線性空間試題

向量空間判斷題(1)平面上全體向量對(duì)于通常的向量加法和數(shù)量乘法：ka=a,keR,作成實(shí)數(shù)域R上TOC\o"1-5"\h\z的向量空間. ().平面上全體向量對(duì)于通常的向量加法和數(shù)量乘法：k匕二0,keR,作成實(shí)數(shù)域R上的向量空間. ().—個(gè)過原點(diǎn)的平面上所有向量的集合是V的子空間.° ().3所有n階非可逆矩陣的集合為全矩陣空間M(R)的子空間. ().n⑸｛(x,x, ,x)1￡x=1,xeR｝為Rn的子空間. ().2n iii=1所有n階實(shí)反對(duì)稱矩陣的集合為全矩陣空間M(R)的子空間. ().… n｛(x,0, ,0,x)1x,xeR｝為Rn的子空間. ().1 n1n(8)若a,a,a,a是數(shù)域F上的4維向量空間V的一組基，那么a,a,a+a,a+a1 2 3 4 1 2 2 3 3 4是V的一組基. ().⑼n維向量空間V的任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成V的一個(gè)基. ().,an().(10)設(shè)a,a, ,a是向量空間V中n個(gè)向量，且V中每一個(gè)向量都可由a,,an().2線性表示，則a1,a2, ,an是V的一組基.(11)設(shè)a1(11)設(shè)a1,a2,,an是向量空間V的一個(gè)基，如果卩J卩2,,卩n與a1,a2,,an等價(jià),則).).).).卩1,卩2,,卩n也是V的一個(gè)基.(13)設(shè)V1,V2,,Vs為n維空間V的子空間,V=V+V12.若dimV+dimV+ +dimV=n則V+(13)設(shè)V1,V2,,Vs為n維空間V的子空間,V=V+V12.若dimV+dimV+ +dimV=n則V+V+ +V為直和12s12s().(14)設(shè)V1,V2,,Vs為n維空間V的子空間,且V=V+V+12VV=0,(V+V)V=0, ,(V+V+ +V)V=0,1 2 1 2 3 1 2 S-1 sn…n… …n則V+V+12+V為直和.s().(15)設(shè)V,V,12,V為n維空間V的子空間,且V=Vi+V2+VcV)={0},i j().(15)設(shè)V,V,12,V為n維空間V的子空間,且V=Vi+V2+VcV)={0},i j *(16)設(shè)V,V, ,V為n維空間V的子空間，且1 2 s …則Vi+V2+ +Vs為直和.V=V+V+12).V(V)={0},i豐j,則V+V+ +V為直和.I j 'C 「n(17)設(shè)V,V,1212).的，則匕+V+,V為n維空間V的子空間，且V=V+V+s12+V.零向量表法是唯s+V為直和.s().(18)設(shè)a,a,12基是f(a1),f(a2),,f(an).().設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，若向量空間V與W同構(gòu)，那么W也是數(shù)域F上().???的n維向量空間. ().把同構(gòu)的子空間算作一類，n維向量空間的子空間能分成n類. ().答案(1)錯(cuò)誤(2)錯(cuò)誤(3)正確(4)錯(cuò)誤(5)錯(cuò)誤(6)正確(7)正確(8)正確(9)正確(10)錯(cuò)誤(11)正確(12)錯(cuò)誤(13)正確(14)正確(15)正確(16)錯(cuò)誤(17)正確(18)正確(19)正確(20)錯(cuò)誤填空題(1)全體實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)矩陣的 作成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.全體正實(shí)數(shù)的集合R+，對(duì)加法和純量乘法a十b=ab,ka=ak,構(gòu)成R上的向量空間.則此空間的零向量為___.全體正實(shí)數(shù)的集合R+，對(duì)加法和純量乘法a十b=ab,koa=ak,構(gòu)成R上的向量空間.則agR+的負(fù)向量為 .全體實(shí)二元數(shù)組對(duì)于如下定義的運(yùn)算:(a,b)十(c,d)=(a+c,b+d+ac),k(a,b)=(ka,kb+ a2),構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.則此空間的零向量為__.全體實(shí)二元數(shù)組對(duì)于如下定義的運(yùn)算:(a,b)十(c,d)=(a+c,b+d+ac),k(a,b)=(ka,kb+k(；?a2),TOC\o"1-5"\h\z構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.貝i」(a,b)的負(fù)向量為 .數(shù)域F上一切次數(shù)＜n的多項(xiàng)式添加零多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間F[x]維數(shù)等于 .n任一個(gè)有限維的向量空間的基 的,但任兩個(gè)基所含向量個(gè)數(shù)是 .復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的向量空間，維數(shù)等于 ,它的一個(gè)基為 .復(fù)數(shù)域C看成它本身上的向量空間，維數(shù)等于 ,它的一個(gè)基為 .實(shí)數(shù)域R上的全體n階上三角形矩陣，對(duì)矩陣的加法和純量乘法作成向量空間，它的維數(shù)等于 .向量2=(0,001)關(guān)于基J=(1丄0,1)心=(2丄3,1),a=(1丄0,0)1 2 3a=(。丄一1，—1)的坐標(biāo)為4x2+2x+3關(guān)于F[x]的一個(gè)基x3,x3+x,x2+1,x+1的坐標(biāo)為3三維向量空間的基J=(1,1,0),a=(1,0,1),則向量卩=(2,0,0)12在此基下的坐標(biāo)為 .V和W是數(shù)域F上的兩個(gè)向量空間,V到W的映射f滿足條件 ,就叫做一個(gè)同構(gòu)映射.數(shù)域F上任一n維向量空間V都與向量空間 同構(gòu).設(shè)V的子空間W,W,W,有WW=WW=WW=0,則W+W+W1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 直和. n n n答案(1)加法和數(shù)量乘法(2)1(3) ⑷(0,0)(5)(-a,a2-b)(6)n+1(7)不唯一，相a等(8)2;1,i(9)1;1(10) (11)(1,0,-1,0)(12)(0,0,1,2)(13)(1,1,-1)(14)f是V到W的雙射；對(duì)任意a,卩&V,fQ+卩)=f(a)+f(卩)；對(duì)任意

