(完整版)圓錐曲線解題技巧和方法綜合(經(jīng)典)

圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1.直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容①傾斜角與斜率ktan,[0,)②點(diǎn)到直線的距離dAxByC③夾角公式：00A2B2kktan211kk21（3）弦長(zhǎng)公式直線ykxb上兩點(diǎn)A(x,y),B(x,y)間的距離：AB1k2xx112212AB11yy或(1k2)[(xx)24xx]k2121212（4）兩條直線的位置關(guān)系①llkk=-1②l//lkk且bb21212121212、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）標(biāo)準(zhǔn)方程：xy221(m0,n0且mn)mn距離式方程：(xc)2y2(xc)2y22a參數(shù)方程：xacos,ybsin(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：xy221(mn0)mn距離式方程：|(xc)2y2(xc)2y2|2a(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？2b2b2；拋物線：2p2橢圓：a；雙曲線：a(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知F、F是橢圓xy的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿3221412足MFMF2則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）12A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：P在橢圓上時(shí)，Sb2tanFPF122P在雙曲線上時(shí)，Sb2cotFPF122|PF||PF|4c2,PF?PF|PF||PF|cos）2212|PF||PF|（其中FPF,cos12121212(6)、記住焦半徑公式：（1）橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為aex;焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為aey00，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”。（2）雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e|x|a0（3）拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為|x|p,焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為|y|p2211(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問(wèn)題）xy的弦AB中點(diǎn)則有為橢圓22Ma,b143設(shè)Ax,y1、，Bx,y212x2y21，x2y21；兩式相減得xxyy2212220141324231243xxxxyyyy3a4b=kAB12121212432、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類(lèi)的問(wèn)題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(x,y),B(x,y)，將這兩點(diǎn)代入曲線方1122程得到○○12兩個(gè)式子，然后○1-○2，整體消元······，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過(guò)焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為ykxb，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓480上，且點(diǎn)Ax25y2是橢圓短軸的一個(gè)點(diǎn)端（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;（2）若角A為900，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問(wèn)抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫(xiě)出直線BC的方程。第二問(wèn)抓住角A為900可得出AB⊥AC，從而得，然后利用聯(lián)立消元xxyy14(yy)160121212法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；解：（1）設(shè)B（xy,）,C(x,y),BC中點(diǎn)為(x,y),F(2,0)則有112200x2yxy2221,1120161220162兩式作差有(1)(xxxx)(yyyy)(2)0xyk0(1)21212105042016xx，得3yy40得123F(2,0)為三角形重心，所以由，由x302126y2，代入（1）得k50直線BC的方程為6x5y2802)由AB⊥AC得xxyy14(yy)160（2）121212設(shè)直線BC方程為，得ykxb,代入4x25y280(45k2)x210bkx5b2800xx10kb45k25b28045k2，xx12128k24b80k2代入（2）式得yy45k2,yy45k212129b232b160，解得b4(舍)或b445k92y4直線過(guò)定點(diǎn)（0，49y41，即)，設(shè)D（x,y），則9xx9y29x232y160所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是x2(y16)2(20)2(9。y4)94、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中AB2CD，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)2334時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè)Cc，代入x221，求得hyb2，,h2a2進(jìn)而求得x21，建立目標(biāo)函數(shù),y,再代入xy2ab22EEf(a,b,c,)0，整理f(e,)0，此運(yùn)算量可見(jiàn)是難上加難.我們對(duì)h可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c,)0，整理f(e,)0,化繁為簡(jiǎn).解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)依題意，記Ac,0，C，E，其中c1為雙||ABc,hxy,2200曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得cch12c2，xy21100設(shè)雙曲線的方程為x221，則離心率ecaya2b2由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e程得c代入雙曲線方a，①e2h124b2②e22h221411b由①式得，③hb22e124將③式代入②式，整理得e24，4412故31e21由題設(shè)233得，243331e224解得7e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,10分析：考慮AE,AC為焦半徑,可用焦半徑公式,AE,AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算,達(dá)到設(shè)而不求的解題策略．解法二：建系同解法一，AE，aex,ACaexECcc12c，又AEAC，代入整理23，由題xE1121e21設(shè)233得，23331e2244解得7e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,105、判別式法，直線過(guò)點(diǎn)例3已知雙曲線，斜率為k，當(dāng)0k1A2,0lC:yx12222時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為2，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段.