最優(yōu)控制畢業(yè)設(shè)計草創(chuàng)

#對于線性定常連續(xù)被控系統(tǒng)Z(A,B,C),若取其狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋律，則能得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)被稱為狀態(tài)反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和狀態(tài)反饋律可分別記為(3.1)IX二Ax+Bu[y二Cxu二一Kx+v(3.1)式中，K為rxn維的實矩陣，稱為狀態(tài)反饋矩陣；v為與開環(huán)被控系統(tǒng)工(A,B,C)輸入u同維的r維伺服輸入向量。將狀態(tài)反饋律帶入開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，可得到描述狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為(3.2)X=(A-BK)x+Bvy=(3.2)因此，可求得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為G(s)=C(sI-A+BK)-iB(3.3)k狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為紜(A-BK,B,C)。3.2狀態(tài)反饋與極點配置對線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo)，在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點位置決定的。因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計時，設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于期望極點上，可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)。這種控制系統(tǒng)設(shè)計方法稱為極點配置。在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，無論采用頻率法還是根軌跡法，都是想通過改變系統(tǒng)極點的位置改善性能品質(zhì)指標(biāo)，本質(zhì)上屬于極點配置。極點配置的問題則是討論如何狀態(tài)反饋陣K的選擇，使的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點上。對于n階線性定常系統(tǒng)進(jìn)行全極點配置時必有：1)可以而且必須給出n個期望極點s*(i=1,2,…,n)；2）期望極點必須是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)；3）期望極點必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)等的要求?；谥付ǖ钠谕麡O點，線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點配置問題可描述為：給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)TOC\o"1-5"\h\zx=Ax+Bu（3.4）確定反饋控制律u=一Kx+v（3.5）使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點s*（i=1,2,…,n）i上，即九（A-BK）=s*（i=1,2,…,n）（3.6）ii對線性定常系統(tǒng)進(jìn)行部分或全狀態(tài)反饋極點配置時有如下規(guī)律：1）對線性定常系統(tǒng)工（A,B）利用線性狀態(tài)反饋陣K,能使?fàn)顟B(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)工（A-BK,B）的極點任意配置的充分必要條件為被控系統(tǒng)工（A,B）狀態(tài)完k全能控。2）狀態(tài)反饋雖然可以改變系統(tǒng)的極點，但不能改變系統(tǒng)的零點。當(dāng)被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控時，其極點可以進(jìn)行任意配置?！?加權(quán)矩陣對系統(tǒng)特征值影響分析4.1李雅譜諾夫穩(wěn)定判據(jù)從經(jīng)典控制理論可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)而與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動的大小無關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性則還與初始條件及外界擾動的大小有關(guān)。因此在經(jīng)典控制理論中沒有給出穩(wěn)定性的一般定義。李雅普諾夫第二法是一種普遍適用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)及時變系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的方法。李雅普諾夫給出了對任何系統(tǒng)都普遍適用的穩(wěn)定性的一般定義。李雅普諾夫第二方法可用于任意階的系統(tǒng)，運用這一方法可以不必求解系統(tǒng)狀態(tài)方程而直接判定穩(wěn)定性。對非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的求解常常是很困難的，因此李雅普諾夫第二方法就顯示出很大的優(yōu)越性。它的基本思路不是通過求解系統(tǒng)的運動方程，而是通過借助與一個李雅普諾夫函數(shù)來直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷。它是從能量觀點進(jìn)行穩(wěn)定性分析的。如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨著時間的推移逐漸衰落，到達(dá)平衡狀態(tài)時，能量將達(dá)最小值，那么，這個平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。但是，由于系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性，往往不能直觀地找到一個能量函數(shù)來描述系統(tǒng)的能量關(guān)系，于是李雅普諾夫定義一個正定的標(biāo)量函數(shù)V(x)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，然后，根據(jù)V(x)二d(x)/dt的符號特征來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于一個給定系統(tǒng)，如果能找到一個正定的標(biāo)量函數(shù)V(x)，而V(x)是負(fù)定的，則這個系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。