數(shù)學(xué)模型植物生長課件

植物生長模型植物生長模型1問題的提出像人和動物生長依靠食物一樣，植物生長主要依靠碳和氮元素。植物需要的碳主要有大氣提供，通過光合作用由葉吸收；而氮有土壤提供，通過植物的根部吸收。植物吸收著這些元素，在植物體內(nèi)輸送、結(jié)合導(dǎo)致植物生長。通過對植物生長過程的觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)以下幾個基本事實：（1）碳由葉吸收，氮由根吸收；（2）植物生長對碳氮元素的需求大致有一個固定比例；（3）碳可由葉部送到根部，氮也可又根部送到葉部；（4）在植物生長的每一時刻補充的碳元素的多少和它葉系的尺寸有關(guān)，補充的氮與根系的尺寸有關(guān)；問題的提出像人和動物生長依靠食物一樣，2（5）植物生長過程中，葉系尺寸和根系尺寸維持著某種均衡的關(guān)系。依據(jù)上述基本事實，避開其它復(fù)雜因素，我們考慮能否建立一個描述單枝植物在光合作用和從土壤吸收養(yǎng)料情形下的生長規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。（5）植物生長過程中，葉系尺寸和根系尺寸維3植物生長過程中的能量轉(zhuǎn)換植物組織生長所需要的能量是由促使從大氣中獲得碳和從土壤中獲得氮相結(jié)合的光合作用提供的。我們建立的模型主要考慮這兩種元素，不考慮其他的化學(xué)物質(zhì)。葉接受光照同時吸收二氧化碳通過光合作用形成糖，糖是能量的來源。有以下幾方面的用途：工作能——根部吸收氮和在植物內(nèi)部輸送碳和氮需要的能量；轉(zhuǎn)化能——將氮轉(zhuǎn)化為蛋白質(zhì)和將葡萄糖轉(zhuǎn)化為其他糖類和脂肪所需的能量；結(jié)合能——將大量分子結(jié)合成為組織需要的能量；維持能——用來維持很容易分解的蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的能量。植物生長過程中的能量轉(zhuǎn)換植物組織生長所4

植物的每個細(xì)胞中，碳和氮所占的比例大體上是固定的新產(chǎn)生的細(xì)胞中碳和氮也保持相同的比例。碳和氮在植物的其他部分之間運動。通常植物被分為根、莖、葉三部分，但我們將其簡化為兩部分，生長在地下的根部和生長在地上的葉部?，F(xiàn)在我們分三階段，又淺入深的逐步建立和完善模型每一階段都建立一個獨立的模型。

植物的每個細(xì)胞中，碳和氮所占的比例大體上是固定5初步模型

若不區(qū)分植物的根部和葉部，也不分碳和氮、籠統(tǒng)地將生長過程視作植物吸收養(yǎng)料長大，就可以得到一個簡單的數(shù)學(xué)模型。設(shè)植物的質(zhì)量為W,體積為V,植物吸收的養(yǎng)料和體積成正比，即：(3.1)

其解為(3.2)

其中為初始時植物的質(zhì)量初步模型若不區(qū)分植物的根部和葉6解（3.2)是個指數(shù)函數(shù)，隨時間的增長可無限地增長，這是不符實際的。為了反映著現(xiàn)象，我們將k取為變量，隨著植物的長大而變小。如k=a-bW，a,b為正數(shù)。方程化為(3.3)

令上式可寫為(3.4)

若初值為,(3.4)的解為解（3.2)是個指數(shù)函數(shù)，隨時間的增長可無限地7

顯然，W(t)是t的單調(diào)增加函數(shù)，且當(dāng)t→∞時，W(t)→,即的實際意義是植物的極大質(zhì)量。數(shù)學(xué)模型植物生長課件8考慮碳氮需求比例的模型基本假設(shè)

上節(jié)的初步模型不分別考察根葉的功能，也不區(qū)分植物生長對碳氮的需求。為了改進模型，我們放松上述第二個假設(shè)，既考慮生長過程中對碳和氮需求的比例。假設(shè)：（1）將植物視作一個整體，不區(qū)分根和業(yè)的功能；（2）植物生長不能缺少碳和氮；（3）植物生長消耗的碳不僅依賴于供給的碳，也取決于供給的氮；（4）總能量的一定百分比用于結(jié)合產(chǎn)生新的組織?？紤]碳氮需求比例的模型基本假設(shè)9建立生長方程設(shè)C(t)和N(t)分別為時刻t植物中碳和氮的濃度。設(shè)植物消耗碳的速率是Vf(C,N),，V為植物的體積。進一步假設(shè)任何新生的植物的組織中碳和氮的比例與老的組織中的比例相同。設(shè)碳和氮的比例1：λ，那么植物消耗氮的速率為λVf(C,N)。另為結(jié)合能在總能量中所占比例，設(shè)r為植物干組織含碳的千摩爾轉(zhuǎn)化為植物質(zhì)量的轉(zhuǎn)化系數(shù)，那么生長方程為：=rf(C(t),N(t))(4.1)建立生長方程10f(C,N)的形式和質(zhì)量守恒方程