agF,agV,f(aa)=af(a) (15)F(16)不一定是簡(jiǎn)答題(1)設(shè)V=M(R)?問下列集合是否為V的子空間，為什么？n所有行列式等于零的實(shí)n階矩陣的集合W；1所有可逆的實(shí)n階矩陣的集合W；2⑵設(shè)L(R)是實(shí)數(shù)域R上所有實(shí)函數(shù)的集合，對(duì)任意f,ggL(R),九gR,定義(f+g)(x)二f(x)+g(x),(九f)(x)二九f(x),xgR對(duì)于上述運(yùn)算L(R)構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上向量空間.下列子集是否是L(R)的子空間？為什么?所有連續(xù)函數(shù)的集合叫；所有奇函數(shù)的集合W；2W=｛fIfgL(R),f(0)=f(1)｝；3(3)下列集合是否為Rn的子空間？為什么？其中R為實(shí)數(shù)域.1)W={a=(x,x,112,x)Ix+x+ +x=1)W={a=(x,x,112n1 2 ni2)W={2)W={a=(x,x,212,x)|xxn12x=0,xgR}；ni,x)I每個(gè)分量x是整數(shù)｝；ni⑷設(shè)A,X,b分別為數(shù)域F上mXn,nx1,mx1矩陣，問AX=b的所有解向量是F上的???向量空間嗎？說明理由.(5)下列子空間的維數(shù)是幾？L((2,—3,1),(1,4,2),(5,—2,4))匸R3；L(x一1,1—x2,x2一x)匸F[x]實(shí)數(shù)域R上mxn矩陣所成的向量空間M (R)的維數(shù)等于多少？寫出它的一個(gè)基.mxn實(shí)數(shù)域R上，全體n階對(duì)稱矩陣構(gòu)成的向量空間的維數(shù)是多少？若a,a, ,a是數(shù)域F上n維向量空間V的一個(gè)基1 2na+a,a+a, ,a+a,a+a也是V的一個(gè)基嗎?1223 n-1nn1⑼x—1,x+2,(x—l)(x+2)是向量空間F[x]的一個(gè)基嗎？2(10)取R4的兩個(gè)向量a=(1,0丄0),a=(1,—1,2,0).求R4的一個(gè)含a,a的基.1212(11)在R3中求基a=(1,0,1),a=(1,1,—l)，a=(1,—1,1)到基1 2 3卩二(3,0,1),卩二(2,0,0),卩二(0,2,—2)的過渡矩陣.1 2 3(12)在中F4求向量量=心丄W1是L(R)的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的和及數(shù)乘連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù))關(guān)于基叮(口丄叫二(1丄—】,—D,叮(1,-W1是L(R)的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的和及數(shù)乘連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)a二(1,—1,—1,1)的坐標(biāo).4(13)設(shè)W1表示幾何空間V3中過原點(diǎn)之某平面斗的全體向量所構(gòu)成的子空間,W2為過原點(diǎn)之某平面n2上的全體向量所構(gòu)成的子空間，則WW與W+W是什么？W+W能不121212TOC\o"1-5"\h\z能是直和？ n(14)設(shè)W二L(a,a,a),W二L(P,卩),求WW和W+W.其中1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2a二(1,2,—1,—2),a二(3,1,1,1)a二(—1,0,1,1)P卩=(2,5,—6,5),卩=(—1,2,—7,3).1 2 3 1 2(15)證明數(shù)域F上兩個(gè)有限維向量空間同構(gòu)的充分必要條件是它們維數(shù)相等(ab)設(shè)V={ Ia,b,cgR},W={(d,e)Id,egR},都是實(shí)數(shù)域R的向量空間.問V與lbc丿W是否同構(gòu)？說明理由.設(shè)a,a, ,a為向量空間的一個(gè)基，令卩二a+a+ +a,i二1,2, ,n且1 2 n i 1 2 iW二L(卩).證明V二W十W十十W.i i 1 2 n答案(1)1)W1不是V的子空間.若A,BG吟A+B1若未必等于零，W1對(duì)加法不封閉.2)W不是V的子空間.因?yàn)锳gW,IAIh0,則I—AIh0,但I(xiàn)A+(—A)I=0,對(duì)加法不封23閉.W2是L(R)的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)奇函數(shù)的和及數(shù)乘奇函數(shù)仍為奇函數(shù).W是L(R)的子空間.因?yàn)閃非空，且對(duì)任意f,geW,九wR,有3 3(f+g)(0)=f(0)+g(0)=f(D+g(1)=(f+g)(1)；九f(0)赫(f(0))=九(f(1))=(Xf)(1),故f+g,XfeW.3(3)是.因W是齊次方程組x+x+ +x=0的全體解向量.112nW不是Rn的子空間.因W對(duì)加法不封閉.22???W不是子空間.因?qū)?shù)乘運(yùn)算不封閉.3⑷當(dāng)b豐0時(shí)，AX=b的所有解向量不能構(gòu)成F上的向量空間.因n維零向量不是AX=b的解向量.當(dāng)b=0時(shí),AX=0的所有解向量能構(gòu)成F上的向量空間.(5)維數(shù)是2.因(2,—3,1),(1,4,2)線性無關(guān)，而(5,-2,4)=2(2,-3,1)+(1,4,2).維數(shù)是2.因易證x—1,1-x2線性無關(guān)，但(x—1)+(1—x2)+(x2—x)=0.解令E表示i行j列位置元素是1其余是零的mxn矩陣.那么易證E這mxn個(gè)矩ij ij陣是線性無關(guān)的.它們作成M (R)的一個(gè)基，故M (R)的維數(shù)是mxn.mxn mxnE,E+E,i,j=1,2,3, ,n,i豐j,為全體n階對(duì)稱矩陣構(gòu)成的向量空間的一個(gè)基,iiijji其中共有n+1+2+ +(n-1)個(gè)向量，故此向量空間的維數(shù)巴.???解由???(a+a, ,a +a,a+a)=(a,a, ,a)A.TOC\o"1-5"\h\z1 2 n-1 nn1 1 2n得IA1=1+(-1)n+1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，IA1=0,故a+a,a+a,a+a線性相關(guān)，它不構(gòu)1 2 2 3n1??????成基.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，I AIh 0,故a +a,a +a ,a +a線性無關(guān)，它構(gòu)成一個(gè)基.\o"CurrentDocument"1 2 2 3n1(9)解在基1,x,x2之下有

