電磁波與電磁場課件

1第1章矢量分析主要內(nèi)容：標(biāo)量和矢量坐標(biāo)系標(biāo)量的梯度矢量的通量、散度、高斯定理矢量的環(huán)流、旋度、斯托克斯定理亥姆霍茲定理1第1章矢量分析主要內(nèi)容：3m4mAB路程？位移？3m4mAB路程？位移？31.1標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量:只有大小而沒有方向的量.Scalar矢量:不但有大小而且有方向特征的量.

Vector矢量描述有向線段、單位矢量、分量表示標(biāo)量、矢量舉例標(biāo)量：電壓、溫度….矢量：作用力、場強….場:在指定的時刻，空間每一點如果可以用一個量唯一地描述，則該量函數(shù)定出了場.Field31.1標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量:只有大小而沒有方向的量+Q+Q2+Q1場+Q+Q2+Q1場5標(biāo)量場和矢量場一、標(biāo)量場

1.定義：空間某一區(qū)域內(nèi)存在一標(biāo)量函數(shù)u，它的值隨空間的位置而定，同時可能是時間的函數(shù)：u=u（x.y.z;t）。

例如：溫度場，勢場2.等值面：標(biāo)量場中量值相等的點構(gòu)成的面，稱為等值面。例如：等溫面，等勢面。5標(biāo)量場和矢量場一、標(biāo)量場6標(biāo)量場和矢量場一、標(biāo)量場

1.定義：空間某一區(qū)域內(nèi)存在一標(biāo)量函數(shù)u，它的值隨空間的位置而定，同時可能是時間的函數(shù)：u=u（x.y.z;t）。

例如：溫度場，勢場2.等值面：標(biāo)量場中量值相等的點構(gòu)成的面，稱為等值面。例如：等溫面，等勢面。3.方向性導(dǎo)數(shù)

對于一個標(biāo)量場除了了解標(biāo)量場u的總體分布情況，還要討論其等值面隨空間的變化。

方向性導(dǎo)數(shù)：等值面沿某一給定方向l0的變化率，稱為該標(biāo)量場沿l0方向的方向性導(dǎo)數(shù)。6標(biāo)量場和矢量場一、標(biāo)量場7例：溫度場：7例：溫度場：8二、矢量場矢量場的定義：設(shè)空間某一區(qū)域存在一矢量函數(shù)，它的大小及方向隨空間位置變化（可能還是時間的函數(shù)），則稱該區(qū)域存在一矢量場：

例如：速度場，電場，磁場。

為形象的描述矢量場，通常在矢量場中作一些曲線。使曲線上每一點的切線方向與該點相應(yīng)的場矢量方向一致。該點附近曲線的疏密和該點矢量的大小成正比，這樣的曲線族稱為矢量場的“力線”和“場線”。我們可以通過“力線”形象的描述和分析矢量場的分布和性質(zhì)。8二、矢量場矢量線：表示矢量在空間分布的有向線段。矢量線的疏密表征矢量場的大小；矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向。9矢量線：表示矢量在空間分布的有向線段。910場的重要特性占有一個空間，客觀存在可以用數(shù)學(xué)模型來描述除個別點和表面，物理狀態(tài)連續(xù)靜態(tài)場：物理狀態(tài)與時間無關(guān)動態(tài)場：…………隨時間變化而變化——時變場10場的重要特性占有一個空間，客觀存在靜態(tài)場：物理狀態(tài)與時間11“電磁場”的概念電磁學(xué)：研究電荷效應(yīng)——運動/靜止電荷運動電荷產(chǎn)生電流，電流產(chǎn)生磁場“場”——空間分布的量時變的磁場和電場是同時存在的——電磁場電磁場可以產(chǎn)生“波”——“發(fā)射/輻射”11“電磁場”的概念電磁學(xué)：研究電荷效應(yīng)——運動/靜止電荷121.2矢量的運算矢量的“和/差”計算：作圖法、分量法(2)分量法A+B121.2矢量的運算矢量的“和/差”計算：作圖法、分量132.矢量的“乘積”計算：點積、叉積2.1點積——標(biāo)量積(ScalarProduct)…(是標(biāo)量)大小、符號：“正交”：132.矢量的“乘積”計算：點積、叉積2.1點積——標(biāo)量積14例題：證明“三角形余弦定理”思路：(1)C長度~矢量C的“?！保?2)矢量C是矢量A和B的矢量和：14例題：證明“三角形余弦定理”思路：15解題：15解題：162.2矢量的叉積叉積是矢量積(VectorProduct)…(是矢量)

O“?！保?/p>

O方向：“右手螺旋法則”

O物理含義：1.“平行四邊形面積”2.“右手法則”——162.2矢量的叉積叉積是矢量積(VectorProdu171.2.3.標(biāo)量三重積ScalarTripleProduct5.矢量三重積VectorTripleProduct矢量叉乘的性質(zhì)171.2.3.標(biāo)量三重積ScalarTriplePr18標(biāo)量三重積記憶1：“循環(huán)互換規(guī)律”記憶2：“平行六面體體積”平行六面體“體積”＝“底面積”ד高”“體積”——唯一性上等式成立18標(biāo)量三重積平行六面體“體積”＝“底面積”ד高”“體積”19矢量與矢量場的不變性在任一時刻，描述場的物理狀態(tài)分布的函數(shù)是唯一的。——大小、方向是唯一的。因此，引入多種坐標(biāo)系，以方便地進行分析。坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：19矢量與矢量場的不變性在任一時刻，描述場的物理狀態(tài)分布的函20直角坐標(biāo)系(笛卡兒坐標(biāo)系)——CartesianCoordinates20直角坐標(biāo)系(笛卡兒坐標(biāo)系)——CartesianCo21記憶技巧： (1)結(jié)果是矢量： (2)前一項：“正向x-y-z-x-y-z…”