函數(shù)f應(yīng)該滿足兩個條件：（1）當(dāng)碳和氮之一的供給量減少時，消耗速度也隨之下降；（2）當(dāng)碳和氮的供給十分充足時，植物消耗碳的速率是確定的。若取f恒等于常數(shù)，此時模型實質(zhì)上退化為上節(jié)的初步模型，則我們?nèi)?4.2)

由于(4.2)式包含了時刻t碳和氮的濃度，生長方程中又f(C,N)的形式和質(zhì)量守恒方程11

出現(xiàn)了兩個未知數(shù)，這就需要用質(zhì)量守恒在建立C(t)N(t）的兩個方程。有質(zhì)量守恒律，時刻t+?t碳的數(shù)量應(yīng)等于時刻t碳的數(shù)量加上這一段時間通過光合作用的到的碳并減去通過轉(zhuǎn)化為能量消耗的碳。有前面的假設(shè)，時段內(nèi)消耗的碳數(shù)量為Vf(C,N)?t。單位時間內(nèi)光合作用形成的碳的數(shù)量與植物的表面積成正比，也就是與植物的質(zhì)量成正比。設(shè)是比例系數(shù)，該時段內(nèi)光合作用形成的碳數(shù)量為W(t)?t。所以碳的數(shù)量為V(t+?t)C(t+?t)=V(t)C(t)+W(t)?t–Vf(C,N)?t（4.3)即：出現(xiàn)了兩個未知數(shù)，這就需要用質(zhì)量守恒在建立C(t)N12

（4.4)v(t)=，令?t→0，則

(4.5)同樣，有氮的質(zhì)量守恒可得：V(t+?t)N(t+?t)=V(t)N(t)+W(t)?t-λVf(C,N)?t(4.6)其中第三項是根部吸收的氮，最后一項是轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰肯牡牡?，它是消耗碳元素的λ倍?/p>

13(4.6)式可化為(4.7)這樣，模型就成為一個常微分方程組(4.8)其中f(C,N)由(4.2)式定義，r,λ,ρ,均為正數(shù)。

(4.6)式可化為14要使模型符合實際，參數(shù)必須恰當(dāng)選取。約為0.5，約為0.0002,為0.00002.ρ的典型值為100kg/,r約為30。

α、β使模型中兩個重要的參數(shù)，他們表示碳和氮的消耗速率。當(dāng)碳和氮十分豐富是，f(C,N)→,因而有：(4.9)解得：(4.10)要使模型符合實際，參數(shù)必須恰當(dāng)選取。約為0.5，約15求解和模型的驗證設(shè)初始條件為W(0)=0.6,C(0)=0.35,N(0)=0.49(4.11)引入新的未知函數(shù)(t)=W(t)，(t)=W(t)C(t)，(t)=W(t)N(t)(4.12)常微分方程組(4.8)化為

(4.13)求解和模型的驗證16

采用參數(shù)值：r=30，ρ=100，λ=0.22，α=0.08，β=1.6=0.5，=0.0002，=0.00002。用matlab求得數(shù)值解0501001502002503000.50.60.70.80.911.1時間質(zhì)量采用參數(shù)值：r=30，ρ=100，λ=0.22，17若碳或氮的攝入水平較低，植物生長緩慢。下圖對應(yīng)的就是日照充分但土壤中氮肥不足的情況。設(shè)=0。植物開始生長很快，但后來缺乏氮生長變慢并逐漸停頓。0501001502002503000.550.60.650.70.750.80.850.9時間質(zhì)量若碳或氮的攝入水平較低，植物生長緩慢。下圖對應(yīng)的18下圖則是缺碳的情形，取=0。可以看到植物生長很快停止0501001502002503000.60.6050.610.6150.620.6250.630.6350.64時間質(zhì)量下圖則是缺碳的情形，取=0?？梢钥吹街参锷L很快19根葉模型現(xiàn)在我們將模型擴充為將植物分為葉和根兩部分，葉攝取碳，根攝取氮。葉和根之間的碳和氮可以互相輸送。

葉部氮庫根部氮庫葉部碳庫根部碳庫碳氮根葉模型現(xiàn)在我們將模型擴充為將植物分為葉和根兩部分20模型的建立

再引入六個變量：葉重，根重；葉部和根部碳的濃度為；葉部和根部氮的濃度為。我們在葉部和根部分別建立三個方程，方程中的函數(shù)f(C,N)與上一節(jié)中相同。兩個生長方程是：(5.1)(5.2)

模型的建立21

用質(zhì)量守恒建立葉部的碳方程時，應(yīng)有一表示碳從葉部輸送到根部的項，設(shè)碳從葉流向根部的速度正比于葉部和根部碳濃度之差。比例系數(shù)為。葉部和根部碳的方程為：(5.3)(5.4)同樣，氮從根部流向葉部的速度則正比于根部和葉部的氮濃度之比，比例系數(shù)為，根部和葉部氮的方程為：用質(zhì)量守恒建立葉部的碳方程時，應(yīng)有22

(5.5)

(5.6)

本模型為六個一階非線性方程聯(lián)立的常微分方程組。參數(shù)==0.0003，其余參數(shù)與上一節(jié)相同。