學(xué)案7-函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

1.函數(shù)與方程關(guān)系(會借助圖象處理相關(guān)根個數(shù)問題).2.數(shù)學(xué)建模(把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題).3.能熟練處理相關(guān)函數(shù)零點(diǎn)問題并能用二分法求相應(yīng)方程近似解.4.數(shù)形結(jié)合思想在解答數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用.學(xué)案7函數(shù)與方程及函數(shù)實(shí)際應(yīng)用

第1頁1.(·福建)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)圖象關(guān)于直線對稱.據(jù)此可推測，對任意非零實(shí)數(shù)a,b,c,m,n,p關(guān)于x方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0解集不可能是（）A.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}解析本題用特例法處理簡練快速,對方程m[f(x)]2+

nf(x)+p=0中m,n,p分別賦值求出f(x)代入f(x)=0求出檢驗(yàn)即得.D第2頁2.(·安徽)若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)-g(x)=ex，則有（）A.f(2)＜f(3)＜g(0)B.g(0)＜f(3)＜f(2)C.f(2)＜g(0)＜f(3)D.g(0)＜f(2)＜f(3)解析由題意得f(-x)-g(-x)=e-x，又f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù),所以上式可化為-f(x)-g(x)=e-x,與已知f(x)-g(x)=ex聯(lián)立得所以f(x)在定義域R上為增函數(shù),所以0=f(0)＜f(2)＜f(3).又g(0)=-1＜0,所以g(0)＜f(2)＜f(3）.D第3頁3.(·北京)已知函數(shù)若f(x)=2,則x=_____.解析①

②log32第4頁4.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x＜0時,f(x)=-lg(-x)+x+3,已知f(x)=0有一個根為x0，且x0∈(n,n+1),n∈N*,則n值為____.解析設(shè)x＞0,則-x＜0,所以f(-x)=-lgx-x+3,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),則x＞0時,

f(x)=lgx+x-3,又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),由f(2)=lg2-1＜0,f(3)=lg3＞0,所以x0∈(2,3)，則n=2.2第5頁題型一函數(shù)零點(diǎn)【例1】(·山東)已知定義在R上奇函數(shù)f(x)，且滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m＞0)在區(qū)間[-8,8]上有四個不一樣根

x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=_____.解析因?yàn)槎x在R上奇函數(shù),滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-2對稱且

f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函數(shù)是以8為周期周期函數(shù),又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[-2，0]上也是增函數(shù).第6頁如圖所表示，那么方程f(x)=m(m＞0)在區(qū)間[-8,8]上有四個不一樣根x1,x2,x3,x4,不妨設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，由對稱性知，x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.答案-8第7頁【探究拓展】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間關(guān)系，能夠求解相關(guān)一元二次方程根分布問題,也可利用零點(diǎn)存在性定理來確定,即判斷某個區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值符號來斷定零點(diǎn)存在及零點(diǎn)個數(shù).數(shù)形結(jié)合也是處理這一類型問題好方法.第8頁變式訓(xùn)練1設(shè)定義域?yàn)镽函數(shù)若關(guān)于x方程f2(x)+af(x)+b=0有三個不一樣實(shí)根x1,

x2,x3,則值為_____.解析由圖象可知若方程f2(x)+af(x)+b=0有三個不一樣實(shí)根只須f(x)=1,所以必有一根為2,另兩根是方程根,這兩根分別是1和3.14第9頁題型二函數(shù)思想應(yīng)用【例2】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,(1)若a>b>c,且a+b+c=0,試證實(shí)f(x)=0必有兩個實(shí)根;(2)若對x1，x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2),試證實(shí)方程

f(x)=[f(x1)+f(x2)]有兩不等實(shí)根,且必有一個實(shí)根屬于(x1,x2).證實(shí)(1)若a＞b＞c,a+b+c=0,則a＞0,c＜0,且b=-(a+c),所以方程f(x)=0可化為:

ax2-(a+c)x+c=0,即a(x-1)(x-)=0,則f(x)=0有兩根x1=1,x2=第10頁(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],由題意可知:g(x)是開口向上二次函數(shù),又g(x1)=[f(x1)-f(x2)],g(x2)=[f(x2)-f(x1)],且x1<x2,f(x1)≠f(x2),所以g(x1)g(x2)=[f(x1)-f(x2)]2<0,即函數(shù)g(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)有零點(diǎn),則方程g(x)=0在有一實(shí)根屬于(x1,x2),由二次函數(shù)性質(zhì)可知必有另一實(shí)根.第11頁【探究拓展】二次函數(shù)問題通常利用二次方程、二次不等式之間關(guān)系來處理,從而使方程問題函數(shù)化,函數(shù)問題方程化，表達(dá)了函數(shù)與方程思想.變式訓(xùn)練2已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.第12頁解當(dāng)a=0時，f(x)=2x-3,其零點(diǎn)不在區(qū)間[-1，1]上.當(dāng)a≠0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]分為兩種情況：①函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上只有一個零點(diǎn)，此時第13頁②函數(shù)在區(qū)間［-1，1］上有兩個零點(diǎn)，此時總而言之，假如函數(shù)在區(qū)間［-1,1］上有零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a取值范圍為(-∞,]∪[1,+∞).第14頁題型三函數(shù)與方程綜合應(yīng)用【例3】(·廣東)已知二次函數(shù)y=g(x)導(dǎo)函數(shù)圖象與直線y=2x平行,且y=g(x)在x=-1處取得極小值m-1(m≠0).設(shè)函數(shù)(1)若曲線y=f(x)上點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)距離最小值為,求m值;(2)k(k∈R)怎樣取值時,函數(shù)y=f(x)-kx存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).第15頁解(1)設(shè)g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，則g′(x)=2ax+b;又y=g′(x)圖象與直線y=2x平行,∴2a=2,a=1,又g(x)在x=-1處取得極小值,∴g′(-1)=0,b=2.∴g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,∴c=m;設(shè)P(x0,y0),第16頁(2)由y=f(x)-kx=(1-k)x++2=0,得(1-k)x2+2x+m=0.(*)當(dāng)k=1時,方程(*)有一個解故函數(shù)y=f(x)-kx有一個零點(diǎn)當(dāng)k≠1時,方程(*)有二解Δ=4-4m(1-k)>0,第17頁當(dāng)k≠1時,方程(*)有一解Δ=4-4m(1-k)=0,【探究拓展】此題考查了函數(shù)零點(diǎn)、最值、一元二次方程等基礎(chǔ)知識，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)方法，表達(dá)了函數(shù)與方程，分類與整合數(shù)學(xué)思想方法.第18頁變式訓(xùn)練3已知定義域?yàn)镽函數(shù)f(x)滿足

f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(2)設(shè)有且僅有一個實(shí)根x0,使得f(x0)=x0,求函數(shù)f(x)解析表示式.解(1)因?yàn)閷θ我鈞∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2.又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1,若f(0)=a,則f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.第19頁(2)因?yàn)閷θ我鈞∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因?yàn)橛星抑挥幸粋€實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)=x0.所以對任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-+x0=x0.又因?yàn)閒(x0)=x0,所以x0-=0,故x0=0或x0=1,若x0=0,則f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x.但方程x2-x=x有兩個不相同實(shí)根,與題設(shè)條件矛盾.故x0≠0.若x0=1,則有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1.易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件.綜上,所求函數(shù)f(x)=x2-x+1(x∈R).

第20頁題型四函數(shù)實(shí)際應(yīng)用【例4】(·山東)兩縣城A和B相距20km,現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠,其對城市影響度與所選地點(diǎn)到城市距離相關(guān),對城A和城B總影響度為對城A與對城

B影響之和,記C點(diǎn)到城A距離為xkm,建在C處垃圾處理廠對城A和城B總影響度為y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明:垃圾處理廠對城A影響度與所選地點(diǎn)到城A距離平方成反比，百分比系數(shù)為4;對城B影響度與所選地點(diǎn)到城B距離平方成反比，百分比系數(shù)為k,當(dāng)垃圾處理廠建在弧中點(diǎn)時，對城A和城B總影響度為0.065.

第21頁(1)將y表示成x函數(shù);(2)討論(1)中函數(shù)單調(diào)性,并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處垃圾處理廠對城A和城B總影響度最小?若存在,求出該點(diǎn)到城A距離;若不存在,說明理由.解(1)如圖所表示,由題意知AC⊥

BC,即∠ACB=90°,

AC=xkm，BC2=400-x2,其中當(dāng)時,y=0.065,所以k=9.所以y表示成x函數(shù)為第22頁18x4=8(400-x2)2,所以x2=160,x=,當(dāng)0＜x＜時,18x4＜8(400-x2)2,即y′＜0,所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)＜x＜20時,18x4＞8(400-x2)2,即y′＞0,所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).第23頁所以當(dāng)x=時,即當(dāng)C點(diǎn)到城A距離為時,【探究拓展】本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用,利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式能力和利用換元法和基本不等式研究函數(shù)單調(diào)性等問題.第24頁變式訓(xùn)練4(·湖南)某地建一座橋,兩端橋墩已建好,這兩墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間橋面和橋墩,經(jīng)預(yù)測,一個橋墩工程費(fèi)用為256萬元,距離為x米相鄰兩墩之間橋面工程費(fèi)用為(2+