'-12-2(x一1,x+2,(x一1)(x+2))=(1,x,x2) 111.<001丿因上式右方的3階矩陣為可逆，所以x-1,x+2,(x-1)(x+2)線性無關(guān)，它是篤國的一個(gè)基.(10)解取向量e=(0,0,1,0),￡=(0,0,0,1),由于3411000-100=-1豐0,12100001因此a,a,￡,￡線性無關(guān)，所以向量組是R4的一個(gè)基.TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4(11)解由(a,a,a)=(￡,￡,￡)A,(卩，卩，卩)=(￡,￡,￡)B

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3推出(卩,卩，卩)=(a,a,a)A-1B1 2 3 1 2因此所求過渡矩陣為'01'011A-1B=1012一21-1--1(2一2丿'320、'100、002=111<10-2丿1-1丿(12)解取F4的標(biāo)準(zhǔn)基￡,￡,￡,￡.由￡,￡,￡,￡到a,a,a,a的過渡矩陣為1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4卩111]11-1-1A=1-11-1J-1-11丿于是g=(1,2,1,1)關(guān)于基a,a,a,a的坐標(biāo)為1234

5]A-iA-ir1]21<1丿141—‘‘41「4丿(13)解由于W1,W2皆過原點(diǎn)，它們必相交，因此或重合，或不重合.若W1與W2重合，則WW=W,W+W=W.若W與W不重合，則WW為一條過原點(diǎn)的直線，而1211211212W+W二V,但W+W不能是直和. "1212解設(shè)丫二ka+ka+ka=t卩+1卩uWW為交空間的任意向量.由1122331122 12ka+ka+ka一tJ3一tJ3=0,1122331122得齊次線性方程組k+3k一k一2t+1=0TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 122k+k一5t一2t=0<1212一k+k+k+6t+7t=01 2 3 1 2—2k+k+k一5t一3t=01 2 3 1 2由行初等變換知方程組的系數(shù)矩陣的秩為4，解空間的維數(shù)為1，且求得方程組的一般解為4896k=一_t,k=一_t,k=一_t,k=一_t因此維(WW)=1,維(W+W)=4.1 72 2 72 3 72 4 72 1 2 1 2取t=7,令g=—6卩+7卩便有WW=L(g),另外顯然W+W=L(a,a,a,卩).2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1n證明設(shè)數(shù)域F上兩個(gè)有限維向量空間V與W的維數(shù)均為n,因V蘭Fn,W蘭Fn所反之，若V=W,設(shè)dimV=n>0,且f是V到W的同構(gòu)映射.取V的一個(gè)基a,a, ,a,易證f(a),f(a), ,f(a)是W的一個(gè)基，故dimW=n.1 2 n 1 2 n(16)V與W不同構(gòu).因dimV=3,dimW=2,V與W的維數(shù)不相等.(17)證明任取aG(17)證明任取aGV，若—a1a1+a2a2+22+aa,那么nn一a)P+(an2 n—1a=(a一a一a)P+(an2 n—11 2 n1 2 3因此V二氣+%++Wn,并且V中向量依諸叫表示唯一，故

V=W十W十十W12n四計(jì)算題⑴設(shè)由a=(1,2,2,-2),a=(-1,3,0,—l),a=(2,-1,一2,5),生成R4的子空間W?試1 2 3從向量組0=(3,1,0,3),0=(2,-1,0,3),0=(3,-4,-2,16),0=(1,7,4,-15)中找出W1 2 3 4的生成元.(1)解以a,a,(1)解以a,a,a及0,0,0,0為列做成矩陣A,在對(duì)A的行施行初等變換.r1-1232323-1:1-1-4A=?20-2:0?0-2「2-15：3?316:1001010:0?001:1?<000:0?由于行初等變換不改變列向114231231]74-15丿1/202、-1/2-11=B1/210-400丿間的線性關(guān)系.由矩陣B知，0=a+a,0=-a+a,0=2a+a從而L(0,0,0)匸W.但由B還知0,0,01 1 3 3 2 3 4 1 2 1 3 4 1 3 4線性無關(guān)，故01,03,04為W的一組生成元.(2)在向量空間R4中,求由向量a=(2,1,3,-1),a=(4,5,3,-1),a=(-1,1,-3,1)1 2 3a4=(1,5,-3,1)生成的子空間的一個(gè)基和維數(shù).(2)解對(duì)下述矩陣施行行的初等變換:2 4 -11、:0 -6 -3 -9、1 5 1515 153 3 -3-30-12 -6 -18j-1 -1 11丿、0 4 2 6丿r0000、13020000?j0213丿此變換保持列向量間的線性關(guān)系,由右方矩陣知a1,a3是一個(gè)極大無關(guān)組,因此