從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與l平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：l:yk(x2)0k12直線l’在l的上方且到直線l的距離為l':ykx2k222k0把直線l’的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式解得k的值解題過(guò)程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為2”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：?jiǎn)栴}kx2x22k20k1有唯一解關(guān)于x的方程k21轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題求解簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)Mx(,2)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直x2線l的距離為：0k1kx2x22kk212于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于0k1，所以2，從而有xxkx2kx2x22kkx2x22k.于是關(guān)于的方程xkxx22k2(k21)22x(2(k21)2kkx)2,22k1x22k2(k21)2kx2(k21)2k220,22(k21)2kkx0.由0k1可知：方程的二根同kx2k2(k22kx2(k22k22011)1)22正，故2(k21)2kkx0恒成立，于是等價(jià)于.1)2kk2022122(kxkkkx1)22(222由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得k25.5點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:x22y28和點(diǎn)P（4，1），過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使APPBAQ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所QB在曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表，達(dá)最后通過(guò)消參可到達(dá)解題的目的.由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：APPBAQ來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、QBP、Q四點(diǎn)共線，不難得到4(xx)2xx，要建立x與k的關(guān)系，只需xABAB8(xx)AB將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).APPBAQQBx4(xx)2xxAB8(xx)ABAB將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理xfk利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y=k(x—4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，xfkk目的不過(guò)是得到關(guān)于x,y的方程（不含），則可由yk(x4)1解得y1，直接代入xfk即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)kx4程。簡(jiǎn)解：設(shè)AQ可得：4xxx，，則由APPB,,(，),(,)AxyBxyQxy11xxQBx41122224(xx)2xx解之得：x（1）12128(xx)12設(shè)直線AB的方程為：yk(x4)1，代入橢圓C的方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程：（2）2k1x24k(14k)x2(14k)2802xx4k(4k1)2k1∴,122xx2(14k)28.2k2112代入（1），化簡(jiǎn)得：x4k3k2.(3)與yk(x4)1聯(lián)立，消去k得：2xy4(x4)0.在（2）中，由，結(jié)合（3）10，解得64k264k240210k244可求得16210x16210.99故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：2xy40（）.16210x1621099點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓x29y2順次交于A、B兩點(diǎn)，14試求AP的取值范圍.PB分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：AP=x，但從此后卻一APBxB籌莫展,問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，AP=xA已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于PBxB有兩個(gè)變量x,x，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利ABABk用第3個(gè)變量——直線的斜率.問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將x,x轉(zhuǎn)化ABk為關(guān)于的表達(dá)式，到此為，止將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直線l的方程y=kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程求根公式xA=f（k），x=g（k）BAP/PB=—（x/x）AB得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式由判別式得出k的取值范圍所求量的取值范圍簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，可求得AP1;PB5當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線l的方程為：2,,(，)AxyBxy112ykx3，代入橢圓方程，消去得y9k4x254kx4502解之得x27k69k29k45.1,22因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮k0的情形.當(dāng)k0時(shí)，x27k69k259k245，=，x27k69k29k4122k所以APPBx1=9k295=118k.21819k29k5x9k29k25292952k2由5，9,解得k2kk(54)18094022所以1，518119295k2綜上1.51APPB分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來(lái).一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于APPBx1不是關(guān)于x,x的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.原因找到后，解決問(wèn)題的x122方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x,x的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.12把直線l的方程y=kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程韋達(dá)定理xA+xB=f（k），xx=g（k）ABAP/PB=—（x/x）AB構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式由判別式得出k的取值范圍關(guān)于所求量的不等式簡(jiǎn)解2：設(shè)直線l的方程為：ykx3，代入橢圓方程，消去y得（*）9k4x254kx45029k24xx54k,則12459k24xx.12令x，則，1245k220324k21.x2在（*）中，由判別式0,可得5，k29從而有36，所以136，解得324k22445k220455155.結(jié)合01得15.1綜上，1AP1.PB5點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。已以知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過(guò)編寫(xiě)思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AFFB1，OF1．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程：（Ⅰ）由AF?FB1，OF1(ac)(ac)1c1，寫(xiě)出橢圓方程a2,b1k1PQ由F為PQM的重心PQMF,MPFQ（Ⅱ）yxm3x4mx2m2202消元x22y22兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出mMP?FQ0解題過(guò)程：xy2（Ⅰ）如圖建系，設(shè)橢圓方程為21(ab0),則c1a2b2又∵AFFB1即∴(ac)(ac)1ac2，a222故橢圓方程為x22y21（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心，則設(shè)P(x,y),Q(x,y)，∵M(jìn)(0,1),F(1,0)，故k1，1122PQyxm于是設(shè)直線為l，由yxm得，x22y223x24mx2m220∵M(jìn)PFQ0x(x1)y(y1)又yxm(i1,2)1221ii得x(x1)(xm)(xm1)0即12212xx(xx)(m1)m2m0由韋達(dá)定理得121222m224m(m1)m2m033解得m43或m1（舍）經(jīng)檢驗(yàn)m4符合條件．