2022-2023學(xué)年湖北省襄陽市高二年級下冊學(xué)期五月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

高二下學(xué)期五月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某次數(shù)學(xué)競賽獲獎的6名同學(xué)上臺領(lǐng)獎，若甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，則不同的上臺順序種數(shù)為（

）．A．20 B．120 C．360 D．720【答案】B【分析】甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，利用倍縮法求解即可.【詳解】因?yàn)榧?、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，所以不同的上臺順序種數(shù)為.故選：B.2．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最大值為8．故選：B．3．近期襄陽三中在舉行新團(tuán)員競選活動，已知襄陽三中優(yōu)秀學(xué)生的概率約為10%，在全體學(xué)生中有20%是團(tuán)員，團(tuán)員中優(yōu)秀學(xué)生概率約為40%，則非團(tuán)員中優(yōu)秀學(xué)生的概率約為（

）A．2.5% B．3.2% C．4.8% D．2%【答案】A【分析】依題意可根據(jù)全概率公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)事件“某學(xué)生是團(tuán)員”，“某學(xué)生非團(tuán)員”，“某學(xué)生是優(yōu)秀學(xué)生”，且互為對立事件；根據(jù)題意可得，且由全概率公式可得，即解得，即非團(tuán)員中優(yōu)秀學(xué)生的概率約為故選：A4．襄陽一橋全稱“襄陽江漢大橋”，于1970年正式通車，在和襄陽城長達(dá)53年的相處里，于襄陽人來說一橋早已無可替代.江漢大橋由主橋架?上下水平縱向聯(lián)結(jié)系?橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成，下面是一橋模型的一段，它是由一個(gè)正方體和一個(gè)直三棱柱構(gòu)成.其中AB=BH，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【詳解】以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，ED，EI所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)直線AH與直線IG所成角為，則，故直線AH與直線IG所成角的余弦值為.

故選：D.5．衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，求出，，根據(jù)條件概率公式求解即可．【詳解】從四雙不同顏色的襪子中隨機(jī)選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則，又，則，即隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為．故選：D．6．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得是函數(shù)的極大值點(diǎn)，再利用題意列出不等式組即解.【詳解】由得，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，令，即，∴，或，又函數(shù)在區(qū)間上有最大值，∴，解得.故選：A.7．已知為橢圓上任一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（

）A．0 B．C． D．【答案】D【分析】依題意不妨設(shè)，則，則根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義得到，再設(shè)，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系上任意兩點(diǎn)的距離公式得到，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：不妨設(shè)，則，所以，設(shè)，則，可得，點(diǎn)，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最小值為；故選：D8．已知函數(shù)，若存在兩條不同的直線與函數(shù)和圖像均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】相同切線的位置上，設(shè)的切點(diǎn)坐標(biāo)為，的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)處切線的斜率，有，由切點(diǎn)求出切線方程，代入切點(diǎn)坐標(biāo)，得，方程要有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，找最值，可得的取值范圍，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】時(shí)，，，不合題意，故，，函數(shù)定義域?yàn)椋?，，，相同切線的位置上，設(shè)的切點(diǎn)坐標(biāo)為，的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，即，公切線方程為代入，得，即，整理得，若存在兩條不同的直線與函數(shù)和圖像均相切，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則，，解得；，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，所以，當(dāng)時(shí)，符合條件；當(dāng)時(shí)，有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明兩曲線恰有兩條公切線，一般涉及到曲線的切線都是利用切點(diǎn)來引入，通過假設(shè)切點(diǎn)，求出其中一條曲線的切線方程，利用切線方程與另一條曲線也相切可以得到切點(diǎn)滿足的條件（方程），從而把曲線的切線問題轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題進(jìn)而變成函數(shù)的零點(diǎn)問題，這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想。二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則B．“A與B是互斥事件”是“A與B互為對立事件”的必要不充分條件C．已知隨機(jī)變量X的方差為，則D．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則【答案】BD【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式判斷A；根據(jù)對立事件與互斥事件的關(guān)系判斷B；根據(jù)方差公式判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷D.【詳解】對于A：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則，故A錯(cuò)誤；對于B：“A與B是互斥事件”不能推出“A與B互為對立事件”，“A與B互為對立事件”能推出“A與B是互斥事件”，故“A與B是互斥事件”是“A與B互為對立事件”的必要不充分條件，故B正確；對于C：隨機(jī)變量X的方差為，則，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，根據(jù)對稱性可知，，所以，故D正確．故選：BD．10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，過作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)，則或C．點(diǎn)在定直線上D．設(shè)點(diǎn)為，則的最小值為3【答案】AC【分析】對于A，聯(lián)立拋物線和直線方程利用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，對于B，易知直線與斜率均存在，由傾斜角互補(bǔ)斜率之和為可得，解得或，但不符合題意，故，可得B錯(cuò)誤；對于C，分別表示出兩切線方程聯(lián)立解得切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為3，即C正確；對于D，由兩點(diǎn)間距離公式以及二次函數(shù)單調(diào)性可知的最小值為，即D錯(cuò)誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)，聯(lián)立拋物線和直線整理可得，利用韋達(dá)定理可知，則，將代入整理可得，即A正確；對于B，若點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)，則可知與都不重合，即；所以，即，整理得整理得，解得或；當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不合題意；所以即B錯(cuò)誤；對于C，易知直線恒過定點(diǎn)，如下圖所示：