皿凡,3，匕）的維數(shù)實(shí)是2，而巴巴是它的一個(gè)基.⑶在R4中求出向量組巴巴巴巴,汽的一個(gè)極大無關(guān)組,然后用它表出剩余的向量.這里a二（2,l,3,l）,a二（1,2,0,1）,a二（一1,1,—3,0）,a二（1,1,1,1）卩二（0,12,—12,5）.1 2 3 4 5（3） 解對(duì)下述矩陣施行行的初等變換'21—112130—310、'21—112130—310、1121 —12(1—1—3—11—30 —5'—12—1—121110 15丿I1 1 0—3'‘00013'2T—10105—6000005丿<11002丿1‘0 0 0 —1—1 0 1 —10 0 0 —21101由右方矩陣知a2,a3,a4是一個(gè)極大無關(guān)組，并且有a=a—a,a二2a+5a+3a1 2 3 5 2 3 4求M(F)中與矩陣A可交換的矩陣構(gòu)成的子空間的維數(shù)及一個(gè)基，其中3'100、A=010.<312>⑷解設(shè)這個(gè)子空間為W,由于A=I+B,這里‘000、B=000<311丿因此與A可交換的3階方陣,就是與B可交換的3階方陣,從而W={XgM(F)1BX=XB}3TOC\o"1-5"\h\z任取CgW,C=(c)由BC=CB可得c=c=0,3c+c+c=3c,ij 13 23 11 21 31 333c+c+c=c，于是CgW當(dāng)且僅當(dāng)C的元素為齊次線性方程組12 22 32 33fc=—3c—c+3c< 21 11 31 33Ic=—3c—c+c22 12 32 33

'100、‘010、‘000'-3000-30-100、000丿、000?<10 0丿‘000、‘000、0-10310<01 0><001丿它們構(gòu)成W的一個(gè)基，故W的維數(shù)是5.求實(shí)數(shù)域上關(guān)于矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間V的一個(gè)基與維數(shù)?其中‘11‘1 1A2=①2,A3=1<1丿易證I,A,A2線性無關(guān).于是任何多項(xiàng)式f(A)(f(x)eR[x])皆可由I,A,A2線性表示，故I,A,A2為的一個(gè)基，dimV二3.(6)設(shè)(x,x,x,x)為向量g關(guān)于基a=(1,O,O,1),a=(0,2,1,0),a二(0,0,1,1),1 2 3 4 1 2 3‘y11‘10001‘x11y-1100x2=2y0-110x331y丿4<0-101丿1x丿4=P"4=(O'0'2'1)的坐標(biāo)；(yi,y2,y3,y4)是E關(guān)于基卩J卩2,卩3,卩4的坐標(biāo)，其中廿=P‘x11‘y11⑹解因E=(a,a,a,a)x2=(p,p,p,p)y21234x1234y331x丿41y丿4且(X)1打=X2-X,y1-3二x3-x2,y4二x4-x2.求基卩1,卩2’卩3,卩4°X2X3IX丿4

rx)1rx)1x2=(P1,P2,P3,P4)Px2x1234x33,x丿,x丿(a,a,a,a)1234(a,a,a,a)=(P,P,P,B)P,即12341234于是(P,P,P,P)=(a,a,a,a)P-1于是12341234故所求的基為P=(12,4,3),P=(0,2,4,2),P=(0,0,1,1),P=(0,0,2,1).1 2 3 4⑺設(shè)a1?巴是n維向量空間V的一個(gè)基，a1,a1+a2,,a1+a2++S也是V的一個(gè)基，又若向量g關(guān)于前一個(gè)基的坐標(biāo)為(n,n-1,,2,1),求g關(guān)于后一個(gè)基的⑺解基a1,⑺解基a1,a2,,a到后一個(gè)基的過渡矩陣為n廠1 1 1 1'0 1 1 1P=???0011,00…01丿那么n-1y2=P-1???n-1y2=P-1???(1???00,0-11.0.00-1.0.00 n-1-1丿,1丿故g關(guān)于后一個(gè)基的坐標(biāo)為(1丄,1).(8)已知R3的一個(gè)基為a=(1,1,0),a=(0,0,2),a=(0,3,2).求向量g=(5,8,—2)123關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo). …(8)解設(shè)g=xa+xa+xa,的方程組112233x=51<x+3x=8132x+2x=—223解得x=5,x=—2,x=1.故g關(guān)于基a,a,a的坐標(biāo)(5,—2，1).123123

