2022-2023學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)(其中是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，進(jìn)而得到在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.【詳解】∵，故對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，從而復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選:C.2．某圓臺的側(cè)面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實(shí)線部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的面積公式，列出方程，即可求求解.【詳解】由該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，可得，解得，即扇環(huán)的圓心角的大小為.故選：D.3．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=AB=2，則原平面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出直觀圖中，∠ADC=45°，AB=BC=2，，DC=4，即可得到原圖形是一個直角梯形和各個邊長及高，直接求面積即可.【詳解】直觀圖中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴，DC=4，∴原來的平面圖形上底長為2，下底為4，高為的直角梯形，∴該平面圖形的面積為.故選：C4．已知某班英語興趣小組有3名男生和2名女生，從中任選2人參加該校組織的英語演講比賽，則恰有1名女生被選到的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)列舉法先求出從這5名學(xué)生中任選2人的所有情況和恰有1名女生被選到的情況，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】記這3名男生分別為a，b，c，這2名女生分別為D，E，則從這5名學(xué)生中任選2人的情況有，，，，，，，，，，共10種，其中恰有1名女生被選到的情況有，，，，，，共6種，則所求概率.故選：B.5．已知正方體ABCD－ABCD中異面直線AC與BC所成角為（

）A．45 B．60 C．90 D．30【答案】B【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定AC與BC所成角的平面角，進(jìn)而判斷其大小.【詳解】由正方體的性質(zhì)知：，故AC與BC所成角為或其補(bǔ)角，又△為等邊三角形，則.故選：B6．已知，分別是的邊和的中點(diǎn)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的基底表示與線性運(yùn)算計(jì)算.【詳解】如圖，因?yàn)椋謩e是的邊和的中點(diǎn)，.故選：D7．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為2，則該四棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱錐的底面及各側(cè)面面積計(jì)算作答.【詳解】依題意，正四棱錐的底面正方形面積為4，四個側(cè)面是全等的正三角形，每個正三角形面積為，所以四棱錐的表面積為.故選：C8．《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動儀.以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機(jī).外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之.其牙機(jī)巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動，尊則振龍，機(jī)發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之.振聲激揚(yáng)，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機(jī)，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在.驗(yàn)之以事，合契若神.”如圖為張衡地動儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)在相距120的A、B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北75°方向，若A地地動儀正東方向的銅丸落下，B地地動儀東南方向的銅丸落下，則地震的位置距離B地（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作出示意圖，然后根據(jù)正弦定理解決.【詳解】

由題意，作出示意圖，其中，于是，，，地震地點(diǎn)在處，根據(jù)正弦定理，，則，又.故.故選：A二、多選題9．已知a，，，，則下列說法正確的是（

）A．z的虛部是 B．C． D．z對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部定義、復(fù)數(shù)模的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的特征逐一判斷即可.【詳解】由復(fù)數(shù)相等可得解得所以，對于A，的虛部是2，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，故D錯誤.故選：BC10．設(shè)向量，，則（

