福建省莆田市華亭第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

福建省莆田市華亭第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式＞0的解集是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B2.在坐標(biāo)平面上，不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積為（）A．3 B．6 C．6 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【分析】畫(huà)出約束條件表示的可行域，要求所表示的平面區(qū)域的面積就是圖中三角形所在區(qū)域面積，求解即可．【解答】解：不等式組所表示的平面區(qū)域就是圖中陰影部分，它所在平面區(qū)域的面積，等于圖中陰影部分面積，其面積是用邊長(zhǎng)為4大正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積即：S=16﹣8﹣1﹣4=3．故選D．3.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槊娣e為16，那么的最大值與最小值的差為（

）A．8

B．10

C．12

D．16參考答案：C略4.已知x、y滿足約束條件,則的最小值為(

)A.－15

B.－20

C.

－25

D.－30參考答案：A5.設(shè)集合,，,則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B6.拋物線x2=－32y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.(0,－8)

B.(0,8)

C.(－8,0)

D.(8,0)參考答案：A由題意，標(biāo)準(zhǔn)方程形式為x2=－2py，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,－8)，選A.7.如圖，在鐵路建設(shè)中，需要確定隧道兩端的距離（單位：百米），已測(cè)得隧道兩端點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離分別為5和8，，則之間的距離為（

）A.7

B.

C.6

D.8參考答案：A8.等比數(shù)列{an}中，已知a2=3，a7?a10=36，則a15等于（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】計(jì)算題．【分析】則有題意可得a1q=3，=36，解得q13=4，根據(jù)a15=a1q?q13，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)公比為q，則有題意可得a1q=3，=36，故有q15=36，q13=4．∴a15=a1q?q13=3×4=12，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．9.若一個(gè)棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，則該棱錐一定不是（）Ａ．三棱錐

Ｂ．四棱錐

Ｃ．五棱錐

Ｄ．六棱錐參考答案：D10.不等式的解集是

（

）A

BC

D參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.完成下列進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化：

___參考答案：34212.若，則______．參考答案：0【分析】由賦值法，代入即可求得展開(kāi)式系數(shù)和.【詳解】令得：本題正確結(jié)果：013.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+)=2，則極點(diǎn)在直線l上的射影的極坐標(biāo)是

.參考答案：極點(diǎn)在直線上的射影是直線上取得最小值的點(diǎn),把變形為,可知,當(dāng)時(shí),取得最小值2.14.已知三個(gè)數(shù)12（16），25（7），33（4），將它們按由小到大的順序排列為_(kāi)_________．參考答案：33（4）＜12（16）＜25（7考點(diǎn)：進(jìn)位制．專題：計(jì)算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；算法和程序框圖．分析：將各數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，從而即可比較大?。獯穑航猓骸邔⒏鲾?shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)：12（16）=1×161+2×160=18，25（7）=2×71+5×70=5+14=19，33（4）=3×41+3×40=13，∴33（4）＜12（16）＜25（7）．故答案為：33（4）＜12（16）＜25（7）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了其他進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制的方法是依次累加各位數(shù)字上的數(shù)×該數(shù)位的權(quán)重，屬于基本知識(shí)的考查．15.若曲線在點(diǎn)P處的切線平行于直線，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____.參考答案：（1，0）試題分析：設(shè)點(diǎn)，則，即.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.16.已知點(diǎn)，是橢圓的動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)恰在橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)的距離最小，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____________．參考答案：17.已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