不妨設(shè)在第一象限，則在曲線上，易得則在處的切線方程為，又,整理可得，在處的切線方程為，同理則在曲線上，易得則在處的切線方程為，且；所以在處的切線方程為，聯(lián)立，解得，即切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為3；即點(diǎn)在定直線上，所以C正確；對于D，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即的最小值為，即D錯(cuò)誤.故選：AC11．已知正四面體的棱長為2，點(diǎn)分別為和的重心，為線段上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．若，則平面C．直線到平面的距離為D．若取得最小值，則【答案】ABC【分析】將正四面體放入正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，對每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】將正四面體放入正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖所示，

因?yàn)檎拿骟w的長為2，所以正方體的棱長為，則，，，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為和的重心，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?，所以，取，則，因?yàn)椋抑本€平面，所以直線平面，故A正確；所以點(diǎn)到平面的距離就是直線到平面的距離，則點(diǎn)到平面的距離，即直線到平面的距離為，故C正確，若，則，所以，因?yàn)?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，因?yàn)?，所以平面，即平面，故B正確；點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則設(shè)，則，所以，所以，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，即，，取得最小值，故D錯(cuò)誤；故選：ABC12．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，且下列說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．B．若.則C．存在實(shí)數(shù)，使得，且成等差數(shù)列D．存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列【答案】BD【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)可判定A選項(xiàng)，觀察到進(jìn)而找到，之間的關(guān)系，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍可判定B選項(xiàng)；由等差數(shù)列性質(zhì)及，之間的關(guān)系將解出來即可判定C選項(xiàng)；由等比數(shù)列性質(zhì)及，之間的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題，利用函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可判定D選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)時(shí)，則，即，所以在上是增函數(shù)；又，所以是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則且，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；,觀察到,所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以且，所以，且所以，因?yàn)椋?，所以因?yàn)樗运?，即，由對勾函?shù)的性質(zhì)可知，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，且成等差?shù)列，所以，所以，此時(shí)與相矛盾，故C選項(xiàng)不正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以所以，所以令，則在單調(diào)遞增，其中，故在上存在唯一的零點(diǎn)，即方程有解，則存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題13．已知，則_______.【答案】511【分析】由賦值法即可求解.【詳解】令，則.令，則，故.故答案為：51114．已知，，，且，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是____________.（用“<”連接）【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，，，，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性和在上的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】設(shè)，，則，，由題意知，，，，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏蠁握{(diào)遞減，所以.故答案為：15．如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作．該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，設(shè)該雙曲線的方程為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為__________．【答案】/【分析】設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，由題意可知四邊形為矩形，在中，由勾股定理解得，在中，由勾股定理可求得離心率.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，連接，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，由于，則,又，則四邊形為矩形，在中，由勾股定理得，即，解得，在中，由勾股定理得，即，．故答案為：.四、雙空題16．有個(gè)編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，其余盒子中均為1個(gè)白球1個(gè)黑球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，再從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，以此類推，則從第2個(gè)盒子中取到白球的概率是______，從第個(gè)盒子中取到白球的概率是______．【答案】【分析】記事件表示從第i個(gè)盒子里取出白球，利用全概率公式可得，進(jìn)而可得，然后構(gòu)造等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式即得.