專題1.8 空間向量與立體幾何全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第一章空間向量與立體幾何全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等C．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小D．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓【解題思路】取零向量可判斷A選項(xiàng)；利用任意一個(gè)非零向量與其相反向量可判斷B選項(xiàng)；利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng)；利用單位向量的概念可判斷D選項(xiàng).【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，零向量與它的相反向量相等，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，任意一個(gè)非零向量與其相反向量不相等，但它們的模相等，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球，D錯(cuò).故選：C.2．（5分）（2023春·江蘇常州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OBA．14OA+C．14OA-【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【解答過程】OP====1故選：A.3．（5分）（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知a=1,1,0,bA．-1 B．1 C．0 D．【解題思路】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算法則，求解即可.【解答過程】因?yàn)閍=所以p=a-q=a+2則p?q=故選：A.4．（5分）（2023秋·山西大同·高二?？计谀┮阎臻g向量a=1,0,1,b=x,1,2，且aA．5π6 B．2π3 C．【解題思路】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出向量a與b的夾角的余弦值，進(jìn)而可求夾角.【解答過程】因?yàn)閍?b=x+0+2=3則有a所以cos<因?yàn)?lt;a,b故選:D.5．（5分）（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知a=(2,3,-1),b=(2,0,-4),A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)⊥c C．【解題思路】根據(jù)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示直接判斷即可.【解答過程】因?yàn)閍?a?所以AB錯(cuò)誤；因?yàn)?2≠03≠因?yàn)?42=-63故選：D.6．（5分）（2023春·江蘇南通·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C相交于點(diǎn)O，∠A1AB=∠A1AC=60°，∠BAC=90°，A1A=3，AB=AC=2，則線段AO的長度為（A．292 B．29 C．232 D【解題思路】用AB,AC,AA1表示出AO【解答過程】因?yàn)樗倪呅蜝CC∴BO∴∵∠∴ABAB?∴AO==29∴?????即AO=故選：A.7．（5分）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則點(diǎn)A到平面QGC的距離是（

）A．14 B．12 C．22【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面QGC的法向量，用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【解答過程】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則C(0,2,0)，Q(1,0,2)，G(0,0,2)，A(1,1,0)，QC=(-1,2,-2)，QG=(-1,0,0),AC=(-1,1,0)，設(shè)平面QGC的法向量為n=(則點(diǎn)A到平面QGC的距離d=故選：C.8．（5分）（2023秋·高一單元測試）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1

A．AB．直線BD1與ACC．向量B1C與AD．AC1【解題思路】利用基底向量，結(jié)合向量模長公式即可判斷A,利用向量的夾角公式即可判斷BC,由向量垂直即可得線線垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判斷即可判斷D.【解答過程】由題意可得AB=AA又AC1=AB2+AD2由于BD則|BD1又BD則cos<BD由于BB1//AA1,所以向量B1由于BB1=BC=6,∠進(jìn)而B1C與BB1的夾角為∠BB1C的補(bǔ)角，故AC1?所以AC1⊥B1C,故AC1⊥平面CB故選：D.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列命題，其中正確的命題是（）A．若a=b，則a=B．若向量a是向量b的相反向量，則aC．在正方體ABCD-A1BD．若空間向量m，n，p滿足m=n，n=【解題思路】根據(jù)向量模長，相等向量，相反向量概念逐項(xiàng)判斷真假.【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A：若a=b，即向量a與b的模相等，但方向不確定，故對(duì)于選項(xiàng)B：相反向量是指大小相等方向相反的兩個(gè)向量，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：在正方體ABCD-A1B1C1D1對(duì)于選項(xiàng)D：若m=n，n=p，則m，p方向相同大小相等，故m故選：BCD.10．（5分）（2023春·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）以下能判定空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的條件是（

）A．MP=2MA+3C．PM?AB=0 D．PM【解題思路】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念結(jié)合四點(diǎn)共面的結(jié)論逐項(xiàng)分析判斷.【解答過程】對(duì)A：若MP=2MA+3MB，結(jié)合向量基本定理知：MP,MA,MB為共面向量，故四點(diǎn)P、對(duì)B：若OP=12OA+13OB+16OM，且對(duì)C：若PM?AB=0，則PM⊥AB，可知直線PM,AB的位置關(guān)系：異面或相交，故四點(diǎn)P、M對(duì)D：若PM∥AB，可知直線PM,AB的位置關(guān)系：平行或重合，故四點(diǎn)P、M、A、B共面，故選：ABD.11．（5分）（2023秋·湖北襄陽·高二?？计谀┮阎蛄縜=(1,-1,m)，b=(-2,mA．若|a|=2B．若a⊥bC．不存在實(shí)數(shù)，使得a=D．若a?b【解題思路】運(yùn)用空間向量的垂直、共線的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算、模的運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】對(duì)于A項(xiàng)，由|a|=2可得12+(-1)對(duì)于B項(xiàng)，由a⊥b可得a?b=-2+1-對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb，則1=-2λ-1=λ對(duì)于D項(xiàng)，由a?b=-1可得-2+1-m+2m=-1故選：ACD.12．（5分）（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別是棱BC，CA．若t=1，則A1B．若t=1，則過點(diǎn)M，P，Q的截面面積是C．若t=12，則點(diǎn)A1D．若t=12，則AB與平面【解題思路】t=1時(shí)有M與A重合，對(duì)于A選項(xiàng)，可以利用反證法判定；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)平面的性質(zhì)計(jì)算即可；t=12時(shí)，M為AB【解答過程】如圖所示，t=1時(shí)有M與A對(duì)于A選項(xiàng)，延長PQ交BB1于L，連接AL，易得平面AB1∩平面MPQ=AL，若A1B1//平面MPQ，則A1B對(duì)于B項(xiàng)，連接AD1、D1Q，易知平面APQD1即該截面，顯然該截面為等腰梯形，易得PQ=2=12