3點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零．例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)3三點(diǎn)．2、、A(2,0)B(2,0)C1,（Ⅰ）求橢圓E的方程：D（Ⅱ）若點(diǎn)為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)(1,0),H(1,0)，當(dāng)ΔDFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求ΔDFH內(nèi)心的坐標(biāo)；思維流程：mxny21由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為2（Ⅰ）得到m,n的方程解出m,n（Ⅱ）由DFH內(nèi)切圓面積最大DFH轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D為橢圓短軸端點(diǎn)331周長(zhǎng)r內(nèi)切圓rDFH面積最大值為3S內(nèi)切圓DFH233得出D點(diǎn)坐標(biāo)為0,mx2ny21m0,n0，將解題過(guò)程：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為3E代入橢圓的方程，得A(2,0)B(2,0)C(1,)2、、4m1,解得m141.∴橢圓E的方程3xy221．,nm9n143412hh（Ⅱ）|FH|2，設(shè)ΔDFH邊上的高為S2DFH當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為3，所以S的最大值為3．DFH設(shè)ΔDFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)棣FH的周長(zhǎng)為定值6．所以，S12R6DFH所以R的最大值為3．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為3(0,33).點(diǎn)石成金：S1的周長(zhǎng)r2的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓例8、已知定點(diǎn)C(1，0)及橢圓x23y25，過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).（Ⅰ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，求直線AB的方程；2（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MAMB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.思維流程：（Ⅰ）解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，ykx(1)將yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)6kx3k250.x22設(shè)A(x，y)，B(x，y)，112236k44(3k21)(3k25)0，(1)6k2則xx(2)3k21.12xx12由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是13k2，解得，得23k21122k33，符合題意。所以直線AB的方程為x3y10，或x3y10.（Ⅱ）解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使MAMB為常數(shù).①當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，由（Ⅰ）知AB6k2，xx3k25.(3)xx3k213k112122所以MAMB(xm)(xm)yy(xm)(xm)k2(x1)(x1)12121212將代入，整理得(k21)xx(k2m)(xx)k2m2.(3)1212MAMB(6m1)k25m2(2m1)(3k21)2m1433m23k13k212m22m16m1433(3k21).7注意到MAMB是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有，此時(shí)m，6140m34MAMB.9②當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為2，當(dāng)2734時(shí)，亦有MAMB.91，、1，m337綜上，在x軸上存在定點(diǎn)，使MAMB為常數(shù).M，03(6m1)k25m2(2m1)(3k21)2m143m2點(diǎn)石成金：MAMB33k213k21m22m16m1433(3k21).例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.思維流程：解：（1）設(shè)橢圓方程為x2y21(ab0)2a2ba2ba8則x2y212∴橢圓方程為8解得411a2b22b22l（Ⅱ）∵直線平行于OM，且在y軸上的截距為m又K=121yxm2l的方程為：OMy1xm由2x22mx2m240xy22128∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，(2m)24(2m24)0,解得2m2,且m0（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k，k，只需證明k+k=01212即可設(shè)A(x,y),B(x,y),且xx2m,xx2m2411221212則ky1,ky112x2x21212由x2mx2m240可得2xx2m,xx2m241212而kky1y1(y1)(x2)(y1)(x2)12122(x2)(x2)121x2x21212(xm1)(x2)(1xm1)(x2)1221221(x2)(x2)12xx(m2)(xx)4(m1)1212(x2)(x2)122m24(m2)(2m)4(m1)(x2)(x2)122m242m24m4m40(x2)(x2)12kk012故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形kk012例10、已知雙曲線x2y21的離心率e23，過(guò)A(a,0),B(0,b)3的直ab22線到原點(diǎn)的距離是3.2（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線ykx5(k0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都Bk在以為圓心的圓上，求的值.思維流程：AB解：∵（1）原點(diǎn)到直線：xy1的距離c23,a3abababc3..2da2b2b1,a3.故所求雙曲線方程為x2y1.23（2）把y，整理得中消去ykx5代入x23y23.(13k2)x230kx780設(shè)C(x,y),D(x,y),CD的中點(diǎn)是E(x,y)，則112200xx1215k13k25x02ykx5,13k200y11k.0xkBE0xkyk0,0015k13k25kk0,又k0,k7213k2即k=故所求±7.點(diǎn)石成金:C，D都在以為圓心的圓上BC=BDBE⊥CD;BCxC例11、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．C（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；yxmCABAB（II）若直線l:=k+與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是ABC左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．思維流程：解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為xy22，1(ab0)a2b2由已知得：ac3，ac1，a2，c1，2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為xy2．143b2a2c23（II）設(shè)A(x，y)，B(x，y)．1122ykxm，聯(lián)立xy221.43得，則(34k2)x28mkx4(m23)064m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20，8mkxx34k2，124(m23)xx.1234k2yy(kxm)(