2022-2023學(xué)年湖南省永州市高一年級下冊學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省永州市高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝（

）A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法法則即可求出.【詳解】z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.故選：B.2．已知點G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點，滿足，則G點是三角形ABC的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的線性運算和三角形重心的定義，即可判斷點G是△ABC的重心.【詳解】因為，所以.以GA、GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD交AB于點O.如圖所示:則，所以，CO是AB邊上的中線，所以G點是△ABC的重心.故選：D3．已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面．下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】對于A，若，，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若，，由線面垂直的性質(zhì)定理得，故B正確；對于C，若，，則或，故C錯誤；對于D，若，，則n與相交、平行或，故D錯誤．故選：B．4．在中，角的對邊分別為.若，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理直接求解即可.【詳解】在中，已知，，，由余弦定理得：.所以.故選：A.5．在中，若，則的外接圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的值，再由正弦定理可得答案.【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為在中,由，則由正弦定理可得：,所以故選：B6．已知正方形的邊長為1，點P是對角線上任意一點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量表示，根據(jù)數(shù)量積的定義和運算律求其范圍.【詳解】設(shè)，則，，，所以，又，所以，又，所以.故選：C.7．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式（e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被普為“數(shù)學(xué)中的天橋”.下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運算法則，逐項計算后可得正確的選項.【詳解】對于A，當時，因為，所以，故不一定成立，選項A錯誤；對于B，，所以B錯誤；對于C，由，，所以,得出,選項C正確；對于D，由C選項的分析得，得出，選項D錯誤.故選：C.8．已知向量，其中，若平面向量滿足，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由可推出，從而，利用向量的模的計算公式結(jié)合，求得答案.【詳解】設(shè)，則由可得，，兩式相加得：，故，由于，，故，所以由得，，即，由可得，故選：A二、多選題9．如圖，D，E，F(xiàn)分別是的邊AB，BC，CA的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由中位線的性質(zhì)及相等向量的定義和向量減法的運算法則即可求解.【詳解】解：因為D，E，F(xiàn)分別是的邊AB，BC，CA的中點，所以,且，，且，所以，，所以，故選：BCD.10．下列命題中錯誤的是（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則B．若復(fù)數(shù)，滿足，則C．若復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是D．若復(fù)數(shù)，則【答案】ABC【分析】舉例說明判斷A，B，C；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)給定條件計算判斷D作答.【詳解】當時滿足，A錯；當，時滿足，但，B錯；復(fù)數(shù)，當且時，復(fù)數(shù)z為實數(shù)，不是純虛數(shù)，C錯；令，，，，當時，即，，，則成立，D正確．故選：ABC11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，若邊BC的中線，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．△ABC的面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合平面向量加法的幾何意義、平面向量數(shù)量積的定義、三角形面積公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理，由，因為，所以，因此，因為，所以，因此選項A正確，選項B不正確；因為是中線，所以由，或舍去，因此，所以選項C正確；△ABC的面積為，所以選項D正確，故選：ACD12．我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用.圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體；如圖2，已知正四棱柱和正四棱錐的高之比為1:2，且底面邊長均為，若該幾何體的所有頂點都在球的表面上，則（