(9)已知a=(2,1,-1,1),a=(0,3,l,0),a=(5,3,2,1),a=(6,6,1,3)是R4的一個(gè)基.1 2 3 4求R4的一個(gè)非零向量g,使它關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)與關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)相同.⑼解由標(biāo)準(zhǔn)基SB2,B⑼解由標(biāo)準(zhǔn)基SB2,B3,B.到基a,a2,a，a的過渡矩陣為1234廠2103536、6P=-1121<1013丿14設(shè)g關(guān)于兩個(gè)基的坐標(biāo)為(x1,x2,x3,x4),則(--、xx11xx2=P2xx331xJ1x丿44即得齊次線性方程組x+5x+6x=0TOC\o"1-5"\h\z1 3 4x+2x+3x+6x=0< 13 3 4一x+x+x+x=01 2 3 4x+x+2x=01 3 4解得x1=x2=x3=巧，令x4=k豐0,k￡R,則g=(一k ,k)即為所求.=(5,3,2,1)a4=(6,6,1,3).(10)已知R4的一個(gè)基a==(5,3,2,1)a4=(6,6,1,3).1 2 3求g=(x1,x2,x3,x4)關(guān)于基ara2,a3,a4的坐標(biāo).(10)解由標(biāo)準(zhǔn)基到所給基的過渡矩陣為廠2103536、6P=-1121<1013丿那么xx11g=(s,￡,￡,￡)xx2=(a,a,a,a)P-121234x1234x331x丿41x丿4故g關(guān)于基a1,a2,a3‘a(chǎn)4的坐標(biāo)為(y1,y2,y3,y4),這里

-1—1/31/3-11/9\--1—1/31/3-11/9\-23/27-2/326/27八'x、1x2X3X丿4五證明題⑴設(shè)W,W為向量空間V(F)的兩個(gè)子空間.12證明：WW是V的子空間.12WW是否構(gòu)成V的子空間，說明理由.12GWWGWW，kGF，易知12a+agWW，kagW%，故WW是V的子空間.1212112122）不一定.當(dāng)W匸W121）顯然0&"1W2,即"1W2"，任取H，a2匸W時(shí)，WW是V的子空間.但當(dāng)W與W互不包含時(shí)，11212WW不是V的子空間.因?yàn)榭偞嬖赼GW，J電W及agW，J電W使1211122221Ua，agWW，而a+a電WW，因?yàn)檫@時(shí)a+a電W，a+a電W，否則與選取12121212121122矛盾. U u(2)設(shè)W，W為向量空間V的兩個(gè)子空間.證明：W+W是V的即含W又含W的最小121212子空間.(2)證明易知W+W二｛a+aIagW，agW｝為V的子空間，且12121122W匸W+W，W匸W+W.112212設(shè)W為V的包含W與W的任一子空間，對(duì)任意￡GW，￡GW，有￡+￡GW，即12112212W+W匸W，故W+W是V的即含W又含W的最小子空間.121212⑶設(shè)W，W為向量空間V(F)的兩個(gè)子空間.a，卩是V的兩個(gè)向量，其中aGW，但122a纟W，又卩纟W.證明：121)對(duì)任意kGF，卩+kagW；2

2)至多有一個(gè)keF,使得卩+kagW.1(3)證明任意kgF,若卩+kagW,則卩二(卩+ka)-kagW矛盾，故1)成立.22當(dāng)卩gW時(shí)，僅當(dāng)k=0時(shí)，有卩+kaeW；當(dāng)卩纟W時(shí)，若存在k,keF,k豐k1111212使得a=卩+kagW,a=卩+kaeW,則a-a=(k-k)aeW,因此aeW,矛111221121211盾,故2)成立.W匸W.21(4)證明a+a(a121gW,a1a+agW122因WW含W121gW)U勺向量，因?yàn)閃+W=WW221212uW匸W.21(4)證明a+a(a121gW,a1a+agW122因WW含W121gW)U勺向量，因?yàn)閃+W=WW221212u與W2中所有向量,W+W含一切形如12,所以a1+a2gW1或若a+agW,令a+a二卩,則a二卩-a,故W匸W；若a+aeW,令121122121122a嚴(yán)2F,則ai=Y-a2,故W1匸W2.⑸證明：n維向量空間V中，任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可作為V的一個(gè)基.TOC\o"1-5"\h\z證明設(shè)a,a, ,a是V中線性無關(guān)的向量，取V的單位向量S￡, ,￡,則1 2n 1 2nV二L(￡,￡, ,￡),且a,a, ,a中每一個(gè)可由￡,￡, ,￡線性表示.由替換定理知1 2n 1 2n 1 2n??????a,a, ,a與￡,￡, ,￡等價(jià)，所以V中每一個(gè)向量可由a,a, ,a線性表示，又1 2n1 2n 1 2n?????????a,a, ,a線性無關(guān)，故a,a, ,a可作為V的一個(gè)基.1 2n 1 2n?????????設(shè)V為n維向量空間，V中有m組線性無關(guān)的向量，每組含t個(gè)向量，證明：V中存在n-1個(gè)向量與其中任一組組成V的一個(gè)基.(6)證明設(shè)V中m組線性無關(guān)的向量分別為a,a, ,a(i二1,2, ,m),t<n.令TOC\o"1-5"\h\zi1i2 itV=L(a,a, ,a),則dimV=t<n.因存在g電V,(i=1,2, ,m),使i i1i2 it i 1i??????a,a, ,a,g線性無關(guān)，若t+1<n，令V/=L(a,a, ,a,g)，則V/也為V的非平i1i2 it1 i i1i2 it1 i

