點E和點。是

定點，點P是線段BD上動點，由軸對稱最值問題，可求出最小值；求和的

最大值，觀察圖形可知，當(dāng)PE和PC的長度最大時，和最大，即點P和點D

重合時，PE+PC的值最大.

解：根據(jù)圖形可畫出圖形，如圖所示，

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過點B作BF“AC交AE的延長線于點F,

:.Z.F=乙CAE,Z-EBF=Z.ACE,

■:點E是BC的中點，

AACE=AFBE(AAS^,

.?.BF—AC,

???4E平分^BAC,

???Z-BAE=Z.CAE,

???Z.BAE=ZF,

???AB-BF-AC9

在菱形4BCD中，AB=BC,

.-.AB=BC=AC,即44BC是等邊三角形；

/.ABC=60°,

設(shè)AB=a,則BD=V3a,

二菱形ABC。的面積=^AC-BD=2V3,即|-a-V3a=2V3,

a=2,即AB=BC=CD=2；

?.?四邊形ABCD是菱形，

:?點4和點C關(guān)于對稱，

.-.PE+PC=AP+EP,

當(dāng)點4P,E三點共線時，4P+EP的和最小，此時AE=心

點P和點。重合時，PE+PC的值最大，此時PC=DC=2,

過點。作DG1BC交BC的延長線于點G,連接DE,

■：AB//CD,/.ABC=60°,

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???乙DCG=60°,

CG=1,DG=V3,

???EG=2,

DE=y/EG2+DG2=卜+(V3)2=V7>

此時PE+PC=2+V7;

即線段PE與PC的和的最小值為V3;最大值為2+4.

13.5

[※解析※]

先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理得出各線段之間的關(guān)系，再根據(jù)勾

股定理求解出半徑即可.

解：如圖，連接。4

是的中點，

二。是弦4B的中點，

???OC1AB,AD==BD==4,

vOA==OC,CD==2,

?,.OD==OC-CD==OA-CD,

在RtJOAD'l'"

OA2==AD2+OD2,EROA?==16+（。4-2）2,

解得。4—5,

14.叵

[※解析※]

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先作輔助線構(gòu)造直角三角形，求出陽和欣7的長，再求出物/的長，最后利用

勾股定理求解即可.

解:如圖，作OKLBC,垂足為點K,

???正方形邊長為4,

：.0H2,K(=2,

：.K(=CE,

...如是△碗的中位線

Z.CH=^OK=1,

作GI吐切，垂足為點M,

點為旗中點，

...GV是△“'的中位線，

GM=^CE=1,MC=|FC=i(CZ)+DF)=|x(4+1)=|,

...MH=MC-HC=--1=~,

在中，GH=y/MH2+MG2=J(|)2+l2=當(dāng)，

15.V3

[※解析※]

根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得出40P7為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得PT長度.

解：「PT是。。的切線，7為切點，

???0T1PT,

在Rt^OPT中，。7=1,0P=2,

：.PT=70P2—"2=V22-I2=V3,

16.(2遙+6)或(6-2V5)

[※解析※]

有題中條件可得：BE=DE,在直角2L4BE中，利用勾股定理求出AE,再根

據(jù)矩形的面積即可求得.

將此長方形折疊，使點B與點0重合，

參考答案由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后酌情使用

???BE=ED=3cm.

在Rt4ABE中，AB2+AE2=BE2.

22+AE2=32,

解得AE=y[5cm.

AD=AE+ED=(V5+3)cm或AD=ED—4E=(3—V5)czn

二矩形ABCD的面積為為4。.AB=(2V5+6)c為或(6-2V5)cm2.

17.1或魚或出身

4

[※解析※]

按。在正方形的邊上和對角線上分別畫出圖形，再逐個求解即可.