如圖所示，t=12時(shí)，M為AB則M2,1,0MP=設(shè)平面MPQ的法向量為n=x,令x=1，則y=1=對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)A1到平面MPQ的距離為d，則d=M對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)AB與平面MPQ所成角為α，則sinα所以cosα=63故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋·上海浦東新·高二校考期末）已知a=1,2,3，b=3,2,1，則a【解題思路】利用向量的數(shù)量積直接求解.【解答過程】因?yàn)閍=1,2,3，所以a+所以a?故答案為：24.14．（5分）（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知a=(3,-2,-3)，b=(-1,x-1,1)，且a與b的夾角為鈍角，則x【解題思路】由a?b<0求解，再排除a與b共線時(shí)【解答過程】因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，∴a?b由題意得a與b不共線，則-13≠∴x的取值范圍是-故答案為：-2,15．（5分）（2023春·云南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,【解題思路】根據(jù)向量的分解和基底的定義求解.【解答過程】因?yàn)镋F=所以x=-1,y=-故答案為:-116．（5分）（2023春·寧夏·高一校考階段練習(xí)）如圖1，在直角梯形EFBC中，BF∥CE，EC⊥EF，EF=1，F(xiàn)B=2，EC=3，A為BF中點(diǎn)，現(xiàn)沿平行于EF的AD折疊，使得ED⊥DC

①BC⊥平面BDE②該幾何體為三棱臺(tái)③二面角B-EF-④該幾何體的體積為2【解題思路】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得出①；根據(jù)棱臺(tái)的定義即可判斷②；建立空間直角坐標(biāo)系，由題知AB即為平面EFD的法向量，再求出平面BEF的法向量，即可判斷出③；利用分割求出三棱錐E-BCD和四棱錐B【解答過程】因?yàn)锽F∥CE，EC⊥FB=2，EC=3，A為所以BD=如圖作BM⊥CD，CD=2BC=所以BC即BC⊥又ED⊥DA，DA,DC?平面ABCD所以ED⊥平面ABCD又BC?平面ABCD，則ED又ED,BD?平面BDE所以BC⊥平面BDE，①

由題知，平面ABF//平面CDE而EF∥AD，故EF和所以該幾何體不可能為三棱臺(tái)，②錯(cuò)；由題知，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則D0,0,0AB=0,1,0即可為平面設(shè)平面BEF的法向量為n=又BE=-1,-1,1則n?BE=-令z=1，則n∴cos所以二面角B-EF-D的大小不是該幾何體的體積V=13×1故答案為：①④.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在正六棱柱ABCDEF-A1

【解題思路】先利用正六棱柱的性質(zhì)證得BC=F【解答過程】因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以BC//EF，又在正六棱柱ABCDEF-A1所以BC//E1F1所以AF向量BE

18．（12分）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知正四面體OABC的棱長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．求下列向量的數(shù)量積：(1)OA(2)EF(3)OA【解題思路】（1）正四面體的每個(gè)面均為等邊三角形，夾角為60°，再結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，得解；（2）由EF=（3）取AB的中點(diǎn)D，連接DO，DC，可推出(OA+OB)?(CA【解答過程】（1）OA（2）EF?（3）取AB的中點(diǎn)D，連接DO，DC，則OA+OB=2在△OCD中，DO=DC由余弦定理知，cos∠所以(OA19．（12分）（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1(1)用a,b,(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且DE=23【解題思路】（1）由O為AC的中點(diǎn)，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)可得AO=（2）根據(jù)向量的加減法法則結(jié)合已知條件求解.【解答過程】（1）因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，AB=所以AO=所以A（2）因?yàn)镈E=所以EO=-=-=120．（12分）（2023秋·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）已知a=(2,-1,-4),(1)若(a-b(2)若(a+3b)⊥(【解題思路】（1）根據(jù)空間平行向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)空間向量互相垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示公式、數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；【解答過程】（1）a-b=2,-1,-4--1,k（2）a+3b=2,-1,-4+3-1,k,2=-1,3k21．（12分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD(1)BE⊥(2)BE//平面PAD(3)平面PCD⊥平面PAD.【解題思路】（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)B,E,（2）取PD的中點(diǎn)，設(shè)為F，連接EF,AF，證出四邊形ABEF為平行四邊形，即得出AF//BE，利用線面平行的判定定理得到（3）利用PA⊥DC，DC⊥AD（線線垂直）推出DC⊥面PAD（線面垂直），由于DC?面PDC【解答過程】（1）證明：依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，∵AD=DC=AP=2,AB=1，可得B(1)向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0)所以BE?（2）取PD的中點(diǎn)，設(shè)為F，連接EF,AF，∵E,F分別是PD,PC的中點(diǎn)，∴EF//DC且EF=12DC，由題意知AB//DC，DC=2AB=2，（3）∵PA⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，∴PA⊥DC，∵AD⊥AB，AB//DC，∴DC⊥AD，PA,AD?面PAD，PA22．（12分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C（1）證明：BC1//（2）求直線BC1到平面（3）求平面AD1E與平面【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz（1）求出平面AD1E的法向量和B（2）直線B