單幀圖像超分辨重構(gòu)的總則化方法

單幀圖像超分辨重構(gòu)的總則化方法

在遙感、軍事成像和醫(yī)療圖像等領(lǐng)域，通常需要獲得目標(biāo)高分辨率圖像。但是一方面由于CCD像元尺寸的限制,往往得不到高分辨率圖像;另一方面,由于高分辨率CCD相機(jī)造價(jià)昂貴,體積和質(zhì)量都很大,如航天用的詳查相機(jī)。為了克服低分辨率成像系統(tǒng)的不足,研究低分辨圖像的超分辨重構(gòu)技術(shù),對緩解實(shí)際需求及硬件的壓力非常有意義。利用低分辨圖像重構(gòu)高分辨率圖像通?？梢詺w結(jié)為(1)式描述的逆問題,f=Rg,(1)式中:f為低分辨圖像;g為高分辨圖像;R為位移、降質(zhì)和降采樣的綜合過程。一般來說,僅從一幅低分辨率的圖像出發(fā),無其它附加信息,(1)式是一個(gè)典型的欠定問題。單幀圖像超分辨重構(gòu)技術(shù)主要有非均勻空域樣本內(nèi)插法、迭代反投影法、凸集投影、最大后驗(yàn)概率估計(jì)器、極大似然估計(jì)器、混合極大似然法、自適應(yīng)濾波方法、前向-后向擴(kuò)散方程方法等。MAP方法把圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵氲椒直媛试鰪?qiáng)的過程中,從而獲得唯一而穩(wěn)定的圖像估計(jì),是目前圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。本文簡要描述了像元的大小與成像誤差的關(guān)系,亞像元級(jí)的邊緣細(xì)化和分片灰度函數(shù)表示;從一元分段連續(xù)函數(shù)的擬合問題討論,利用先驗(yàn)信息,構(gòu)造超分辨重構(gòu)的目標(biāo)函數(shù),討論ρ函數(shù)的選取,設(shè)計(jì)超分辨重構(gòu)的迭代求解方法;給出了該方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。1亞形象域分析1.1幾何光學(xué)模型單幀圖像超分辨重構(gòu)模型用下述模型來描述:f=DHg,(2)式中:f為N×1的向量,由m×n(N=mn)的低分辨圖像按行的順序排列而成;g為l2N×1的向量,表示lm×ln高分辨圖像;H為l2N×l2N的模糊矩陣;D為N×l2N的降采樣矩陣;l為分辨率增強(qiáng)因子。幾何光學(xué)的分析表明,由于光學(xué)系統(tǒng)散焦而造成圖像降質(zhì)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)是一個(gè)均勻分布的圓形(或方形)光斑。這個(gè)模型雖然顯得過分簡單,但是圖像復(fù)原的實(shí)踐證明了它的合理性。則其對應(yīng)的矩形降質(zhì)函數(shù)可以表示為Η(p,q)={l-2?0≤p?q＜l；0?其它。(3)式中:H由降質(zhì)函數(shù)H(p,q)所確定,轉(zhuǎn)換方法見文獻(xiàn).1.2圖像的分片模型對于圖像,從數(shù)學(xué)建模的角度可以認(rèn)為其灰度值是分片連續(xù)的,設(shè)圖像的支撐域?yàn)棣?Ωi,i=1,…,P為Ω的一個(gè)劃分,Ω=∪Ωi,Ωi∩Ωj=○/?,i≠j,則圖像g(x,y)的分片模型可表示為g(x,y)=Ρ∑i=1gi(x,y),(4)2數(shù)的擬合與穩(wěn)健估計(jì)對于一維數(shù)據(jù)處理,目前在分段連續(xù)函數(shù)的擬合、穩(wěn)健估計(jì)方面都取得了諸多進(jìn)展,其中穩(wěn)健函數(shù)構(gòu)造的主要思想對于二維圖像處理有著重要的借鑒意義。2.1目標(biāo)函數(shù)的選取設(shè)Θ=[a,b]為實(shí)軸上的一閉區(qū)間,a=x0＜x1＜?＜xn=b?v(x)∈C2(xi-1?xi)?limx→x+i-1v(j)(x)=α(j)i?limx→x-i-1v(j)(x)=β(j)i?j=1?2?i=1?2???n.對于α(j)i=β(j)i,j=0,1,2,i=1,2,…,n的情形,已經(jīng)有很多的光順工作。光順是一個(gè)工程上的概念,包括光滑和順眼兩方面的含義。光滑是指空間曲線和曲面的連續(xù)階,數(shù)學(xué)上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的曲線即為光滑的曲線;而順眼是人的主觀感覺評(píng)價(jià)。對于分段連續(xù)的情形,則考慮目標(biāo)函數(shù)J(x)=∫Θ|v(x)-vi|2dx+λ∫Θ|v″(x)|2dx.(5)目標(biāo)函數(shù)第二項(xiàng)的意義在于增加對一元函數(shù)光順約束,在分段連續(xù)函數(shù)的間斷點(diǎn)處,由(5)式得到的解與真實(shí)解的誤差較大。