解：如圖1,???四邊形ABCD是正方形，28=4,

■.AC1BD,AC=BD,OB=OD,ABBC=AD=CD=4,乙ABC=LBCD90°,

在Rt4ABe中，由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V42+42=45/2,

???OB=2企，

vPB=3PC,

二設(shè)PC=x,則PB=3x,

有三種情況：

①點P在BC上時，如圖2,

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???PC=1；

在Rt^BPO中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2,

(3x)2=(2V2)2+(2V2-X)2,

解得：％=呷亙(負(fù)數(shù)舍去)，

4

即pC=

4

③點P在CD上時，如圖4,

在Rt^BPC中，由勾股定理得：BC2+PC2=BP2,

42+x2=(3x)2,

解得：y=&(負(fù)數(shù)舍去)，

即PC=V2;

綜上，PC的長是1或近或

4

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[※解析※]

根據(jù)勾股定理可求出我和0B的長，又可根據(jù)等面積法求出4H的

長.

解：如圖，

???ABAC,AB=2,BC=273,

AC=J(2V3)2-22=2>/2>

在固4BCD中，OA=OC,OB=OD,

OA=OC=V2,

在RMOAB中，

OB-J22+(V2)2-V6?

又AH1BD,

-AH=^OA-AB,即|xV6/lH=1x2xV2,

解得4H=竽.

19.10

[※解析※]

連接BM,用勾股定理求出BM的長，就是DN+MN的最小值.

解：連接BM交AC于點P,

點N為4C上的動點，

由三角形兩邊和大于第三邊，

知當(dāng)點N運動到點P時，

BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值為BM的長度，

?.?四邊形4BCD為正方形，

BC=CD=8,CM=8-2=6,BCM=90°,

???BM=V62+82=10,

DN+MN的最小值是10.

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20.6

[※解析※]

根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得AD'=CD=6；連接AC,根據(jù)勾股定理求得AC=

10,證得ABAE=△D'AF(AAS),D'F=BE,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段BE

的方程，解方程求得BE的長，即可求出箸，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

可求得DD'.

???四邊形ABCD是矩形，

■1?CD=AB=6,

???AD'=CD,

：.AD'=6；

連接AC,

-?AB=6,BC=AD=8,/.ABC=90°,

???AC=y/AB2+BC2=V62+82=10,

?-?LBAF=/.D'AE=90°,

???^LBAE=Z.D'AF,

在ABAE^/\D'AFdP

(/.BAE=^D'AF

ZB=4AD'F=90。，

(AB=AD'

???ABAE=△D'AF{AAS'),

：.D'F=BE,/.AEB=Z.AFD',

/.AEC=乙D'FD,

由題意知：AE=EC；

設(shè)BE=x,則AE=EC=8-x,

由勾股定理得：

(8-x)2=62+X2,

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解得：x=3

7725

BE=AE=8--=-,

444

BE7

???——=—,

AE25

D，F(xiàn)7

?,?——=一,

AE25

???=乙D'AF=90°,

r

???DF//AE9

???DF“EC,

21.(1)見解析；

74，

(2)sinzDEC=

[※解析※]