凡子空間，同理存在g=V—V/,i=1,2, ,m,而且a,a, ,a,g,g線性無關(guān)，如此2 i i1 i2 it12繼續(xù)下去，可找到g,g, ,g使得a,a, ,a,g,g, ,g線性無關(guān)，故對(duì)每個(gè)i,1 2 n—t il i2 it12 n—t它們都是V的一個(gè)基. … …(7)設(shè)n維向量空間V的向量組a,a, ,a??的秩為r,使得ka+ka+ +ka=01 2 n 1 1 2 2 nn全體n維向量(k,k, ,k)的集合為W.證明W是Fn的n—r維子空間.1 2 n(7)證明顯然D1"W,a2,,an)=r,今設(shè)每々ai在W,a2, ,T的某個(gè)基下的坐標(biāo)為(aii[a][a]=iai2,i=1,2,,na?ir那么由ka+ka+ +ka=0可得1 1 2 2 nnk[a]+k[a]+ +k[a]=0.1 1 2 2 nn它決定了一個(gè)含n個(gè)未知量ki,k2, ,kn,r個(gè)方程的齊次線性方程組，其系數(shù)矩陣([ai],[a2], ,[an])的秩為r，故解空間即W的維數(shù)為n-r-(8)設(shè)a,a, ,a是數(shù)域F中n個(gè)不同的數(shù)，且f(x)=(x—a)(x—a) (x—a).證明TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 n???多項(xiàng)式組/(x)='")(i=1，2，,n)是向量空間F[x]的一個(gè)基.「…(x—a) n—1 …i⑻證明因dimF[x]=n,所以只需證f,f,f線性無關(guān).設(shè)有k,k, ,keF,n—1 12 n 12 n使(*)kf+kf+ +kf=0?-(*)1 2 2 nn由f(a)=0,i豐j,f(a)豐0,因此將a帶入(*)得kf(a)=0,從而k=0,(i=1,2, n)ji ii i iii i???故f,f,f線性無關(guān)，為F[x]的一個(gè)基.1 2 n n—1⑼設(shè)W是Rn的一個(gè)非零子空間，而對(duì)于W的每一個(gè)向量(a1，a2,，an)來說，或者a1=a2= =an=0,或者每一個(gè)ai都不等于零?證明：dimW=1.⑼證明由W非零，我們總可以取卩=(b,b, ,b)eW,且卩H0,那么每個(gè)b豐0且1 2 n i

卩線性無關(guān).今對(duì)任意"=(a,a, ,a)eW,若a=0當(dāng)然a可由卩線性表示；若a豐02n而a-牛W,由于其第一個(gè)分量為0,由題設(shè)知a=學(xué)卩.故卩可作為W的一個(gè)基,b … b11且dimW=1.(10)證明：x2+x,x2-x,x+1是F[x]的一個(gè)基，并求2x2+7x+3關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo).2(10)證明：dimF[x]=3,x2+x,x2-x,x+1由基1,x,x2表示的演化矩陣為2廠0 0 1、A=1-11但A可逆，故x2+x,x2-x,x+1是F[x]的一個(gè)基.22x2+7x+3關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)(3,-1,3),因?yàn)椤?、‘3、A-17二-1<2丿<3丿(11)若W1,W2,W3都是V的子空間，求證:W((W W)+W)W((W W)+W)=(WW)+(WW)11231213(11)證明□任意aeW((W W)+W),則aeW,且ae(WW)+W,2 3 1 1 2 3,但aeW,知aeWW,故"1 3 1 3n1 ((W11a=a+a,aeW W^aeW1 3 1 1 2 3 3ae(W W)+(W“W)1213反之，任意Pe(W W)+(W W),1213PeW且Pe(W W)+W故PeW1 1 2 3 1卩=卩+卩,peWW,卩eW2211211((WW)+W)"123(12)設(shè)W,W, ,W是n維向量空間V的子空間"如果W+W+12因此W3,則n+W為直和.s證明:證明:WW={0},i豐j,i,j=1,2, ,s.ijn… …(12)證明：由W+W+ +W為直和，有W1 2 s i(工W)={0},i豐j,i,j=1,2, ,s,而n旳J …WW匸WCW)二{0},i豐ji,j二1,2, ,s.故TOC\o"1-5"\h\zi j i jn n呵 …WW={0},/主j,i,j=1,2, ,s.ijn …(13)設(shè)W,W分別是齊次線性方程組x+x+ +x=0與x=x= =x的解空間.1212n12n證明：F=W+W.12??????(13)證明因x+x+ +x=0的解空間的維數(shù)為n-1,且一個(gè)基為TOC\o"1-5"\h\z1 2 na=(—1,1,0, ,0),a=(-1,0,1,0, ,0), ,a =(-1,0, ,0,1),又x=x= =x1 2 n-1 1 2 n???即方程組x.—x=0 ... ... ... ...12x—x=023x—x=0