對于v″(x),間斷點(diǎn)處v″(x)相當(dāng)于是野值點(diǎn),而這些點(diǎn)需要保護(hù),不應(yīng)被平滑,因此借鑒穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)的思想,對第二項(xiàng)進(jìn)行修改,(5)式變?yōu)镴(x)=∫Θ|v(x)-vi|2dx+λ∫Θρ(|v″(x)|)dx.(6)2.2圖像邊緣保護(hù)從一元分段連續(xù)函數(shù)的擬合分析中發(fā)現(xiàn),對于二維圖像處理問題有著類似之處,此時(shí)需要研究圖像gxx+gyy的表現(xiàn)特性。根據(jù)(4)式,在圖像的平穩(wěn)區(qū)域gxx+gyy=0,(x,y)∈Ωi\?Ωi,(7)在圖像的邊緣部分,|gxx+gyy|的數(shù)值較大,圖像的邊緣部分需要保護(hù),不應(yīng)在處理的過程中被平滑,因此引入ρ函數(shù),對邊緣進(jìn)行保護(hù)。構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為J(g)=λ2?Ω(DHg-f)2dxdy+?Ωρ(|gxx+gyy|)dxdy.(8)3函數(shù)結(jié)構(gòu)ρ函數(shù)構(gòu)造的一個(gè)基本原則就是對圖像邊緣,即|gxx+gyy|數(shù)值較大的點(diǎn),實(shí)行保護(hù)。3.1s2-k在目前非線性擴(kuò)散濾波器構(gòu)造中有如下3種常用的ρ函數(shù)形式:ρ(s)=s2/2,(9)ρ(s)=k2/2{lg[1+(s/k)2]},(10)ρ(s)=√k4+k2s2-k2.(11)當(dāng)ρ由(9)式給出時(shí),相當(dāng)于最小二乘方法,真正起到穩(wěn)健作用的是(10)式和(11)式。3.2限制(10)式在實(shí)際應(yīng)用中,需要選取閾值k,閾值k2=w2var(|gxx+gyy|),w=2～4.4求解方法4.1情況2:不同cs2和配裝式c(8)式對應(yīng)的Euler方程為λHTDT(DHg-f)+?2ρ′(|?2g|)?2g|?2g|=0.(12)采用最速下降法求解(12)式,計(jì)算采用的迭代格式為式中c1(s)=ρ′(s)s=11+(s/k)2,迭代初值為g0由f經(jīng)過最近零插值方法得到。對于(9)式,對應(yīng)的c1(s)≡1,可見其對邊緣是沒有保護(hù)作用的;對于(11)式,其對應(yīng)的c2(s)=1√1+(s/k)2,其對邊緣有一定的保護(hù)作用,但是其變化速度比相應(yīng)的(10)式要慢,這是選用(10)式的原因。在實(shí)際計(jì)算中,利用下式的迭代格式可以獲取比(12)式好的結(jié)果gn+1=gn+h(λΗΤDΤ(f-DΗgn)-?2(c1(|?2gn|)1c2(|?gn|)?(c2(|?gn|)?gn)))?(14)式中c2(s)=1√1+s2,其實(shí)c2(s)=ρ′(s)s?ρ對應(yīng)于(11)式中k=1的情形。其意義在于對邊緣進(jìn)行保護(hù)。由于c1(s)≥0,c2(s)≥0,因此迭代格式(14)式是收斂的。算子?2(·)的計(jì)算格式如下:?2u|i,j=ui+1,j+ui-1,j+ui,j+1+ui,j-1-4ui,j.(15)采用對稱邊界條件:u0,j=u1,j,um+1,j=um,j,ui,0=ui,1,ui,n+1=ui,n.4.2參數(shù)的確定—迭代步長h的選取和參數(shù)λ的確定對于(12)式嚴(yán)格地從理論上給出其最優(yōu)的迭代步長h非常困難。在圖像離線處理的情形,取h充分小總是可以的?？紤]c1(s)為常數(shù)c的情形,基于解的穩(wěn)定性考慮,要求1-20ch>0,即h<1/(20c).由于c1(s)≤1,則要求h<0.05.通過大量實(shí)際圖像的計(jì)算,h的經(jīng)驗(yàn)值為0.025.關(guān)于參數(shù)λ的確定,λ的作用在于使得(12)式左邊兩項(xiàng)之間取得一定的平衡,使得加號(hào)兩邊的項(xiàng)大小相當(dāng)。λ=∥ΗΤDΤ(f-DΗgn)∥|?2(c1(|?2gn|)1c2(|?gn|)?(c2(|?gn|)?gn))|.(19)5檢測圖像的超分辨重構(gòu)效果對大量的圖像進(jìn)行了仿真計(jì)算,仿真結(jié)果的峰值信噪比見表1,圖1(a)(c)為待超分辨圖像經(jīng)最近零插值得到,圖1(b)(d)為對應(yīng)的超分辨重構(gòu)圖。最近鄰插值法所獲得的圖像能較好的保持原圖像的對比度,但有很強(qiáng)的“塊狀”效應(yīng);本文方法,有效地凸顯了圖像邊緣,如圖1(b)帽子的邊緣,圖1(d)中的建筑物,圖像對比度也得到了有效的增強(qiáng),且“塊狀”效應(yīng)不顯著。峰值信噪比的計(jì)算公式為PSNR=10lg2552×ml×nl∑i,j(g(i,j)-?g(i,j))2.(20)峰值信噪比數(shù)值越大,表明重構(gòu)圖像越逼近真實(shí)的高分辨率圖像。表1的計(jì)算結(jié)果表明:本文方法的計(jì)算結(jié)果與雙線性插值相比,峰值信噪比平均高出4.48dB;與最近鄰插值法相比,峰值信噪比平均高出3.09dB.因此,從峰值信噪比這一指標(biāo)來看,本文