(1)連接OC,OD,由等腰三角形的性質(zhì)證得乙C0E=U0E,根據(jù)全等三

角形判定證得ACOE=ADOE,得到乙OCE=LODE,即可證得CE為。。的切

線；

(2)作D/FCE于F,根據(jù)勾股定理得到OE=N/OC2+CE2=V32+42=5,

根據(jù)三角形的面積公式求出CP和CD,用勾股定理求出PE,根據(jù)切線長定

理得到DE=CE,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

證明：(1)連接OC,0D,

?.?0C=00,AB1CD,

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???Z,COE=乙DOE,

在4C0E和dDOE中，

(OC=OD

\LCOE=乙DOE,

(OE=OE

???4C0EM4D0E(S4S),

???Z,OCE=乙ODE,

DE是。。的切線，

乙ODE=90°,

AOCE=90。，

???OD是。。的半徑，

???CE為。。的切線；

(2)解：過。作DF1CE于F,

由(1)知，/-OCE=90°,

在Rt^OCE中，丫CE=4,OC=3,

/.OE—y/OC2+CE2=V324-42=5,

???ABA.CD,

■■S6OCE=\OC-CE=\CPOE,

A3x4=5CP,

?,”=三12，

VOC=OD9ABLCD,

:.CP=DP,

：.CD=2CP=

在RMCPE中，PE=7CE2-CP2=J42_《)2=冷,

???CE,DE是。。的切線，

???DE=CE=4,

■■?SACDE=^CE-DF=^CD-PE,

“cl2416

???4DF=—X—,

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??.D“F=—96

25

96

在RSDEF中，Sin皿C=*乎/

22.(1)見解析；

(2)V7

[※解析※]

(1)連0D,根據(jù)等邊三角形及圓性質(zhì)求出0D〃4B,再由DF14B推出求

出尸，根據(jù)切線的判定推出即可；

(2)根據(jù)NA=60。，ODA.DF,4F=1求出AD,AF,力B的長度，再根

據(jù)中位線性質(zhì)求出。。的長度，根據(jù)勾股定理即可求得。產(chǎn)的長.

(1)證明：連接OD,

???ZL4BC是等邊三角形,

4c=N4=60°,

VOC=OD,

.."OCD是等邊三角形,

???Z.CDO=4=60°,

OD//AB,

vDF1AB,

???Z.FDO=Z.AFD=90°,

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???0D1DF,

???DF是。。的切線；

(2)解：???OD//AB,0C=0B,

是2MBe的中位線，

???Z.AFD=90°,44=60°,

/.ADF=30°,

vAF=1

：.CD=OD=AD=2AF=2,

由勾股定理得：DF*2=3,

在RpODF中，OF=7OD2+。尸2=g+3=夕,

二線段。產(chǎn)的長為V7.

23.(1)證明見解析；

(2)NPMN=135。；器=夜；

(3)；

4

[※解析※]

(1)根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可.

(2)如圖2中，延長PM交4F于T.證明四邊形MNFT是平行四邊形，推

出4rMN=乙4尸。=45。，推出APMN=135°,再證明AF=^2EC,根據(jù)三角

形的中位線定理可得結(jié)論.

(3)因為MN=&PM,^PMN=135°,PM=^EC,所以當(dāng)EC的值最大時，

PM的值最大，此時4PMN的面積最大，

(1)證明：如圖1中，

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圖1

VCA=CB,乙4cB=90。，EF=EB,乙BEF=9Q0,

：.^CBA=/.EBF=45°,AB=y/2BC,BF=yp2.BE,

...乙CBE=4ABF,—=—=V2,

DCDC

：.AABF-ACBE.

(2)解：如圖2中，延長PM交4F于T.

B

圖2

???BE1CF,

:.乙CEB=90°,

???

AFARi-

:.乙CEB=Z-AFB=90°,—=—=V2,

:.AF=y/lEC,

???(EFB=45°,

???Z.AFC=45°,

-AP=PC9AM=MEf

1

/.PT//CF,PM=；EC,

???AM=ME,EN=NF,

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MN//AF,MN=^AF,

???四邊形MNFT是平行四邊形，MN=&PM,

4TMN=乙4FC=45°,

???乙PMN=135°,

???絲=叵

PM

(3)解：MN=y[2PM,"MN=135。，PM=^EC,

當(dāng)EC的值最大時，PM的值最大，此時"MN的面積最大，

???當(dāng)點E與B重合時，EC的值最大，EC的最大值為V2,

此時PM=孝，MN=y/2PM=1,

???4PMN的面積的最大值為：x《xlx#=；.

2224

24.(1)4；

(2)tana=-

2

[※解析※]

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)求出4c=24。，根據(jù)等邊三角形的判定得出4A0B是

等邊三角形，求出AB=A0=2,求出BD；

(2)根據(jù)勾股定理求出AD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得AE,然后解

直角三角形求得tana的值.

