最小二乘法擬合

—#—顯然：再求二階偏導(dǎo)數(shù)為：竺=2n；da2沁=2乙2db2ii=1=2n>0；顯然：再求二階偏導(dǎo)數(shù)為：竺=2n；da2沁=2乙2db2ii=1=2n>0；da2竺D=2》X2>0db2ii=1滿足最小值條件，令一階偏導(dǎo)數(shù)為零：yy-na-byX=0iii=1i=1(2-6-3)引入平均值：則：解得：yXy-ayX-byX2=0ii=1iii=1(2-6-4)i=11X=_乙X；

ni

i=1y=-工y；ni

i=1-iyX2=X2；ni

i=1Xy=丄工ni=1y-a-bx=0xyiixy-ax-bx2=02-6-5)a=y-bx2-6-6)2-6-7)將a、b值帶入線性方程y=a+bX，即得到回歸直線方程。y、a、b的標(biāo)準(zhǔn)差在最小二乘法中，假定自變量誤差可以忽略不計(jì)，是為了方便推導(dǎo)回歸方程。操作中函數(shù)的誤差大于自變量的誤差即可認(rèn)為滿足假定。實(shí)際上兩者均是變量，都有誤差，從而導(dǎo)致結(jié)果y、a、b的標(biāo)準(zhǔn)差(n±6)如下：o=

yo=

y(y-bx-a)2ii(2-6-8)（根式的分母為n-2,是因?yàn)橛袃蓚€(gè)變量）Xx2i-nXXx2i-nXx2-(工ii=1o、yx)2i(2-6-9)i=1n工x2-(工'i=1i=1o、yx)2i(2-6-10)（3）相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是衡量一組測量數(shù)據(jù)x（3）相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是衡量一組測量數(shù)據(jù)x、iy線性相關(guān)程度的參量，其定義為:1xy—xyr=\(x2-x2)(y2-y2)2-6-11)r值在0〈|r|W1中。|r|越接近于1,x、y之間線性好；r為正，直線斜率為正,稱為正相關(guān)；r為負(fù)，直線斜率為負(fù)，稱為負(fù)相關(guān)。|r|接近于0,則測量數(shù)據(jù)點(diǎn)分散或x、y之間為非線性。不論測量數(shù)據(jù)好壞都能求出a和b,所以我們必須有一種判斷測量ii數(shù)據(jù)好壞的方法，用來判斷什么樣的測量數(shù)據(jù)不宜擬合，判斷的方法是r|<r0時(shí)，測量數(shù)據(jù)是非線性的.r稱為相關(guān)系數(shù)的起碼值，與測量次數(shù)n有關(guān)，如下表2-6-20表2-6-2相關(guān)系數(shù)起碼值r0nronronro31.00090.798150.64140.990100.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在進(jìn)行一元線性回歸之前應(yīng)先求出（值，再與r0比較，若|r|>ro，則汀山具有線性關(guān)系，可求回歸直線；否則反之。例9：靈敏電流計(jì)的電流常數(shù)K和內(nèi)阻R的測量公式為R=—~^U-R測得的ig2KRdgi1數(shù)據(jù)同例7,其中間處理過程如下，試用最小二乘法求出K和R,并寫出回歸方程的表ig達(dá)式。解：測量公式與線性方程表達(dá)式y(tǒng)=a+bx比較：Ry=Rx=Ub=sa=—R2KRdgi1數(shù)據(jù)處理如表2-6-3：表2-6-3R=0.100QR=4350.0Qd=40.0mmI1^1I1IIIi1234115678平均值R(Q)400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.02U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125r22(104Q2)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2（V2）7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625RU(102QV)11.38.726.454.553.021.770.840.284.6156252中間過程可多取位：x=1.67125y=225.0x2=3.34625y2=6.375X104xy=461.5625相關(guān)系數(shù)r二汗—五二0.998\(x2—x2)(y2—y2)查表得知，當(dāng)n=8時(shí)，關(guān),可以求回歸直線。求回歸方程的系數(shù)r0=0.834,兩者比較r〉r0，說明x、y(即U、Rj之間線性相rxy—xyb二=154.61923042x2—x2a=y一bx=-33.4代換R二—a=33.4Qg

