2022-2023學年湖南省岳陽市岳陽縣高二年級下冊學期6月期末數(shù)學試題【含答案】

湖南省岳陽市岳陽縣2022-2023學年高二下學期6月期末數(shù)學試題總分：150分；時間：120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合A，B，再利用交集運算求解.【詳解】因為，=，所以，故選：B2.已知，則（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：C3.若向量，，則“”是“向量，夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由向量，夾角為鈍角可得且，不共線，然后解出的范圍，然后可得答案.【詳解】若向量，夾角為鈍角，則且，不共線所以，解得且所以“”是“向量，夾角為鈍角”的必要不充分條件故選：B4.2019年6月7日，是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”．這天，小明的媽媽煮了7個粽子，其中3個臘肉餡，4個豆沙餡．小明隨機抽取出兩個粽子，若已知小明取到的兩個粽子為同一種餡，則這兩個粽子都為臘肉餡的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)事件為“取出兩個粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個粽子都為臘肉餡”，計算（A）、的值，從而求得的值．【詳解】由題意，設(shè)事件為“取出兩個粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個粽子都為臘肉餡”，則（A），，．故選B．【點睛】本題主要考查古典概型和條件概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.5.函數(shù)的部分圖象大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由解析式分析函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)值的正負，由排除法可得．【詳解】或時，，排除B、D，時，排除C，只有A正確．故選：A．【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象．可根據(jù)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性等等，研究函數(shù)圖象的特殊點，如與坐標軸的交點，頂點，極值點等，特殊的函數(shù)值或函數(shù)值的正負、函數(shù)值的變化趨勢．利用排除法得出正確的結(jié)論．6.已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先討論得出的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)已知列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，定義域為，.若，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，與已知不符，舍去；當時，由可知，或（舍去）當時，有，所以在上單調(diào)遞減；當時，有，所以在上單調(diào)遞增.由已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，所以應(yīng)有，所以.故選：A.7.“歡樂頌”是音樂家貝多芬創(chuàng)作的重要作品之一.如圖，如果以時間為橫軸、音高為縱軸建立平面直角坐標系，那么寫在五線譜中的音符就變成了坐標系中的點，如果這些點恰好在函數(shù)的圖象上，且圖象過點，相鄰最大值與最小值之間的水平距離為，則使得函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知得出函數(shù)的周期，求出，根據(jù)點的坐標，結(jié)合的取值范圍，求出的值.然后得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，.又圖象過點，所以有，所以，.因為，所以，所以，所以，.由可得，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；對于A項，，故A項錯誤；對于B項，因為，故B項正確；對于C項，因為，故C項錯誤；對于D項，因，故D項錯誤.故選：B.8.已知正三棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為，且，則該正三棱錐體積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由外接球表面積求出半徑，設(shè)球心到底面距離為，由三角函數(shù)關(guān)系解出底面三角形面積，由此可確定正三棱錐體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系.【詳解】設(shè)球的半徑為，因為，所以正三棱錐外接球半徑，設(shè)的外接圓的圓心為，因為是正三棱錐，所以平面，設(shè)外接球球心為，則平面，所以，故點在直線上，當球心與點在平面的同側(cè)，如圖所示，設(shè)由已知，,因為，，解得，矛盾，當球心與點在平面的異側(cè)時或球心在平面內(nèi)時，如圖所示，所以，,因為，，解得，所以，又因為，所以，所以，所以，令，，由所以在遞減，又，，所以當時，即時，三棱錐的體積取最大值，最大值為，當時，即時，三棱錐的體積取最小值，最小值為，所以正三棱錐體積的取值范圍是.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知是的前n項和，，，則（）A. B.C. D.是以3為周期的周期數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項，即可得出D項；根據(jù)周期性，即可判斷A、C項；求出的值，結(jié)合周期性，即可得出B項.【詳解】由已知可得，，，，，，所以，是以3為周期的周期數(shù)列.對于A項，因為，所以，故A項正確；對于B項，因，所以，故B項正確；對于C項，因為的周期為3，所以，，，所以，，故C項錯誤；對于D項，由解析可知，是以3為周期的周期數(shù)列，故D項正確.故選：ABD.10.如圖，點P在正方體面對角線上運動，則下列四個結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的體積不變B.與平面所成的角大小不變C.D.【答案】ABD【解析】【詳解】正方體中，則有平面，∴到平面的距離不變，面積不變，因此三棱錐的體積不變，A正確；同理平面平面，從而可得平面平面，∴可得平面，與平面所成的角大小始終為0，B正確；當與重合時，與所成角為，不垂直，C錯；由正方體中，由，得平面，可得，同理，從而可證平面，必有，D正確；故選：ABD．