(3)后一項：負(fù)號“反向”21記憶技巧：22直角坐標(biāo)系中微分長度、面積、體積微分長度微分面積微分體積22直角坐標(biāo)系中微分長度、面積、體積微分長度微分面積微分體積23柱面坐標(biāo)系——CylindricalCoordinates23柱面坐標(biāo)系——CylindricalCoordina24頂視圖24頂視圖25柱面坐標(biāo)系中微分長度、面積、體積微分長度微分面積25柱面坐標(biāo)系中微分長度、面積、體積微分長度微分面積26微分體積26微分體積27球坐標(biāo)系——SphericalCoordinates27球坐標(biāo)系——SphericalCoordinates28微分長度微分面積微分體積28微分長度微分面積微分體積29微分長度29微分長度30微分面積30微分面積31微分體積31微分體積321.3“三度”、“三定理”標(biāo)量的梯度矢量的通量、散度、高斯定理矢量的環(huán)流、旋度、斯托克斯定理亥姆霍茲定理Gradient——gradDivergence——divCurl——curl321.3“三度”、“三定理”標(biāo)量的梯度Gradie331.3.1標(biāo)量的“梯度”等值面：等溫線等高線？“爬山”同樣的增量情況下沿什么方向最“陡”？——數(shù)學(xué)模型：標(biāo)量函數(shù)u，沿某個方向的變化率情況梯度是表示標(biāo)量最大空間增長率的大小和方向的矢量。331.3.1標(biāo)量的“梯度”等值面：？“爬山”——數(shù)學(xué)模34梯度是表示標(biāo)量最大空間增長率的大小和方向的矢量。Gradient——grad標(biāo)量沿其他方向的變化率——哈密頓算符Hamiltonian34梯度是表示標(biāo)量最大空間增長率的大小和方向的矢量。Grad35不同坐標(biāo)系下的表示柱面坐標(biāo)系中：笛卡兒坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：35不同坐標(biāo)系下的表示柱面坐標(biāo)系中：笛卡兒坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系36如何記憶？笛卡兒坐標(biāo)系中微分長度柱面坐標(biāo)系中微分長度36如何記憶？笛卡兒坐標(biāo)系中微分長度柱面坐標(biāo)系中微分長度37球坐標(biāo)系中微分長度37球坐標(biāo)系中微分長度38例題已知：求：令：法一：直接法——求坐標(biāo)系梯度公式！38例題已知：求：令：法一：直接法——求坐標(biāo)系梯度公式39法二：分析法——找規(guī)律！利用笛卡兒坐標(biāo)系！39法二：分析法——找規(guī)律！利用笛卡兒坐標(biāo)系！40答案1答案2都對!!40答案1答案2都對!!411.3.2矢量的“通量”和“散度”矢量

沿某一有向曲面

的面積分為

通過

的通量.

矢量沿某一有向曲面的面積分稱為通過該面的通量。通量(Flux)411.3.2矢量的“通量”和“散度”矢量沿某一有向曲面42散度散度定義：單位體積的凈流散通量Divergence——div散度表示有向場中任一點處通過包圍該點的單位體積之表面的通量。42散度散度定義：單位體積的凈流散通量Divergen43柱面坐標(biāo)系中：笛卡兒坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：不同坐標(biāo)系下的散度表示43柱面坐標(biāo)系中：笛卡兒坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：不同坐標(biāo)系下的44需要記住在笛卡兒坐標(biāo)系中：44需要記住在笛卡兒坐標(biāo)系中：45散度定理散度定理：矢量場散度的體積分＝該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量也叫“高斯定理”——Gauss’sLaw45散度定理散度定理：矢量場散度的體積分也叫“高斯定理”——461.3.3矢量的環(huán)流和旋度矢量的環(huán)流：該矢量沿有向閉合路徑的線積分矢量沿閉合路徑的環(huán)量＝461.3.3矢量的環(huán)流和旋度矢量的環(huán)流：該矢量沿有向閉合47矢量的“旋度”旋度的定義Curl——curl——面環(huán)流密度——方向：與閉合路徑遵循右手螺旋法則——大?。簾o限小面元，單位面積上的凈環(huán)量

（環(huán)流量的面密度）47矢量的“旋度”旋度的定義Curl——curl——面環(huán)流48笛卡兒坐標(biāo)系中48笛卡兒坐標(biāo)系中49斯托克斯定理斯托克斯定理：矢量場旋度的面積分

＝該矢量沿包圍該表面的封閉曲線的積分——Stokes’sLaw49斯托克斯定理斯托克斯定理：矢量場旋度的面積分——Stok50梯度運算的基本公式50梯度運算的基本公式51散度運算的基本公式51散度運算的基本公式52旋度運算的基本公式52旋度運算的基本公式53關(guān)于“三度三定理”中的第三個定理先看兩個恒等式(1)標(biāo)量場梯度的旋度為零保守性(2)矢量場旋度的散度為零p13p1153關(guān)于“三度三定理”中的第三個定理先看兩個恒等式(1)標(biāo)54亥姆霍茲定理(公理)在空間有限區(qū)域內(nèi)的任一矢量場，由它的旋度、散度和邊界條件唯一地確定。其中，邊界條件指在該有限區(qū)域的閉合曲面上矢量場的分布。