解：(1)v^BOC=120°,

???/.AOB—60°,

???四邊形4BCD是矩形，

/.BAD=90°,AC=BD,AO=OC,BO=DO,

???AO—BO,

??"AOB是等邊三角形，

:.AB=AO=BO,

-AB=2,

：?80=2,

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???BD=280—4,

矩形對角線的長為4；

(2)由勾股定理得：AD=\lBD2-AB2=V42-22=2>/3,

v0A=OD,0E14D于點E,

AE=DE=^AD=V3,

25.⑴①2；②b+2；(2)見解析；⑶①鼻；②延

44

[※解析※]

(1)①設(shè)。為圓心，連接BO,CO,根據(jù)圓周角定理得到ZBOC=60°,證

明40BC是等邊三角形，可得半徑；

②過點。作BC的垂線，垂足為E,延長EO,交圓于D,以BC為底，則當(dāng)

A與。重合時，2L4BC的面積最大，求出OE,根據(jù)三角形面積公式計算即可；

(2)延長BA',交圓于點D,連接CD,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和圓周角定

理證明即可；

(3)①根據(jù)，連接PD,設(shè)點Q為PD中點，以點Q為圓心，PD為半徑畫

圓，可得點P在優(yōu)弧CPD上，連接BQ,與圓Q交于P',可得即為BP的

最小值，再計算出BQ和圓Q的半徑，相減即可得到BP'-

②根據(jù)AD,CD和推出點尸在"DC的平分線上，從而找到點尸的位置，

過點C作CFLPD,垂足為F,解直角三角形即可求出DP.

解：(1)①設(shè)。為圓心，連接BO,CO,

■■■ABCA=30°,

乙BOC=60°,又OB=OC,

.MOBC是等邊三角形，

：.0B=0C=BC=2,即半徑為2;

②??,ZL4BC以BC為底邊，BC=2,

二當(dāng)點4到BC的距離最大時，ZL4BC的面積最大，

如圖，過點。作BC的垂線，垂足為E,延長EO,交圓于D,

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?,.BE=CF=1,DO=BO=2,

OE=7B02-BE2=V3,

???DE=V3+2,

???2MBe的最大面積為|X2X(V3+2)=V3+2；

D

(2)如圖，延長BA',交圓于點D,連接CD,

???點D在圓上，

:.Z.BDC=Z.BAC,

???Z.BA'C=乙BDC+^LA'CD,

：.Z.BA'C>Z-BDC,

ABA'C>ABAC,艮fl^BA'C>30°；

B'、…-"c

(3)①如圖，當(dāng)點P在BC上，且PC=|時，

v/.PCD=90°,AB=CD=2,AD=BC=3,

tanzDPC=^=p為定值，

連接PD,設(shè)點Q為PD中點，以點Q為圓心，?。為半徑畫圓，

???當(dāng)點P在優(yōu)弧CP。上時，tanzDPC=連接BQ,與圓Q交于P',

此時BP，即為BP的最小值，過點Q作QEA.BE,垂足為E,

■:點Q是PD中點，

二點E為PC中點，即QE=[D=I,PE=CE="C=3，

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：?BE=BC-CE=3—々3=二9

44

BQ=yjBE2+QE2=邪

???PD=VCD2+PC2=|,

二圓Q的半徑為|x|=^,

BP'=BQ-P'Q=即BP的最小值為當(dāng)二;

@)AD—3,CD—2,SAPCD=^^APAD?

，、JAD3

.?"P4D中4D邊上的高=4PCD中CD邊上的高，

即點P至I」4。的距離和點P至U8的距離相等，

則點P至U和CD的距離相等，即點P在乙4DC的平分線上，如圖,

過點C作CF1PD,垂足為F,

???PD平分乙ADC,

^LADP=乙CDP=45°,

??"CDF為等腰直角三角形，又CD=2,

CF=DF=專=應(yīng)，

CF4

???tanzDPC=—=