【點睛】本題考查空間的直線與平面間的平行與垂直的關(guān)系，掌握正方體的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考查了學生的空間想象能力，邏輯推理能力．11.已知拋物線C：的焦點為F，點P在拋物線C上，，若為等腰三角形，則直線AP的斜率可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由題意知，然后分和兩種情況求出點的坐標，從而可求出直線AP的斜率【詳解】由題意知，設(shè)，若，則，解得，則點P的坐標為或，所以或；若，則.因為，所以，解得或（舍去），所以點P的坐標為或，所以或.故選：AB12.設(shè)函數(shù)，下列四個結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)有且只有兩個零點C.函數(shù)的值域是D.對任意兩個不相等正實數(shù)，若，則【答案】CD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷時，的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求值域，然后結(jié)合時，，從而可判斷選項A，C；首先利用導(dǎo)數(shù)判斷時，的零點個數(shù)；然后再利用單調(diào)性判斷時，的零點個數(shù)，從而可判斷選項B；不妨設(shè)，根據(jù)題意把要證明，轉(zhuǎn)化為證明；然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可證明，從而判斷選項D.【詳解】當時，，所以，所以當時，在單調(diào)遞增，當時，在單調(diào)遞減，故時，，又當時，，所以，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以A錯誤，C正確；當時，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以當時，，所以函數(shù)在上沒有零點；當時，，所以只需求函數(shù)在上零點個數(shù)，又因為在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上只有一個零點．所以函數(shù)有且僅有一個零點，所以B錯誤；當時，若，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以不妨設(shè)，則，所以要證，只需證，即只需證，又因為，所以只需證.因為，所以令函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，即，所以，從而成立.所以選項D正確.故選：CD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.使得（3x+）n（n∈N+）的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為__________．【答案】5【解析】【詳解】二項式展開式的通項為：，令，據(jù)題意此方程有解，∴，當r=3時，n的最小值為5.故答案為5.點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).14.若圓截直線所得的最短弦長為，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】求得圓的圓心和半徑，求得直線過的定點，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，以最短弦長列方程，解方程求得，進而求得的值.【詳解】易知圓的圓心為，半徑，直線恒過點.又，當時，所得弦最短，此時弦長為，解得，所以，解得.故答案為：15.已知函數(shù)，則的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】方法一：由，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，減區(qū)間，從而確定出函數(shù)的最小值點，代入求得函數(shù)的最小值.【詳解】［方法一］：【通性通法】導(dǎo)數(shù)法．令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．則．故答案為：.［方法二］：三元基本不等式的應(yīng)用因為，所以．當且僅當，即時，取等號．根據(jù)可知，奇函數(shù)，于是，此時．故答案為：.［方法三］：升冪公式＋多元基本不等式，，當且僅當，即時，．根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是．故答案為：.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放縮，當且僅當時等號成立．故答案為：.［方法五］：萬能公式＋換元+導(dǎo)數(shù)求最值設(shè)，則可化為，當時，；當時，，對分母求導(dǎo)后易知，當時，有最小值．故答案為：.［方法六］：配方法，當且僅當即時，取最小值．故答案為：.［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應(yīng)用＋導(dǎo)數(shù)法因為，所以，即函數(shù)的一個周期為，因此時，的最小值即為函數(shù)的最小值．當時，，當時，因為，令，解得或，由，，，所以的最小值為．故答案為：.【整體點評】方法一：直接利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出極值點，從而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通過對函數(shù)平方，創(chuàng)造三元基本不等式的使用條件，從而解出；方法三：基本原理同方法三，通過化同角利用多元基本不等式求解，難度較高；方法四：通過化同角以及化同名函數(shù)，放縮，再結(jié)合多元基本不等式求解，難度較高；方法五：通過萬能公式化簡換元，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值，該法也較為常規(guī)；方法六：通過配方，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成平方和的形式，構(gòu)思巧妙；方法七：利用函數(shù)的周期性，縮小函數(shù)的研究范圍，再利用閉區(qū)間上的最值求法解出，解法常規(guī)，是該題的最優(yōu)解．16.