s—s—KRd二b=154.6192304iiRK=—=3.7170X10-9A/mmibRdi計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差為：b=2.64561902；y計(jì)算不確定度：AR=b=2Q；gab=2.300545589；計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差為：b=2.64561902；y計(jì)算不確定度：AR=b=2Q；gab=2.300545589；aAKi-b=—b=0.81%；bbb=1.257626418AK=0.03X10-9A/mm測量結(jié)果表達(dá)式電流計(jì)內(nèi)阻：電流常數(shù)：R=(33±2)QgAR#=6.1%RgK=(3.72±0.03)X10-9A/mmAK龍=°?81%回歸方程：R=155U-3325.計(jì)算器在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用在處理數(shù)據(jù)時(shí)，不同的計(jì)算器的編程方式各不相同，下面以震旦AURORASC180型計(jì)算器為例作以介紹。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差S①標(biāo)準(zhǔn)偏差S的計(jì)算器運(yùn)行公式:i=1Ei=1E2因?yàn)橐驗(yàn)椤?y-nx=乙xi=1ni=1所以（工X）2所以i—―i=1nn—1(只有為x(只有為x單變量)i按[MODE][O]鍵，計(jì)算器進(jìn)入單變量統(tǒng)計(jì)計(jì)算狀態(tài)。屏右上角顯示“STAT1”指示符。清除內(nèi)存數(shù)據(jù)：按[INV][ON/C.CE]鍵。數(shù)據(jù)輸入：依次先鍵入數(shù)值，然后按[DATA]鍵，每完成一次輸入的同時(shí)，屏幕均會(huì)顯示數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)n值。數(shù)據(jù)修正：按[DATA]鍵之前，要?jiǎng)h除錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，按[0N/C.CE]；按[DATA]鍵后要?jiǎng)h除錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，再次輸入該錯(cuò)誤值，然后按[INV][DEL]。取分析結(jié)果：[INV][x]：平均值[INV][工X]：數(shù)據(jù)和[INV][工X2]：數(shù)據(jù)平方和[INV][S]:測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差[INV][n]:數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)83.1、83.2,試求X、工X、工X2、S、n。例10：一組等精度測量值為：83.183.1、83.2,試求X、工X、工X2、S、n。解：按鍵顯示[MODE][0]ST10[INV][0N/C.CE]083.1[DATA]n183.3[DATA]n283.3[DATA]n383.7[DATA]n483.9[DATA]n583.6[DATA]n683.4[DATA]n7

83.4[DATA]n883.1[DATA]n983.2[DATA]n10[INV][x]83.4[INV][工x]834[INV][工x2]69556.22[INV][S]0.262466929[INV][n]10注：當(dāng)n26時(shí)，認(rèn)為b=S。最小二乘法求回歸直線①求回歸直線參量a、b、r的計(jì)算器運(yùn)行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含x、y兩個(gè)變量的公式:ii工y-b》xiiTOC\o"1-5"\h\za=-ww——n》x》y-n》xyiiiib=41IT（》x）2-n》x2iii=1i=1n》xy-》x》yr=，[r=，[n》x2-（工x）2][nXy2-（工iiiLi=li=1i=l<y）2]

ii=1i=1i=1i=1②操作步驟和方法：按[MODE][.],計(jì)算器進(jìn)入雙變量統(tǒng)計(jì)計(jì)算狀態(tài)。屏幕右上角顯示“STAT2”指示符。清除內(nèi)存數(shù)據(jù)：按[INV][ON/C.CE]鍵雙變量數(shù)據(jù)輸入：先鍵入x的值、按[a]鍵，然后鍵入y的值、按[b]鍵,再按[DATA]鍵，完成輸入。屏幕會(huì)同時(shí)顯示數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，即n值。數(shù)據(jù)修正：同單變量數(shù)據(jù)輸入。取分析結(jié)果[INV][a]:回歸直線的截距[INV][b]:回歸直線的斜率

