選修4-2 2變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法

第二節(jié)變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法及逆變換與逆矩陣1.二階矩陣的乘法及其性質(zhì)(1)二階矩陣的乘法(2)二階矩陣乘法的性質(zhì)設(shè)A,B,C是任意的三個(gè)二階矩陣,①結(jié)合律(AB)C=_______;特別地：AkAl=____,(Ak)l=___;②矩陣的乘法不滿足_______;③矩陣的乘法不滿足消去律.Ak+lAkl交換律A(BC)2.逆矩陣的定義、性質(zhì)及其求法(1)定義：設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得__________,則稱矩陣A可逆，并稱B是A的逆矩陣.(2)性質(zhì)：性質(zhì)1:設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,如果A是可逆的,則A的逆矩陣是_______.性質(zhì)2:設(shè)A,B是二階矩陣,如果A,B都可逆,則AB也可逆,且(AB)-1=______.BA=AB=E2唯一的B-1A-1(3)求法:①二階行列式：矩陣表達(dá)式______稱為二階行列式，記作______，也稱為二階矩陣A的行列式，記為|A|或detA;②求法：二階矩陣可逆，當(dāng)且僅當(dāng)|A|=ad-bc≠0.當(dāng)矩陣可逆時(shí)，A-1=.ad-bcad-bc3.逆矩陣與二元一次方程組(1)定理:如果關(guān)于變量x,y的二元一次方程組(線性方程組)的系數(shù)矩陣可逆,那么該方程組有唯一解_____________(2)推論:關(guān)于變量x,y的二元一次方程組其中a,b,c,d是不全為零的常數(shù),有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的行列式____________.判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)設(shè)則

()(2)對(duì)于矩陣A,B,AB=BA.()(3)對(duì)于矩陣A,B,C,若AC=BC,則A=B.()(4)每一個(gè)二階矩陣都可逆.()(5)如果A,B都可逆，則AB也可逆.()【解析】(1)錯(cuò)誤.由矩陣乘法的運(yùn)算法則可知.(2)錯(cuò)誤.矩陣的乘法運(yùn)算不滿足交換律.(3)錯(cuò)誤.矩陣的乘法運(yùn)算不滿足消去律.(4)錯(cuò)誤.當(dāng)|A|=0時(shí)矩陣不可逆.(5)正確.由可逆矩陣的性質(zhì)知正確.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√考向1

二階矩陣的乘法及其應(yīng)用【典例1】在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)，A(2,0)，求△OAB在矩陣MN的作用下變換所得到的圖形的面積，其中矩陣【思路點(diǎn)撥】由矩陣M,N先計(jì)算出MN；再分別計(jì)算出點(diǎn)O，A，B在MN的作用下點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合圖形求三角形的面積.【規(guī)范解答】可知O，A，B三點(diǎn)在矩陣MN作用下變換所得的點(diǎn)分別為O′(0,0),A′(2,0),B′(2,-1).可知△O′A′B′的面積為1.【互動(dòng)探究】在本題中，試求在矩陣NM的作用下變換所得的圖形的面積.【解析】可知O,A,B三點(diǎn)在矩陣NM的作用下變換所得的點(diǎn)分別為O′(0,0),A′(2,0),B′(0,-1)，可知△O′A′B′的面積為1.【拓展提升】矩陣的乘法運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)熟練掌握二階矩陣的乘法運(yùn)算法則,注意其用前矩陣的“行”元素,與后矩陣的“列”元素相乘相加的特點(diǎn).(2)二階矩陣的乘法運(yùn)算與二階矩陣和平面向量的乘法在實(shí)質(zhì)上是一致的.可以類比理解.(3)二階矩陣的乘法常與矩陣的其他運(yùn)算,如矩陣的相等、逆矩陣等相結(jié)合.(4)變換的復(fù)合等價(jià)于相應(yīng)矩陣的乘法運(yùn)算，采用矩陣的乘法運(yùn)算可以簡(jiǎn)化變換的過程，起到化繁為簡(jiǎn)的作用.【變式備選】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣點(diǎn)A，B，C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)分別為A1，B1，C1，△A1B1C1的面積是△ABC的面積的2倍，求k的值．【解析】由題設(shè)得可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2).計(jì)算得△ABC的面積是1,△A1B1C1的面積是|k|,由題設(shè)知|k|=2×1=2,所以k的值為-2或2.考向2逆矩陣的求法【典例2】(2012·福建高考)設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值.(2)求A2的逆矩陣.【思路點(diǎn)撥】首先由變換前后的曲線方程、變換公式建立關(guān)于a,b的關(guān)系式，從而求出a,b，即得矩陣A，再計(jì)算A2及其逆矩陣.【規(guī)范解答】(1)設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點(diǎn)P(x,y)在矩陣A對(duì)應(yīng)變換下的像是P′(x′,y′)，又點(diǎn)P′(x′,y′)在x2+y2=1上，所以x′2+y′2=1，即a2x2+(bx+y)2=1,整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.依題意得因?yàn)閍＞0，所以(2)由(1)知，【拓展提升】求逆矩陣的兩個(gè)方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出矩陣A-1，再利用AA-1=E2,列出方程組求相應(yīng)的元素.(2)公式法：先求出|A|，再代入公式A-1=

【提醒】逆矩陣求解公式的特點(diǎn)將矩陣A的所有元素均除以|A|后，a11與a22互換，a12與a21變號(hào).【變式訓(xùn)練】已知在矩陣的作用下將直線2x-y=3變?yōu)槠渥陨?(1)求矩陣A.(2)求矩陣A的逆矩陣.【解析】(1)方法一：設(shè)P(x,y)為直線2x-y=3上任意一點(diǎn),其在矩陣A的作