n—1 n的系數(shù)矩陣的?秩為n—1,其解空間的維數(shù)為1,且一個(gè)基為卩=(1,1,,1),但a,a,a,卩線性無關(guān)，它是Fn的一個(gè)基，且dimF=dimW+dimW,故12 n—1 1 2???Fn=W+W.12???(14)證明每一個(gè)n維向量空間都可以表成n個(gè)一維子空間的直和.證明：設(shè)a,a, ,a是n維向量空間V的一個(gè)基，那么L(a),L(a), ,L(a)TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 n都是一維子空間.顯然V=L(a)+L(a?)+ +L(a) …1 2 n于是由V中向量在此基下表示唯一，立得結(jié)論.證明n維向量空間V的任意一個(gè)真子空間都是若干個(gè)n—1維子空間的交.,a為W的一個(gè)基，將其擴(kuò)充為V的s(15)證明：設(shè)W,a為W的一個(gè)基，將其擴(kuò)充為V的s12一個(gè)基a,a, ,a,a, ,a,那么令TOC\o"1-5"\h\z1 2 s s+1 nW=L(a,a,,a,a, ,a ,a , ,a)i 1 2 s s+1 s+i—1 s+i+1 n于是這些W,i=1,2,n—s,均為n—1維子空間，且W=WW W.i 1 2 n—s?????????nn---n(16)設(shè)f:VtW是數(shù)域F上向量空間V到W的一個(gè)同構(gòu)映射，V1是V的一個(gè)子空間.證明：f(￡)是W的一個(gè)子空間.證明：因f(0)ef(匕)，所以f(V)非空.對(duì)任意a/,卩/&f(匕)，由于f是匕到/(V)的滿射，因此存在a,peV],使f(a)=a/,f(卩)=卩/,對(duì)任意a，beF,有aa+bPeV,于是f(aa+bP)=af(a)+bf(P)=aa/+bP/ef(V),故f(V)是W111的一個(gè)子空間.證明：向量空間F[x]可以與它的一個(gè)真子空間同構(gòu).證明：記數(shù)域F上所有常數(shù)項(xiàng)為零的多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間V,顯然Vuf[x],且V中有形式xf(x),這里f(x)eF[x].定義a:F[x] V;f(x)Txf(x),顯然o是F[x]到V的雙射，且對(duì)于任意f(x辱(x)eF[x],a,beF,a(af(x)+bg(x))=x(af(x)+bg(x))=axf(x)+bxg(x)=ao(f(x))+ba(g(x))故o是F[x]到V的同構(gòu)映射.從而V是F[x]的一個(gè)真子空間，F(xiàn)[x]二V.設(shè)a,P是復(fù)數(shù)，V={f(x)eR[x]lf(a)=0},W={g(x)eR[x]lg(P)=0},證明：V,W是R上的向量空間，并且V=W.證明：易證V,W是R上的向量空間，設(shè)V中次數(shù)最低的多項(xiàng)式為h(x),則對(duì)任意f(x)eV,都有s(x)eR[x],使f(x)=h(x)s(x),因此V={h(x)s(x)Is(x)eR[x]}同理，設(shè)W中次數(shù)最低的多項(xiàng)式為k(x),則W={k(x)s(x)Is(x)eR[x]}.定義o:h(x)s(x) k(x)s(x)易證o是V到W的同構(gòu)映射，故V=W.I~~y證明實(shí)數(shù)域R作為它自身上的向量空間與全體正實(shí)數(shù)集R+對(duì)加法：a十b=ab,與純量乘法：ka=ak構(gòu)成R上的向量空間同構(gòu).(19)證明：定義o:x ax(a>1)oI

顯然c是R到R+的映射.x,yeR,若x豐y,則ax主ay,所以c為單射；任意beR+,因b=a嗚,logbeR,則c(logb)=b,即c為滿射.從而c為雙射.aa任x,yeR,c(x+y)=ax+y=axay-ax十a(chǎn)y-c(x)十c(y).任keR,c(kx)—akx—(ax)k—kax—kc(x),于是c是R到R+的同構(gòu)映射.故R=R+.o o(20)設(shè)V是數(shù)域F上無限序列(a,a,)的集合，其中aeF,并且只有有限a不是零.12iiV的加法及F中的數(shù)與V中元的純量乘法同F(xiàn)n,則V構(gòu)成F上的向量空間.證明：V與???F[x]同構(gòu).(20)證明：取F[x]的一個(gè)基1,x,x2,,則F[x]中任一多項(xiàng)式f(x)—a+ax++axn0 1 n關(guān)于這個(gè)基有唯一確定的坐標(biāo)4ai, ,a”,0, )eV.定義c:f(x) (a°,ai, ,a”，0，)則c是F[x]到$的一個(gè)同構(gòu)映射，故F[x]=V.向量空間自測(cè)題一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分)1?設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r<n,則方程組()?有r個(gè)解向量線性無關(guān). B?的基礎(chǔ)解系由r個(gè)解向量組成C.心有非零解. D.的任意r個(gè)線性無關(guān)的解向量是它的基礎(chǔ)解系．2．設(shè)x1,x2,x3,x4是AX=b的解,則下列向量( )仍是AX=b的解．A．A．x+x+x+x1234B?x-x+x-x1234C．3C．3x-x+2x-3x1 2 3 4D．-x+4x+x-5x1 2 3 4TOC\o"1-5"\h\z已知a,a,a是AX=0的基礎(chǔ)解系，貝9( )123A.a,a,a線性相關(guān) B.a,a,a線性無關(guān)1 2 3 1 2 3C.a+a,a+a,a+a線性相關(guān). D.a+a,a+a,a+a不構(gòu)成1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1基礎(chǔ)解系.a,a，…,a是AX=0的基礎(chǔ)解系.則r(A)=( ).(A為mxn矩陣)12sA.s B?n一s C?m一s D?m+n—sR3中下列子集( )不是R3的子空間.A.w={(x,x,x)GR3|x二1} B.w={(x,x,x)GR3|x=0}TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 3 2 2 1 2 3 3C?w={(x,x,x)GR3|x=x=x}3 1 2 3 1 2 3D?w={(x,x,x)GR3|x=x一x}4 1 2 3 1 2 3向量組ai,a2，…，ar線性無關(guān)的充要條件是( )A.r>1 B.r>0C?它有一個(gè)部分向量組線性無關(guān) D.它的所有部分向量組線性無關(guān)設(shè)矩陣A為n階方陣且IAI=0,則( )A中必有兩行或兩列的元素對(duì)應(yīng)成比例.A中至少有一行或一列的元素全為零；A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的線性組合；A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的線性組合.設(shè)有向量組⑴和(口),⑴線性相關(guān)，(口)也線性相關(guān)，且組⑴可由組(口)線性表示，貝9(線性表示，貝9()成立其中⑴：a1，a2，?…，a， (口):BB，?…,Br 1 2(口)A.(口)A.r<sB.r>sC.r<秩(口)D.秩⑴<秩9.9.向量組a=(0,0,1)，a=(0,1,1)，12a二(1,1,1)，a=(1,0,0)的秩為( )34A.1B.A.1B.2C.3D.410.m>n是n維向量組a｝,a2，…，a線性相關(guān)的（）條件2mA.充分 B.必要 C.充分必要 D.必要而不充分二、判斷說明題（先判斷正確與錯(cuò)誤，再簡(jiǎn)述理由，每小題5分，共20分）1.2.3.4.設(shè)a1,a2是AX=0的基礎(chǔ)解系，則a+a,1.2.3.4.121212若x,x, ,x是AX二b的解，則它的任意線性組合也是AX二b的解.1 2nW=｛ax3+ax2+ax+aIaeR且a=a,a=一a｝的維數(shù)等于2.2 1 0i 3 1 2 0三、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共10分）三、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共10分）1.設(shè)x,x,x是AX二b的解其中A為5x4矩陣，r(A)=3.。若x=(1,2,0,1)',1 2 3 1x+3x二（2,1,5,0）'試寫出該方程組的全部解.23已知卩可由a1，a2，…，a線性表出，那么，在什么情況下，表示12n法唯一？四、計(jì)算題（每小題8分，共32分）1?試將卩用向量組a，a，a，a線性表出，其中a=（1,5,4,1）'，1 2 3 4 1a=(—1,0,1,1)'，a=(2,4,2,1)'，23