）A．球的體積為B．正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的體積為20C．正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角的正弦值為D．正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角的正弦值為【答案】BD【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半徑以及正四棱錐、正四棱柱的高，結(jié)合體積、線面角、面面角的知識求得正確答案.【詳解】設(shè)正四棱錐為，其底面中心為；設(shè)正四棱柱為，其下底面中心為，設(shè)是的中點，連接，是球的球心，設(shè)球的半徑為，設(shè)正四棱柱的高為，則正四棱錐的高為，為正數(shù)，所以，，所以，所以，解得，所以，球的體積，A選項錯誤.組合體的體積為，B選項正確.依題意可知正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角為，，C選項錯誤.根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知：，所以是正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角，，D選項正確.故選：BD三、填空題13．已知，，，則與所成的夾角大小是.【答案】//120°【分析】根據(jù)向量夾角公式，由題中條件，即可直接求解.【詳解】因為，，，記與所成的夾角為，所以，因此.故答案為：.14．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則【答案】【分析】化簡得到，即得到模長.【詳解】由，∴.故答案為：.15．如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是．【答案】②③④【詳解】還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，因為正四面體對棱垂直，所以，所以DE⊥MN.故答案為：②③④16．在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，若、、別是棱、、的中點，則下列四個命題：；②三棱錐的外接球的表面積為；③三棱錐的體積為；④直線與平面所成角為，其中正確的命題有．(把所有正確命題的序號填在橫線上)【答案】①②③【分析】取中點，則，可證得四邊形為平行四邊形，從而，可判斷①正確；由面，，可知三棱錐的外接球的球心在線段的中點處，從而可得外接球的表面積，可判斷②；三棱錐為正四面體，由三棱錐的體積公式計算可判斷③；由面，可得為直線與平面所成角，計算可判斷④．【詳解】對于①，取中點，連接，∵為中點，，，∴四邊形為正方形，則在中，，分別為，的中點，則∥，且∵為的中點，且∥，∴∥且∴四邊形為平行四邊形，∴∥∴，故①正確；對于②，∵，，∴∵面，∴三棱錐的外接球的球心在線段的中點處，則外接球的半徑為∴三棱錐的外接球的表面積為，故②正確；對于③，∵，，，在中，，，，同理可得，則三棱錐為正四面體，所以該正四面體的高，底面面積，體積，故③正確；對于④，∵面，∴直線在平面上的投影為直線則為直線與平面所成的角在中，∴直線與平面所成的角不是，故④不正確．故答案為：①②③．四、解答題17．.已知，與的夾角為60°．（1）求：，；（2）求：．【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積公式求解即可【詳解】由得又故答案為：18．已知，，方程的一個根為，復(fù)數(shù)，滿足.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若，求復(fù)數(shù).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將代入方程，化簡后利用復(fù)數(shù)相等的知識列方程組，由此求得，從而求得.（2）設(shè)，利用、來求得，進而求得.【詳解】（1）依題意，得，即，由復(fù)數(shù)相等的定義及a，，得，解得.

故復(fù)數(shù).

（2）設(shè)（，），由，得，，又，得，即，所以，解得，所以.19．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是正方形，分別是，的中點，平面.（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）若三棱柱的體積為10，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）先由線面垂直的判定定理，證明平面，進而可證明面面垂直；（2）設(shè)中點為，連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（3）連接，根據(jù)等體積法，得到，進而可求出結(jié)果.【詳解】（1）∵平面，平面，∴，在正方形中，，∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）設(shè)中點為，連接，∵分別是的中點，∴，且.又點是的中點，∴.∵，且，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.（3）連接，則，∵為的中點，∴三棱錐的體積.【點睛】本題主要考查面面垂直的證明，線面平行的證明，以及三棱錐的體積，熟記線面垂直，線面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.20．在中，，，.(1)求的長；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得，解得的長；（2）先由余弦定理得，再根據(jù)同角關(guān)系得，由二倍角公式得，，最后根據(jù)兩角差余弦公式得的值.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得（2）∵，因為,所以，∴，，.21．如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以海里小時的速度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達C處，走私船到達D處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以海里小時的速度沿著直線追擊(1)當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里(2)問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【答案】(1)兩船相距海里.(2)巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在中，解三角形得，，在中，由余弦定理求得.（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，結(jié)合圖形知巡邏艇的追趕方向.【詳解】（1）由題意知，當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距海里.（2）當巡邏艇經(jīng)過小時經(jīng)方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.22．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E為AD的中點，以EC為折痕將折起，使點D到達點P的位置，且，F(xiàn)，G分別為BC，PE的中點．(1)證明：平面AFG．(2)若平面PAB與平面PEF的交線為l，求直線l與平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接BE并交AF于點O，連接OG，結(jié)合三角形中位線定理可證，進而得證；（2）取CE的中點M，連接PM，F(xiàn)M，DM，易證平面PFM，作交FN于點N，連接BN，得平面ABCD，設(shè)，對由余弦定理求出，分別對和由勾股定理代換出，解出，以M為原點，為x軸的正方向建立空間直角坐標系，易證，求出和平面PBC的法向量，結(jié)合線面角的正弦公式可求.【詳解】（1）證明：如圖，連接BE并交AF于點O，連接OG．因為E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，所以四邊形ABFE為平行四邊形，則O為BE的中點．又G為PE的中點，