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．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）若都是正實(shí)數(shù)，且求證：與中至少有一個(gè)成立.參考答案：證明：假設(shè)和都不成立，則有和同時(shí)成立，因?yàn)榍遥郧覂墒较嗉?，?所以，這與已知條件矛盾.因此和中至少有一個(gè)成立.19.如圖，已知平面BCC1B1是圓柱的軸截面（經(jīng)過(guò)圓柱的軸截面）BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線CC1的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA1=4（1）求證：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1﹣AE﹣O的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）依題意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能證明B1O⊥平面AEO．（2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【解答】證明：（1）依題意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，因?yàn)锳B=AC=AA1=4，則A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）=（﹣2，2，﹣4），=（2，﹣2，﹣2），=（2，2，0），（3分）?=（﹣2）×2+2×（﹣2）+（﹣4）×（﹣2）=0，∴⊥，∴B1O⊥EO，=（﹣2）×2+2×2+（﹣4）×0=0，∴⊥，∴B1O⊥AO，∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO，∴B1O⊥平面AEO．（6分）（2）由（1）知，平面AEO的法向量為=（﹣2，2，﹣4），（7分）設(shè)平面B1AE的法向量為=（x，y，z），，則，令x=2，則=（2，2，﹣2），（10分）∴cos＜＞===，∴二面角B1﹣AE﹣F的余弦值為．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．20.某小區(qū)為解決居民停車難的問(wèn)題，經(jīng)業(yè)主委員會(huì)協(xié)調(diào)，現(xiàn)決定將某閑置區(qū)域改建為停車場(chǎng).如圖，已知該閑置區(qū)域是一邊靠道路且邊界近似于拋物線的區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃改建為一個(gè)三角形形狀的停車場(chǎng)，要求三角形的一邊為原有道路，另外兩條邊均與拋物線相切.（1）設(shè)AB，AC分別與拋物線相切于點(diǎn)，試用P，Q的橫坐標(biāo)表示停車場(chǎng)的面積；（2）請(qǐng)問(wèn)如何設(shè)計(jì)，既能充分利用該閑置區(qū)域，又對(duì)周邊綠化影響最??？

參考答案：（1）因?yàn)榉謩e與拋物線相切于不妨設(shè)<0<則直線：直線：可得所以停車場(chǎng)的面積=其中（2）=

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立令，則（），，令當(dāng)<<時(shí)，<,單調(diào)遞減；當(dāng)1>>時(shí)，>,單調(diào)遞增所以，所以當(dāng)分別與閑置區(qū)的拋物線的邊界相切于點(diǎn)時(shí)，既能充分利用該閑置區(qū)域，又對(duì)周邊綠化影響最小21.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)．（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；(6分)（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C-PB-A的余弦值．（6分）參考答案：(1)證明由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.（5分）(2)解方法一過(guò)C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CB、CA、CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳B＝2，AC＝1，所以BC＝.因?yàn)镻A＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故C＝(，0,0)，C＝(0,1,1)．設(shè)平面BCP的法向量為n1＝(x，y，z)，高考資源網(wǎng)則,所以不妨令y＝1，則n1＝(0,1，－1)．因?yàn)锳＝(0,0,1)，A＝(，－1,0)，設(shè)平面ABP的法向量為n2＝(x，y，z)，則所以不妨令x＝1，則于是所以由題意可知二面角C-PB-A的余弦值為.(10分)方法二過(guò)C作CM⊥AB于M，因?yàn)镻A⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM，又PA∩AB＝A，故CM⊥平面PAB.過(guò)M作MN⊥PB于N，連接NC，由三垂線定理得CN⊥PB，所以∠CNM為二面角C-PB-A的平面角．在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝，在R t△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.因?yàn)镽t△BNM∽R(shí)t△BAP，所以＝，故MN＝.又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.所以二面角C-PB-A的余弦值為.

22.思南縣第九屆中小學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年6月13日在思南中學(xué)舉行，組委會(huì)在思南中學(xué)招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高如圖所示的莖葉圖（單位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”.男

女

91577899

981612458986501723456

74211801

119

（1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中共抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？（2）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】(1)由題意及莖葉圖,有“高個(gè)子”12人,“非高個(gè)子”18人,利用用分層抽樣的方法,每個(gè)人被抽中的概率是,利用對(duì)立事件即可（2）由于從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者,用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù),利用離散型隨機(jī)變量的定義及題意可知的取值為0,1,2,3,利用古典概型的概率公式求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)事件的概率,有期望的公式求出即可【詳解】（1）根據(jù)莖葉圖,有“高個(gè)子”12