）A． B．與的夾角為C．與共線 D．【答案】AD【分析】利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量模長、夾角公式以及向量共線、垂直的坐標(biāo)形式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，故A正確；因?yàn)?，，所以，因?yàn)閮上蛄繆A角的范圍為，所以與的夾角為，故B錯誤；因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，所以與不共線，故C錯誤，D正確.故選：AD.11．在中，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則定為等腰三角形C．若，則定為直角三角形D．若三角形的三邊的比是，則此三角形的最大角為鈍角【答案】ACD【解析】選項(xiàng)，由三角形邊角關(guān)系和正弦定理，可判斷為正確；選項(xiàng)，由三角函數(shù)確定角的關(guān)系，要結(jié)合角范圍，所以錯誤；選項(xiàng)，用正弦定理邊化角，再將代入展開，整理可得，所以正確；選項(xiàng)，用余弦定理求出最大邊所對的角，判斷正確.【詳解】在中，若，則，因此，A正確；若，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；若，則，所以，即，，所以定為直角三角形，C正確；三角形的三邊的比是，設(shè)最大邊所對的角為，則，因?yàn)?，所以，D正確.故選:ACD.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判斷三角形的形狀，注意角的范圍及三角形內(nèi)角和等于，屬于中檔題.12．微信運(yùn)動是由騰訊開發(fā)的一個類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號．用戶可以通過關(guān)注微信運(yùn)動公眾號查看自己每天行走的步數(shù)，同時也可以和其他用戶進(jìn)行運(yùn)動量的或點(diǎn)贊，某學(xué)校為了解學(xué)生每周行走的步數(shù)，從高一、高二兩個年級分別隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到高一和高二學(xué)生每周行走步數(shù)的頻率分布直方圖，如圖所示．若高一和高二學(xué)生每周行走步數(shù)的中位數(shù)分別為，，平均數(shù)分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】分別求出滿意度評分中位數(shù)分別為,平均數(shù)分別為,即可比較大小.【詳解】由頻率分布直方圖，，，，則，，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析可得:，解得，，解得所以滿意度評分中位數(shù)，故B正確，，，所以滿意度評分平均數(shù)，故D正確，故選：BD.三、填空題13．設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.8，0.9，則在一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率為【答案】0.98【分析】利用對立事件和獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算．【詳解】由題意目標(biāo)未被擊中的概率是，所以目標(biāo)被擊中的概率為．故答案為：．14．已知，，若與為共線向量，則實(shí)數(shù)k＝．【答案】【分析】由已知，分別表示出和的坐標(biāo)形式，再根據(jù)兩向量共線，列出等量關(guān)系即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c為共線向量，所以，解得：.故答案為：.15．下面四個正方體中，點(diǎn)A、B為正方體的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形序號是．（寫出所有符合條件的序號）【答案】①②【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)定理即可得到答案.【詳解】對于①，如圖1.因?yàn)辄c(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，所以，.又，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?同理可得平面.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平?又平面，所以平面，故①正確；對于②，如圖2，連結(jié).因?yàn)辄c(diǎn)M、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，所以.又，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故②正確；對于③，如圖3，連結(jié)、、.因?yàn)辄c(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?同理可得平面.因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面平?顯然平面，平面，所以平面，且與平面不平行，所以與平面不平行，故③錯誤；對于④：如圖4，連接，因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，則，故平面即為平面，由正方體可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，顯然不正確，故④錯誤.故答案為：①②.16．若，則函數(shù)最大值為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】，由于，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此，故答案為：四、解答題17．某6人小組利用假期參加志愿者活動，已知參加志愿者活動次數(shù)為2、3、4的人數(shù)分別為1、3、2，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加表彰會.(1)求選出的2人參加志愿者活動次數(shù)相同的概率；(2)記選出的2人參加志愿者活動次數(shù)之和為X，求X不小于6的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）按活動次數(shù)不同，將6人分別編號，列舉出所有可能的基本事件，根據(jù)古典概型概率計(jì)算即可；（2）求出X小于6的概率，再用1減去該概率即可.【詳解】（1）記參加了2次志愿者活動的人為a，參加了3次志愿者活動的人為、、，參加了4次志愿者活動的人為、.從這6人中隨機(jī)選出2人.共有、、、、、、、、、、、、、、這15種選法；其中這2人參加志愿者活動次數(shù)相同的有、、、這4種選法.故選出的2人參加志愿者活動次數(shù)相同的概率為.（2）由(1)可知，X小于6有、、這3種選法，故X不小于6的概率.18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，的面積為.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)已知條件結(jié)合三角形面積公式和正弦定理即可求a；(2)由余弦定理求出b，再根據(jù)正弦定理即可求出sinA；(3)根據(jù)sinA求出cosA，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，又的面積為，∴，解得，∴；（2）由余弦定理有，∴.由正弦定理.（3）∵B＝150°，∴A＜90°，∴由sinA＝得，，∴，.∴.19．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖：(1)求直方圖中的的值(2)估計(jì)月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)，第80百分位數(shù)．(3)從月平均用電量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]內(nèi)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，求從月平均用電量在[220，240)內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【答案】(1)(2)眾數(shù)、中位數(shù)、第80百分位數(shù)分別為230、224、253.33(3)5【分析】（1）由各組數(shù)據(jù)頻率之和即所有矩形面積之和為1可得答案；（2）由直方圖中最高矩形底邊的中點(diǎn)得眾數(shù)，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊直方圖面積相等、第80百分位數(shù)左邊面積占總面積的，據(jù)此可得答案；（3）利用頻率估計(jì)月平均用電量為的居民在四組中所占比例，即可得答案.【詳解】（1）因直方圖中，各組數(shù)據(jù)頻率之和為所有矩形面積之和為1，則，得.（2）月平均用電量的眾數(shù)是＝230.因前3個矩形面積之和為.前4個矩形面積之和為.則中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，得，即中位數(shù)為224.因?yàn)榍?個矩形面積之和為，前5個矩形面積之和為，則第80百分位數(shù)在[240，260)內(nèi)，設(shè)第80百分位數(shù)為，則，解得，即第80百分位數(shù)約為253.33.（3）月平均用電量為的居民對應(yīng)的頻率為：.又由（2）分析可知，月平均用電量為的四組居民對應(yīng)頻率之和為：.則應(yīng)抽取居民的戶數(shù)為：.20．已知正方體.(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．（2）推導(dǎo)出，平面，，由此能證明平面．【詳解】（1）證明：正方體．，，又，，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）證明：正方體．，平面，平面，，又，平面平面．21．已知函數(shù).(1)求的對稱中心；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若，求的最小值及取得最小值時對應(yīng)的x的取值.【答案】(1)（）(2)最小正周期為；(3)，【分析】（1）利用三角恒等變換和輔助角公式化簡，再求對稱中心即可求解；（2）利用整體代換法可得周期和單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)的范圍利用整體代換法求出最小值及取得最小值時對應(yīng)的x的取值即可.【詳解】（1），由得，，所以對稱中心（）；（2），∵∴∴的最小正周期為，由，，得：，，∴單調(diào)遞增區(qū)間為；（3），∵，∴，∴，∴，即：，此時.∴，.22．如圖所示的兩邊，，設(shè)是的重心，邊上的高為，過的直線與，分別交于