【詳解】記事件表示從第個(gè)盒子里取出白球，則，，所以，，，進(jìn)而可得，，又，，，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故答案為：；.五、解答題17．快到采摘季節(jié)了，某農(nóng)民發(fā)現(xiàn)自家果園里的某種果實(shí)每顆的重量有一定的差別，故隨機(jī)采摘了100顆，分別稱出它們的重量（單位：克），并以每10克為一組進(jìn)行分組，發(fā)現(xiàn)它們分布在區(qū)間，，，，并據(jù)此畫得頻率分布直方圖如下：(1)求的值，并據(jù)此估計(jì)這批果實(shí)的第70百分位數(shù)；(2)若重量在（單位：克）的果實(shí)不為此次采摘對象，則從果園里隨機(jī)選擇3顆果實(shí)，其中不是此次采摘對象的顆數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.注意：把頻率分布直方圖中的頻率視為概率.【答案】(1)0.030；31(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和百分位數(shù)的計(jì)算方式直接計(jì)算即可；（2）由題知，再根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；【詳解】（1）解：因?yàn)轭l率分布直方圖的組距為10，所以，落在區(qū)間，，上的頻率分別為0.20，0.32，0.18，所以，.因?yàn)槁湓趨^(qū)間上的頻率為，而落在區(qū)間上的頻率為，所以第70百分位數(shù)落在區(qū)間之間，設(shè)為，則，解得，所以估計(jì)第70百分位數(shù)為31.（2）解：由（1）知，重量落在的頻率為0.2，由樣本估計(jì)總體得其概率為0.2，因?yàn)榭扇?，1，2，3，且，則，，，，所以的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為（或直接由）.18．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對任意，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，再根據(jù)得到，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以從第項(xiàng)起為以為公比的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，則①，②，①-②得，化簡得.19．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，內(nèi)接于，為的一條弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出輔助線，找到符合要求的，并利用垂徑定理得到最小值；（2）在第一問基礎(chǔ)上，得到當(dāng)取得最小值時(shí)，，并建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角.【詳解】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)H作⊥，此時(shí)滿足平面，由平面幾何知識易知，，當(dāng)弦心距最大時(shí)，，弦長最短，即取得最小值，因?yàn)椋?，因?yàn)?，由勾股定理得，故，連接，則，由勾股定理得，所以；（2）連接，則平面ACB，因?yàn)槠矫鍭CB，故，而，，所以平面，即有.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且平行的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.20．某公司在一次年終總結(jié)會上舉行抽獎活動，在一個(gè)不透明的箱子中放入3個(gè)紅球和3個(gè)白球（球的形狀和大小都相同），抽獎規(guī)則有以下兩種方案可供選擇：方案一：選取一名員工在袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若是紅球，則放回袋中；若是白球，則不放回，再在袋中補(bǔ)充一個(gè)紅球，這樣反復(fù)進(jìn)行3次，若最后袋中紅球個(gè)數(shù)為，則每位員工頒發(fā)獎金萬元；方案二：從袋中一次性摸出3個(gè)球，把白球換成紅球再全部放回袋中，設(shè)袋中紅球個(gè)數(shù)為，則每位員工頒發(fā)獎金萬元.(1)若用方案一，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)比較方案一與方案二，求采用哪種方案，員工獲得獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望值更高？請說明理由；(3)若企業(yè)有1000名員工，他們?yōu)槠髽I(yè)貢獻(xiàn)的利潤近似服從正態(tài)分布，為各位員工貢獻(xiàn)利潤數(shù)額的均值，計(jì)算結(jié)果為100萬元，為數(shù)據(jù)的方差，計(jì)算結(jié)果為225萬元，若規(guī)定獎金只有貢獻(xiàn)利潤大于115萬元的員工可以獲得，若按方案一與方案二兩種抽獎方式獲得獎金的數(shù)學(xué)期望值的最大值計(jì)算，求獲獎員工的人數(shù)及每人可以獲得獎金的平均數(shù)值（保留到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則【答案】(1)分布列見解析，(2)方案二，理由見解析(3)（萬元）【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，計(jì)算出概率，列分布列即可得出期望；（2）根據(jù)方案二，按照（1）的方法計(jì)算期望，比較方案一的期望即可；（3）根據(jù)正態(tài)分布，利用給定區(qū)間的概率計(jì)算即可得解.【詳解】（1）對于方案一，由條件可知有可能取值為3，4，5，6，，，，

，∴的分布列為：3456期望值.（2）對于方案二，由條件可得值為3，4，5，6，，

，，

，∴的期望值∵所以方案二員工獲得獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望值會更高.（3）由（1）（2）可知，平均每位員工獲得獎金的數(shù)學(xué)期望的最大值為，則給員工頒發(fā)獎金的總數(shù)為（萬元），設(shè)每位職工為企業(yè)的貢獻(xiàn)的數(shù)額為，所以獲得獎金的職工數(shù)約為.（人）則獲獎員工可以獲得獎金的平均數(shù)值為（萬元）.21．已知過點(diǎn)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l過拋物線C的焦點(diǎn)時(shí)，．(1)求拋物線C的方程；(2)若點(diǎn)，連接QA，QB分別交拋物線C于點(diǎn)E，F(xiàn)，且與的面積之比為，求直線AB的方程．【答案】(1)方程為．(2)方程為．【分析】（1）直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式求出的值，即可得解；（2）設(shè)直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，直線AQ的方程與拋物線聯(lián)立，設(shè)，則，設(shè)，同理可得，利用三角形面積公式可得，求解即可.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)閽佄?/p>