2022-2023學(xué)年湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義以及共軛復(fù)數(shù)的定義，根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由題意可知，所以，進(jìn)而，故選：C2．已知點(diǎn)，，，若與共線，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求，結(jié)合投影向量的定義求在上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)榕c共線，所以，所以，，，所以在上的投影向量為，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為.故選：D.3．已知，，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求，再由向量夾角公式求，的夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，故，又，，所以，所以，又，所以，即，的夾角為，故選：B.4．某廣場(chǎng)內(nèi)供休閑人員休息的石凳是由一個(gè)正方體石塊截去8個(gè)相同的四面體得到的，如圖所示，若被截正方體石塊棱長(zhǎng)為，則該石凳的體積為（

）（單位）

A．B．C．D．【答案】A【分析】利用割補(bǔ)法，結(jié)合幾何體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】正方體的體積為，切去的每個(gè)四面體的體積為，所以該石凳的體積為.故選：A.5．在中，角、、的對(duì)邊分別是，，，已知，且，則（

）A．9 B．6 C．3 D．18【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，解方程求即可.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以，所以或（舍去），故選：B.6．如圖，現(xiàn)有，，三點(diǎn)在同一水平面上的投影分別為，，，且，，由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，與的差為10，由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，則，兩點(diǎn)到水平面的高度差為（

）

A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【分析】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，由條件解三角形求可得結(jié)論.【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，則，設(shè)，在中，由，，可得，所以，因?yàn)榕c的差為10，所以，在中，，，，所以，故，所以，在中，，，，所以，所以，兩點(diǎn)到水平面的高度差，故選：A.

7．在中，，，為的中點(diǎn)，于，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B．8 C． D．6【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律,即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】法一：.法二：將特殊到，則.故選：C

8．在中，已知，，點(diǎn)在邊上，且，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由三角形的內(nèi)角和以及正弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，由角的范圍即可得關(guān)系式求解.【詳解】設(shè)，∴，，，則，中，中，故，又，，∴或，則或，

故選：C二、多選題9．將向量替換為復(fù)數(shù)，以下是向量的性質(zhì)類比到復(fù)數(shù)中，其中在復(fù)數(shù)中結(jié)論仍然成立的是（

）A．由，類比為：B．由，類比為：C．由，類比為D．由，類比為：【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)判斷各命題的對(duì)錯(cuò)即可.【詳解】設(shè)，，則，所以，，A正確；，，C錯(cuò)誤；設(shè)，所以，，因?yàn)閺?fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不能比較大小，故D錯(cuò)誤，，，因?yàn)椋?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故，又，所以，B正確；故選：AB.10．在中，角、、的對(duì)邊分別是，，，下列說法正確的是（

）A．“”是“是等腰三角形”的充分不必要條件B．“”是“”的充要條件C．若，，則面積的最大值為D．若，，則周長(zhǎng)的最大值為6【答案】BCD【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A，由正弦定理邊角化即可判斷B,由余弦定理,結(jié)合不等式即可求解CD.【詳解】對(duì)于A,在中由可得或，所以或，所以為等腰三角形或者為直角三角形，故“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要條件，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,由正弦定理可得,故“”是“”的充要條件，故B正確，對(duì)于CD,，時(shí),則由余弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故,故C正確，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，故D正確，故選：BCD11．矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．若，則的面積為定值C．若，則滿足的點(diǎn)不存在D．若，，則的面積為【答案】BCD【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)椋?，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

對(duì)于A：因?yàn)椋渣c(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為2，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到邊的距離為，所以的面積，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，若，則，化簡(jiǎn)得，方程無實(shí)數(shù)根，即滿足的點(diǎn)不存在，C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋渣c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的面積為，D正確；故選：BCD.12．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，側(cè)面積為，則下列說法正確的是（

）A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的內(nèi)切球的體積為C．該圓錐的外接球的表面積為 D．該圓錐的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為【答案】AC【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解底面圓半徑，由體積公式即可判斷A,由內(nèi)切球以及外接球的幾何性質(zhì),結(jié)合勾股定理,相似,即可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A：設(shè)圓錐底面半徑為，母線為,則側(cè)面積為，則圓錐高為，故圓錐體積為，故A正確；對(duì)于B：由于,所以,如圖，內(nèi)切球和圓錐側(cè)面和底面分別切于,,故內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的體積為，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：外接球的球心為半徑,則滿足：，∴，故C正確；

對(duì)于D：以圓錐的頂點(diǎn)以及正方體的一條面對(duì)角線作截面如下，設(shè)內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為，則由相似可得，故D錯(cuò).

