2013年福建高考理科數(shù)學(xué)試題及答案解析版

2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）第I卷（選擇題共50分）．選擇題TOC\o"1-5"\h\z1．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A.第一象限 B?第二象限 C.第三象限 D?第四象限【答案】D【解析】的共軛復(fù)數(shù)，則，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為 D．2．已知集合,,則“是”“的”（ ）B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件）C．D．C.充分必要條件【答案】A【解析】，或3．因此是充分不必要條件．3．雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（A． B．【答案】C【解析】的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線為，即．帶入點(diǎn)到直線距離公式=．4．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績分為 6組：[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（ ）A．A．588 B．480 C．450D．120【答案】B【解析】由圖知道60分以上人員的頻率為后4項(xiàng)頻率的和，由圖知道故分?jǐn)?shù)在60以上的人數(shù)為600*0．8=480人．5．滿足，且關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（ ）D．104個(gè)值．故有4種有序數(shù)對(duì)A．14 BD．104個(gè)值．故有4種有序數(shù)對(duì)【答案】B【解析】方程有實(shí)數(shù)解，分析討論①當(dāng)時(shí)，很顯然為垂直于 x軸的直線方程，有解?此時(shí)可以取②當(dāng)時(shí)，需要44ab0,即.顯然有3個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)不滿足題意，分別為（1,2），（2,1）,2,2).共有4*4=16中實(shí)數(shù)對(duì),故答案應(yīng)為16-3=13.6.閱讀如圖所示的程序框圖,若輸入的,則該算法的功能是（A?計(jì)算數(shù)列的前A?計(jì)算數(shù)列的前10項(xiàng)和B?計(jì)算數(shù)列的前9項(xiàng)和C.C.計(jì)算數(shù)列的前10項(xiàng)和D?計(jì)算數(shù)列的前9項(xiàng)和答案】C解析】第一循環(huán)：,第二條：第三條：……第九循環(huán)：.第十循環(huán)：，輸出S.

根據(jù)選項(xiàng)，，故為數(shù)列的前10項(xiàng)和?故答案A?7?在四邊形ABCD中，，則四邊形的面積為（ ）A? B? C.5 D?10【答案】C【解析】由題意，容易得到?設(shè)對(duì)角線交于 0點(diǎn)，則四邊形面積等于四個(gè)三角形面積之和即S=容易算出AC弱,BD2J5，則算出S=5?故答案即S=8?設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，是的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（ ）A? B.是的極小值點(diǎn)C.是的極小值點(diǎn) D.是的極小值點(diǎn)【答案】D【解析】A?，錯(cuò)誤?是的極大值點(diǎn)，并不是最大值點(diǎn).y軸的對(duì)稱圖像，故應(yīng)是的極大值點(diǎn)x軸的對(duì)稱圖像，故應(yīng)是的極小值點(diǎn)?跟沒有關(guān)系.y軸的對(duì)象，再關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，故應(yīng)是的極大值點(diǎn)x軸的對(duì)稱圖像，故應(yīng)是的極小值點(diǎn)?跟沒有關(guān)系.y軸的對(duì)象，再關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像.故D正確B.數(shù)列為等比數(shù)列，公比為D?數(shù)列為等比數(shù)列，公比為D?是的極小值點(diǎn)?正確?相當(dāng)于先關(guān)于9.已知等比數(shù)列的公比為q，記則以下結(jié)論一定正確的是（ ）A.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為C.數(shù)列為等比數(shù)列，公比為【答案】C【解析】等比數(shù)列的公比為 q,同理可得擻列為等比數(shù)列，故選C10.設(shè)S，T，是R的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從 S到T的函數(shù)滿足：對(duì)任意當(dāng)時(shí)，恒TOC\o"1-5"\h\z有，那么稱這兩個(gè)集合 保序同構(gòu)”.以下集合對(duì)不是 保序同構(gòu)”的是（ ）A. B.C. D.A選項(xiàng)正確;【答案】A選項(xiàng)正確;【解析】根據(jù)題意可知，令，則x（1x3）令f（X） 2 2 ，則B選項(xiàng)正確；8（x1）令，則C選項(xiàng)正確；故答案為D.二.填空題11.利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則時(shí)間“發(fā)生的概率為 【答案】【解析】產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)12.已知某一多面體內(nèi)接于一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖.測(cè)試圖.俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為 2的正方形，則該球的表面積是 【答案】【解析】由圖可知，圖形為一個(gè)球中間是內(nèi)接一個(gè)棱長為 2的正方體，13.如圖中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，則的長為 【答案】【解析】根據(jù)余弦定理可得2214?橢圓：冷與1(ab0)的左.右焦點(diǎn)分別為，焦距為2c,若直線與橢圓 的一ab個(gè)交點(diǎn)M滿足，則該橢圓的離心率等于 【答案】【解析】由直線方程直線與x軸的夾角，且過點(diǎn)即由橢圓的第一定義可得當(dāng)時(shí)，有如下表達(dá)式：兩邊同時(shí)積分得：從而得到如下等式：請(qǐng)根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：【答案】【解析】由兩邊同時(shí)積分得：從而得到如下等式：三.解答題(本小題滿分13分)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲.乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中將可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中將可以得 3分；未中獎(jiǎng)則不得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中將與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品.若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為，求的概率；若小明.小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)的得分的數(shù)學(xué)期望較大？本小題主要考查古典概型.離散型隨機(jī)變量的分布列.數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力.運(yùn)算求解能力.應(yīng)用意識(shí)，考查必然和或然思想，滿分 13分.解：(I)由已知得：小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，兩人中獎(jiǎng)與否互不影響，記這2人的累計(jì)得分”的事件為A，則A事件的對(duì)立事件為“”這兩人的累計(jì)得分的概率為.(n)設(shè)小明.小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為由已知：，他們都在選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大.(本小題滿分13分)已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；求函數(shù)的極值.本小題主要考查函數(shù)．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想．分類與整合思想，數(shù)形結(jié)合思想．