這個V(x)叫做李雅普諾夫函數(shù)。設(shè)V(x)為由n維矢量x所定義的標(biāo)量函數(shù)，，且在xeQ處，恒有V(x)二0。所有在域Q中的任何矢量x，如果：V(X)>0，則稱V(x)為正定的。V(X)>0，則稱V(x)為半正定。V(X)<0，則稱V(x)為負(fù)定的。V(X)<0，則稱V(x)為半負(fù)定的。V(X)>0或V(X)<0，則稱V(x)為不定的。4.2李雅譜諾夫穩(wěn)定判據(jù)在最優(yōu)控制中運用由上節(jié)可知，李雅譜諾夫第二法是分析動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法。但具體運用是將涉及如何選取適宜的李雅譜諾夫函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于各種系統(tǒng)的復(fù)雜性，在運用李雅譜諾夫第二法時，難以建立統(tǒng)一的定義李雅譜諾夫函數(shù)的方法。目前的處理方法是，根據(jù)各種系統(tǒng)的分類與特性分別尋找建立李雅譜諾夫函數(shù)的方法。本節(jié)主要討論對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)如何利用李雅譜諾夫函數(shù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性以及李雅譜諾夫穩(wěn)定判據(jù)在最優(yōu)控制中的運用。設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=Ax這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點。1）當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為非奇異時，系統(tǒng)有且僅有一個平衡態(tài)x二0，即為e狀態(tài)空間原點。2）對于該該線性系統(tǒng)，其李雅譜諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)形式。對于任意給定的一個正定矩陣Q,都存在一個正定矩陣P為矩陣方程PA+AtP=-Q（4.1）的解，并且正定函數(shù)Vx）=XTPx即為系統(tǒng)的一個李雅譜諾夫函數(shù)。3）若該系統(tǒng)在平衡態(tài)x二0的某個領(lǐng)域上是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則一定是大范e圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。并且此時P為（4.1）所示方程唯一正定解。綜上所述，如果對于某個非負(fù)定矩陣Q，卩（x）二-xtQx沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零，那么，系統(tǒng)在原點漸進(jìn)穩(wěn)定的條件為：存在正定矩陣P滿足李雅譜諾夫代數(shù)方程（4.1）。而且只要Q矩陣選成正定或根據(jù)上述情況選為非負(fù)定的，那么最終的判定結(jié)果與Q的選取無關(guān)。因此，運用此方法判定系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性時，最方便是選Q為單位矩陣，即Q=I。相應(yīng)的上述李雅譜諾夫代數(shù)方程（4.1）可改為PA+ATP二—I這就為利用李雅譜諾第二法判斷線性定常連續(xù)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性提供了極大方便。在線性二次型最優(yōu)控制中黎卡提代數(shù)方程AtP+PA—PBR-1BtP+Q二0可變換為(A—BR-1BtP)tP+P(A—BR-iBtP)+Q+PBR-1BtP=0可簡化為AtP+PA+Q二0，其中Q為非負(fù)定。那么根據(jù)本節(jié)中介紹的李雅譜諾夫第二法可知線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。4.3加權(quán)矩陣變化對閉環(huán)特征值的影響前面已經(jīng)提到關(guān)于線性二次型問題描述為：對于線性定常系統(tǒng)x(t)=A(t)+Bu(t),x(t)=x，要求找到最優(yōu)反饋控制解K,使得下列二次型00性能指標(biāo)泛函為最小。Jtu(?)]=■!■?([Xt(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dt(42)20由無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理知道最優(yōu)解u*(t)=-R-iBTPx*(t),其中P為正定常數(shù)矩陣，滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：AtP+PA-PBR-1BtP+Q=0當(dāng)P、R為對稱陣有TOC\o"1-5"\h\z(A—BR-iBtP)tP+P(A—BR-iBtP)+Q+PBRBtP=0(4.3)由于最優(yōu)控制閉環(huán)系統(tǒng)特征值只與(A—BR-iBtP)有關(guān)，公式(4.3)記為AtP+PA+Q=0(4.4)設(shè)變化后的加權(quán)矩陣Q為Q=Q+2P，即有Q=Q―2cP帶入公式(4.4)得AtP+PA+Q-2bP=0為(A-bI)tP+P(A—b/)+Q=0(4.5)設(shè)(a-bi)=a，公式(4.5)變換為ATP+PA+Q=0(4.6)對于公式(4.4)而言求系統(tǒng)特征值有(九I-A)x=0對于公式（4.5）而言求系統(tǒng)特征值有TOC\o"1-5"\h\zG~I—A）x二0（4.7）（兀I-A）x=0n仏I-A+d）x=0n［仏+c）I-A］x=0（4?8）而公式（4.8）中的（兀+c）為九，即加權(quán)矩陣變化之前系統(tǒng)特征值。于是就有了兀=X—o（4.9）則當(dāng)加權(quán)矩陣Q增加2oP時閉環(huán)系統(tǒng)特征值的實部增加量為（-廠,即當(dāng)加權(quán)矩陣Q增加是閉環(huán)特征值在S平面左移。已知最優(yōu)控制閉環(huán)系統(tǒng)特征值只與（A-BR-iBtP）有關(guān)。求加權(quán)矩陣R變化之前特征值有公式（九I-A+BR-iBtP）x二0h設(shè)變化后加權(quán)矩陣R為_-R（h〉1，h為常數(shù)），即當(dāng)R減小時求R減小之后h+1的閉環(huán)系統(tǒng)特征值：（兀I-A+B-i-R-iBtP）x二0n（兀I-A+BR-1BtP+1BR-1BtP）x二0（4.10）hh有1［（X+BR-1BtP）I-（A-BR-1BtP）］x二0（4.