a=(1,2,0,1)，，0=(1,3,1,0)，.42.已知W]={(ab「(<00>丨a,beR},W={2V1c1Ia,ceR},是M(R)的兩個(gè)子112空間，求WnW,W+W的一個(gè)基和維數(shù).1212由基{a,a,a}到基1233.已知a關(guān)于基｛0,0,由基{a,a,a}到基123123廠3｛0,0,廠3｛0,0,0｝的過渡矩陣為11231200，求a關(guān)于基｛a,a,a｝的坐標(biāo).12310丿x+x—3x—x=21 2 4 5x—x+2x—x=14.求非齊次線性方程組]丨23 4— 的全部解.4x—2x+6x+3x—4x=8123452x+4x—2x+4x—7x=912345五、證明題（每小題9分，共18分）1.設(shè)A1.設(shè)A是任一mxn矩陣，將A任意分塊成A=(A)1A2，證明：n元齊次線性方程組AX=0的解空間V是齊線性方程組Ax=0的解空間V的交，i=1,2,…,s.ii2.設(shè)向量組a12.設(shè)向量組a1，a2…，a線性無關(guān)，向量卩［可由它線性表示，而向量B不能由它線性表示?證明:2m+1個(gè)向量a1，a2線性無關(guān)．線性空間習(xí)題一、填空題了00了00a'a+bc0a,b,cwR>；0c+b0丿1、已知V=是R3x3的一個(gè)子空間，則維（V）V的一組基是.2、在P4中，若a=(1,2,0,1),a=(1,1,1,1)以=(1,k,-1,1),a=(0,1,k,1)線性無關(guān)，則TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4k的取值范圍是 .3、已知a是數(shù)域P中的一個(gè)固定的數(shù)，而W=｛（a,x, ,x）lxwP,i=1,2, ,n｝1 n1i是P是Pn的一個(gè)子空間，則a=，而維（W）=4、設(shè)Pn是數(shù)域P上的n維列向量空間，AwPnxn且A2=A,記W={AX|XwP},W={XXwPn,AX=0},則則W1、W2都是Pn的子空間，且Wi+W25、設(shè)81，82,83是線性空間V的一組基，―，WW= .128x8+x8+x8，則由基8,8,8到基11 22 33 1 2 3，而"在基L82,8，而"在基L82,83下的坐標(biāo)是二、判斷題1、設(shè)V=Pnxn，則W={AAWPnxn,|A|=0}是V的子空間.2、已知V={(a+bi,c+di)a,b,c,d2、已知V={(a+bi,c+di)(A)3、設(shè)A,BGPnxn,V是X=0的解空間，V是AX=0的解空間，V是丿12(A+B)X=0的解空間，則V=VV.124、 設(shè)線性空間V的子空間W中每個(gè)向量可由W中的線性無關(guān)的向量組a,a, ,a12s線性表出，則維(W)=s.5、 設(shè)W是線性空間V的子空間，如果a,卩gV，但a電W且卩電W,則必有a+P氓W.三、計(jì)算題1、在線性空間P2x2中,A=〔12),A=〔-11),B=〔2-1),B=〔1-1)10丿2<11丿1<01丿2<37丿求L(A,A)L(B,B)的維數(shù)與一組基.12 12求L(A,A)+L(B,B)的維數(shù)與一組基.12 122、在線性空間P4中，求由基a,a,a,a到基P,P,P,P的過渡矩陣，并求12341234a=(1,4,2,3)在基a,a,a,a下的坐標(biāo)，其中1234a=(1,0,0,0),a=(4,1,0,0),a=(-3,2,1,0),a=(2,-3,2,1)1 2 3 4P=(1,1,8,3),P=(0,3,7,2),P=(1,1,6,2),P=(-1,4,-1,-1).1 2 3 4四、證明題1、 V為定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)構(gòu)成的線性空間，令W={f(x)|f(x)GV