[INV][r]:相關(guān)系數(shù)還可以取以下值：_[INV][x]、[INV][y]、[INV][工x]、[INV][工X2]、[INV][工y]、[INV][工y：]、[INV][工xy],以便計(jì)算b、Q、C（計(jì)算器沒有該三項(xiàng)的計(jì)算程序）。yab例11：靈敏電流計(jì)實(shí)驗(yàn)所測數(shù)據(jù)如下：R=0.100QR=4350.0Qd=40.0mmR(Q)2400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.56要求所使用計(jì)算器具有計(jì)算最小二乘法的功能,求回歸直線以及電流計(jì)的電流常數(shù)K和內(nèi)阻R。igR解：測量公式R二r~U-R與線性方程表達(dá)式y(tǒng)=a+bx比較y=Rx=U,2KRdg2i1貝y：按鍵顯示[M0DE][.]ST20[INV][0N/C.CE]02.82{a}400.0[b][DATA]n12.49[a]350.0[b][DATA]n22.15[a]300.0[b][DATA]n31.82[a]250.0[b][DATA]n41.51[a]200.0[b][DATA]n51.18[a]150.0[b][DATA]n60.84[a]100.0[b][DATA]n70.56[a]50.0[b][DATA]n8[INV][a]a-32.12335698[INV][b]b153.8509241[INV][r]r0.9998323336查表知道，當(dāng)n=8時(shí)，r=0.834,r>r，說明U、R之間線性相關(guān)。得到:002回歸方程R=154U－322電流計(jì)內(nèi)阻R=32。g電流常數(shù)K=3.74X10-9A/mm習(xí)題1．指出下列測量結(jié)果的有效數(shù)字：I=5010mAC=2.99792458X108m/s2．按“四舍五入”修約法，將下列數(shù)據(jù)只保留3位有效數(shù)字(1)1.005(2)979.499(3)980.501(4)6.275(5)3.134單位變換：(1)m=3.162±0.002kg=g=mg=T(2)e=(59.8±0.1)o=()(3)L=98.96±0.04cm=m=mm=Am4．改錯(cuò)并且將一般表達(dá)式改寫成科學(xué)表達(dá)式：Y=(1.96X10ii±5.78X109)N/m2L=(160000±100)m5．按有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則計(jì)算下列各式：1000-5=3.2X103+3.2=tg3005"=100.325+100.125TOC\o"1-5"\h\z=100.325100.125R=5.10kQ,R=5.10X1020,R=51Q。求:123R=R+R+R=123L=1.674m-8.00cm=6．求下列公式的不確定度：(1)4(1)4m兀d2h(2)⑶L=h+1(4)用分度值為1mm的米尺測量一物體長度L,測得數(shù)據(jù)為：98.98cm、98.96cm、98.97cm、

98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm,試求L、AL,并寫出測量結(jié)果表達(dá)式L土AL。測量出一個(gè)鉛圓柱體的直徑為d=(2.040±0.001)cm,高度為h=(4.120±0.001)cm,質(zhì)量為m=(149.10±0.05)g,試計(jì)算孑、Ap，并表示測量結(jié)果。某同學(xué)測量彈簧倔強(qiáng)系數(shù)的數(shù)據(jù)如下：F(g)2.004.006.008.0010.0012.0014.00y(cm)6.9010.0013.0515.9519.0022.0525.10其中F為彈簧所受的作用力，y為彈簧的長度，已知y-y=(])F，試用作圖法求彈0k簧的倔強(qiáng)系數(shù)k及彈簧的原來長度y0。10.用伏安法測電阻時(shí)，測出的數(shù)據(jù)如下，試求回歸直線，并求出測量結(jié)果R值。I(mA)2