為檢測出新冠肺炎的感染者，醫(yī)學上可采用“二分檢測法”、假設(shè)待檢測的總?cè)藬?shù)是（）將個人的樣本混合在一起做第1輪檢測（檢測一次），如果檢測結(jié)果為陰性，可確定這批人未感染；如果檢測結(jié)果為陽性，可確定其中有感染者，則將這批人平均分為兩組，每組人的樣本混合在一起做第2輪檢測，每組檢測1次，如此類推：每輪檢測后，排除結(jié)果為陰性的那組人，而將每輪檢測后結(jié)果為陽性的組在平均分成兩組，做下一輪檢測，直到檢測出所有感染者（感染者必須通過檢測來確定）.若待檢測的總?cè)藬?shù)為8，采用“二分檢測法”檢測，經(jīng)過4輪共7次檢測后確定了所有感染者，則感染者人數(shù)最多為______人.若待檢測的總?cè)藬?shù)為，且假設(shè)其中有不超過2名感染者，采用“二分檢測法”所需檢測總次數(shù)記為n，則n的最大值為______.【答案】①.2②.【解析】【分析】利用二分檢測法求解.【詳解】若待檢測的總?cè)藬?shù)為8，則第一輪需檢測1次，第2輪需檢測2次，第3輪需檢測2次，第4輪需檢測2次，則共需檢測7次，此時感染者人數(shù)最多為2人；若待檢測的總?cè)藬?shù)為，且假設(shè)其中有不超過2名感染者，若沒有感染者，則只需1次檢測即可；若只有1個感染者，則只需次檢測；若只有2個感染者，若要檢測次數(shù)最多，則第2輪檢測時，2個感染者不位于同一組，此時相當兩個待檢測均為的組，每組1個感染者，此時每組需要次檢測，所以此時兩組共需次檢測，故有2個感染者，且檢測次數(shù)最多，共需次檢測，所以采用“二分檢測法”所需檢測總次數(shù)記為n，則n的最大值為.故答案為：2，四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四邊形ABCD滿足，，（1）求B；（2）設(shè)，，求函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形面積公式和向量數(shù)量積公式，代入計算可得，化簡即可得解；（2）首先找到各個角之間的關(guān)系，，，再由正弦定理可得，再在三角形ABC中，由正弦定理得，所以，利用三角函數(shù)求最值即可得解.【小問1詳解】由，可得，即，可得，因為，所以，【小問2詳解】∵，則，，在三角形ACD中，由正弦定理得，可得，在三角形ABC中，由正弦定理得，可得，因為，可得，當時，即，可得，當時，即，可得，所以的值域為．18.數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋1＋(－1)nan，n∈N*.（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前100項和S100；（2）若數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】（1）5200；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列{an}是等差數(shù)列{an}，且a1＝1，a2＝2，得到an＝n，然后分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，得到bn，再利用分組求和法求解.（2）根據(jù){bn}是公差為2的等差數(shù)列，且b1＝a2－a1＝1，得到bn＝2n－1，再分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，由求解.【詳解】（1）等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，所以d=1，an＝n，當n為奇數(shù)時，bn＝an＋1－an＝1，即b1＝b3＝b5＝…＝b2n－1＝1；當n為偶數(shù)時，bn＝an＋1＋an＝2n＋1，則b2＝5，b4＝9，b6＝13，…所以{bn}的前100項和S100＝b1＋b2＋…＋b100，＝(b1＋b3＋…＋b99)＋(b2＋b4＋…＋b100)，＝1×50＋(50×5＋)，＝5200.（2）因為{bn}是公差為2的等差數(shù)列，且b1＝a2－a1＝1，所以bn＝2n－1，當n為奇數(shù)時，bn＝an＋1－an＝2n－1；當n為偶數(shù)時，bn＝an＋1＋an＝2n－1，即，所以a2n＋1＋a2n－1＝2，所以a2n＋1＝2－a2n－1，又因為a1＝1，所以a1＝a3＝a5＝…＝1，所以a2n－1＝1，a2n＝4n－2；所以【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和分組求和法，還考查了分類思想和運算求解的能力，屬于中檔題.19.如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，P是線段上一點.（1）是否存在點P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）當為何值時，直線與面所成的角的正弦值最大.【答案】（1）時，平面；（2）當時，直線與面所成的角的正弦值最大.【解析】【分析】（1）求出,再根據(jù)平面求出即得解；（2）如圖所示，建立以點為坐標原點的空間直角坐標系，設(shè)利用向量法求出，利用基本不等式求解.【小問1詳解】解：由題得,所以.所以△是圓的內(nèi)接三角形，所以，由題得.假設(shè)平面，所以.此時所以時，平面.【小問2詳解】解：如圖所示，建立以點為坐標原點的空間直角坐標系.設(shè)，所以設(shè)平面的法向量為，所以，所以.設(shè)直線與面所成的角為，由題得.當且僅當時，直線與面所成的角的正弦值最大.20.為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2018年以來，某村一直在組織開展“悅讀小屋讀書活動”.下表是對2018年以來近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計：年份20182019202020212022年份代碼12345年借閱量（冊）3692142（參考數(shù)據(jù)：）（1）在所統(tǒng)計的5個年借閱量中任選2個，記其中低于平均值的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）通過分析散點圖的特征后，計劃分別用①和②兩種模型作為年借閱量關(guān)于年份代碼的回歸分析模型，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)，求出模型②的經(jīng)驗回歸方程，并用殘差平方和比較哪個模型擬合效果更好.【答案】（1）分布列見解析，（2）；模型②的擬合效果更好【解析】【分析】（1）求5年的借閱量的平均數(shù)，可得隨機變量服從超幾何分布，求得概率即可得分布列與期望；（2）根據(jù)計算樣本中心值代入方程求得，即可得回歸方程，計算殘差即可得答案.【小問1詳解】由題知，5年的借閱量的平均數(shù)為：，又，則所以低于平均值的有3個，所以服從超幾何分布，