化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分13分．解：函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，，在點(diǎn)處的切線方程為，即．(n)由可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為上的增函數(shù)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，由，解得；時(shí)，，時(shí)，在處取得極小值，且極小值為，無極大值．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，無極大值．18．(本小題滿分13分)如圖，在正方形中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．分別將線段和十等分，分點(diǎn)分別記為和，連結(jié)，過做 x軸的垂線與交于點(diǎn).(1)求證：點(diǎn)都在同一條拋物線上，并求該拋物線的方程；過點(diǎn)C做直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，若與的面積比為，求直線 l的方程．本小題主要考查拋物線的性質(zhì)．直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想．函數(shù)與方程思想．滿分 13分．解：(I)依題意，過且與x軸垂直的直線方程為，直線的方程為設(shè)坐標(biāo)為，由得：，即，都在同一條拋物線上，且拋物線E方程為(n)依題意：直線l的斜率存在，設(shè)直線I的方程為由得此時(shí)，直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)：，則又，分別帶入，解得直線l的方程為，即或19．(本小題滿分13分)如圖，在四棱柱中，側(cè)棱，，，，，，．(1)求證：(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求k的值；(3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的棱柱，規(guī)定：若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案．問：共有幾種不同的方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的表達(dá)式(直接寫出答案，不必要說明理由)本小題主要考查直線與直線．直線與平面的位置關(guān)系．柱體的概念及表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力．推理論證能力．運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．分類與整合思想．化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分13分．解：(I)取中點(diǎn)，連接四邊形為平行四邊形且在中，,即，又，所以平面，平面，又，平面(n)以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ，，所以，，設(shè)平面的法向量，則由得取，得設(shè)與平面所成角為 ，則，解得?故所求k的值為1(川)共有種不同的方案(本小題滿分14分)已知函數(shù)的周期為，圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2倍(縱坐標(biāo)不變)，在將所得圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像.求函數(shù)與的解析式；是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由.求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有 2013個(gè)零點(diǎn).本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系. 三角恒等變換.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).函數(shù).函數(shù)的導(dǎo)數(shù).函數(shù)的零點(diǎn).不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想.化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分 14分.解：(I)由函數(shù)的周期為，，得又曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為，故，得，所以將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)(n)當(dāng)時(shí)，，所以sinxcos2xsinxcos2x問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2xsinxsinxcos2x在(一，一)內(nèi)是否有解64設(shè)G(x)sinxsinxcos2x2cos2x，貝UG(x)cosxcosxcos2x2sin2x(2sinx)因?yàn)椋?，?一，)內(nèi)單調(diào)遞增64又，且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在 (一，一)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，64即存在唯一的滿足題意(川)依題意，，令當(dāng)，即時(shí)，，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于 x的方程,現(xiàn)研究時(shí)方程解的情況令，則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點(diǎn)情況，令，得或當(dāng)x變化時(shí)，和變化情況如下表x32仔，2)1當(dāng)且x趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且x趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且x趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且x趨近于時(shí)，趨向于故當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有無交點(diǎn)，在內(nèi)有 2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)由函數(shù)的周期性，可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)，使得直線與曲線在內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有 3個(gè)交點(diǎn)，由周期性，，所以綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)(本題滿分14分)(1)(本小題滿分7分)矩陣與變換已知直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€.求實(shí)數(shù)的值；若點(diǎn)在直線I上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).本小題主要考查矩陣.矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分7分.解：解：(I)設(shè)直線上任意一點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是由，得又點(diǎn)在I上，所以，即依題意，解得(n)由，得解得又點(diǎn)在直線I上，所以故點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)(本小題滿分7分)坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系?已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線I的極坐標(biāo)方程為，且點(diǎn)在直線I上.求的值及直線I的直角坐標(biāo)方程；圓c的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，試判斷直線I與圓的位置關(guān)系.本小題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化?圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)?考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分.解：(I)由點(diǎn)在直線上，可得所以直線丨的方程可化為從而直線丨的直角坐標(biāo)方程為(n)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為所