故選：AC三、填空題13．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為______.【答案】/【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義可得，進(jìn)而利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】為純虛數(shù)，則且，故，則，所以，故的虛部為，故答案為：14．中，，，，則______.【答案】2或4【分析】利用余弦定理解三角形可得結(jié)論.【詳解】由余弦定理可得，又，，，所以，所以或，滿足構(gòu)成三角形.故答案為：2或415．將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)弧度，則紙片掃過的區(qū)域形成的幾何體的表面積為______.【答案】【分析】確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算各面的面積相加即可.【詳解】由已知可得該幾何體為底面半徑為，高為的圓柱的，如下圖：

所以該幾何體的表面積，故答案為：.16．如圖所示，中，，，以的中點(diǎn)為圓心，為直徑在三角形的外部作半圓弧，點(diǎn)在半圓弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，則當(dāng)取最大值時(shí)，______.

【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用單位圓以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合輔助角公式即可求解.或者利用向量的線性運(yùn)算，由數(shù)量積的運(yùn)算律以及定義即可求解.【詳解】法一：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

得，，，∴，其中為銳角且，此時(shí).法二：，以下同上.故答案為：四、解答題17．已知，，，.(1)若，且方向相反，求實(shí)數(shù)的值；(2)若與的夾角為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)2(2)0【分析】（1）由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及定義，列方程即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）由與平行得：，∴或，當(dāng)時(shí)，，，與平行，且方向相反，滿足要求；當(dāng)時(shí)，，，方向相同，不滿足要求；故.（2），即，平方得：，∴或，由于,所以不符合要求,故舍去；∴18．某種建筑使用的鋼筋混凝土預(yù)制件模型如下圖所示，該模型是由一個(gè)正四棱臺(tái)從正中間挖去一個(gè)圓柱孔而成，已知該正四棱臺(tái)上底和下底的邊長(zhǎng)分別為和，棱臺(tái)的高為，中間挖去的圓柱孔的底面半徑為.計(jì)算時(shí)取3.14.

(1)求澆制一個(gè)這樣的預(yù)制件大約需要多少立方厘米混凝土；(2)為防止該預(yù)制件風(fēng)化腐蝕，需要在其表面涂上一層保護(hù)液，若每升保護(hù)液大約可以涂，請(qǐng)計(jì)算涂一個(gè)這樣的預(yù)制件大約需要購買保護(hù)液多少升？（結(jié)果取整數(shù)）【答案】(1)(2)4升【分析】（1）由臺(tái)體體積公式求正四棱臺(tái)的體積，再求所挖去的圓柱的體積，相減可得幾何體的體積；（2）計(jì)算該幾何體的表面積，由此計(jì)算所需購買保護(hù)液的體積.【詳解】（1）由已知正四棱臺(tái)的上底面積，下底面積，高，所以正四棱臺(tái)的體積；由已知圓柱的底面半徑，高，所以圓柱的體積；故該預(yù)制件的體積故澆制一個(gè)這樣的預(yù)制件大約需要混凝土.（2）作該幾何體的截面，過點(diǎn)作，垂足為，如下：

由已知，，該正四棱臺(tái)側(cè)面梯形的高為：，故該預(yù)制件的表面積，∴，，所以涂一個(gè)這樣的預(yù)制件大約需要購買保護(hù)液4升.19．已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若兩向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【分析】（1）根據(jù)向量垂直的性質(zhì)列方程，利用數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)方程求的值；（2）結(jié)合向量夾角公式列不等式求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，是夾角為的兩個(gè)單位向量.所以，化簡(jiǎn)得所以，所以或；（2）因?yàn)閮上蛄颗c的夾角為鈍角，所以，且向量與不共線，由，可得，所以，當(dāng)向量與平行時(shí)，，實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．(1)求角；(2)若為的中點(diǎn)，且，的角平分線交于點(diǎn)，且，求邊長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的夾角公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）根據(jù)為的中點(diǎn)，有，從而得到，再根據(jù)，從而得到，再結(jié)合余弦定理即可求得的值．【詳解】（1）由，則，所以，則由正弦定理得，即，所以，即，又，則，所以，得，又，所以．（2）由為的中點(diǎn)，則，即，所以，即，即，由是的角平分線，所以，又，則，所以，得，所以，解得，由余弦定理得，故．

21．在正三棱柱中，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，.

(1)當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積；(2)求的最小值，并求取最小值時(shí)的值.【答案】(1)(2)7，【分析】（1）根據(jù)錐體體積公式求解即可；（2）將矩形沿展開，使之與共面，利用余弦定理求，即得的最小值，利用正弦定理求，再求，由此的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，得出為的中點(diǎn)，則（2）將矩形沿展開，與共面，如圖所示，，

∴，故的最小值為7中，由正弦定理得：，因?yàn)椋?，所以∴，則.22．已知在中，為邊上的點(diǎn)，且，.

(1)若，，求邊的長(zhǎng)；(2)若，設(shè)，，試將的面積表示為的函數(shù)，并求函數(shù)最大值.【答案】(1)(2)，；【分析】（1）由條件求，根據(jù)正弦定理求，由此可求，再由余弦定理求；（2）設(shè)，根據(jù)余弦定理用表示，結(jié)