)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,全部橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其它原因,記余下工程費(fèi)用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)m=640米時,需新建多少個橋墩才能使y最小?第25頁解(1)設(shè)需要新建n個橋墩,(n+1)x=m,第26頁令f′(x)=0,得所以x=64.當(dāng)0＜x＜64時，f′(x)＜0,f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)64＜x＜640時,f′(x)＞0,f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù),所以f(x)在x=64處取得最小值,此時,故需新建9個橋墩才能使y最小.第27頁【考題再現(xiàn)】(·江西)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-x2+6x-a.(1)對于任意實(shí)數(shù)x,f′(x)≥m恒成立,求m最大值;(2)若方程f(x)=0有且僅有一個實(shí)根,求a取值范圍.【解題示范】解(1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),2分因?yàn)閤∈(-∞,+∞),f′(x)≥m,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,4分所以Δ=81-12(6-m)≤0,得m≤即m最大值為6分第28頁(2)因?yàn)楫?dāng)x＜1時,f′(x)＞0;當(dāng)1＜x＜2時,f′(x)＜0;當(dāng)x＞2時,f′(x)＞0;所以當(dāng)x=1時,f(x)取極大值f(1)=-a;9分當(dāng)x=2時,f(x)取極小值f(2)=2-a;10分故當(dāng)f(2)＞0或f(1)＜0時,方程f(x)=0僅有一個實(shí)根.解得a＜2或a＞12分第29頁1.若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上滿足f(a)·f(b)＜0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上,最少有一個零點(diǎn).但還應(yīng)注意當(dāng)曲線與x軸相切時,函數(shù)存在零點(diǎn)但不滿足該點(diǎn)附近左右兩點(diǎn)函數(shù)值積小于零；切記.2.在處理數(shù)學(xué)建模相關(guān)問題時，一定要搞清題意，分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系;將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言,再變換成符號語言,進(jìn)而依據(jù)題意列出相應(yīng)等式求解,將用數(shù)學(xué)方法得到結(jié)論還原為實(shí)際問題，切記所求結(jié)論要符合客觀實(shí)際.第30頁3.常見主要數(shù)學(xué)模型有：①二次函數(shù)處理相關(guān)最值問題；②分式函數(shù)模型：y=x+(x≠0)給定區(qū)間上結(jié)合單調(diào)性處理最值問題;③應(yīng)用y=N(H+p)x模型處理相關(guān)增加率及利息等問題.4.在處理函數(shù)與方程相關(guān)問題時，經(jīng)常利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解答.第31頁一、選擇題1.設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a＞0,a≠1)圖象過點(diǎn)(2,1),其反函數(shù)圖象過點(diǎn)(2,8),則a+b等于（）A.6B.5C.4D.3解析函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a＞0,a≠1)圖象過點(diǎn)(2,1),其反函數(shù)圖象過點(diǎn)(2,8),則原函數(shù)圖象過點(diǎn)(8,2).

a=3或a=-2(舍),b=1.∴a+b=4.C第32頁2.客車從甲地以60km/h速度行駛1小時抵達(dá)乙地，在乙地停留了半小時，然后以80km/h速度行駛1小時抵達(dá)丙地.以下描述客車從甲地出發(fā),經(jīng)過乙地,最終抵達(dá)丙地所經(jīng)過旅程s與時間t之間關(guān)系圖象中,正確是（）第33頁第34頁解析由題意可知客車在整個過程中旅程函數(shù)s(t)

表示式為:對比各選項(xiàng)曲線知應(yīng)選B.答案B第35頁3.(·遼寧)設(shè)f(x)是連續(xù)偶函數(shù),且當(dāng)x＞0時是單調(diào)函數(shù),則滿足全部x之和為()A.-3B.3C.-8D.8解析因?yàn)閒(x)是連續(xù)偶函數(shù),且x＞0時是單調(diào)函數(shù),由偶函數(shù)性質(zhì)可知若只有兩種情況:①②由①知x2+3x-3=0,故兩根之和為x1+x2=-3.由②知x2+5x+3=0，故其兩根之和為x3+x4=-5.所以滿足條件全部x之和為-8.C第36頁4.若函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]時,f(x)=|x|,則函數(shù)F(x)=f(x)-|log5|x||零點(diǎn)個數(shù)是（）A.5B.6C.10D.12解析因f(x+2)=f(x),所以f(x)是以2為周期函數(shù),且x∈[-1,1]時,f(x)=|x|,在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)

f(x)及函數(shù)y=|log5|x||圖象，則兩圖象交點(diǎn)個數(shù),即為函數(shù)F(x)=f(x)-|log5|x||零點(diǎn)個數(shù).C第37頁5.(·陜西)定義在R上函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,則f(-3)等于()A.2B.3C.6D.9解析

f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1=f(0)+f(1),∴f(0)=0.

f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1=f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0.

f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1=f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2.

f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1=f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6.C第38頁6.已知圓C:x2+y2=4(x≥0，y≥0)與函數(shù)f(x)=log2x，

g(x)=2x圖象分別交于A(x1,y1),B(x2,y2),則等于()A.16B.8C.4D.2解析由題意可知:其函數(shù)圖象如右圖所表示，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)互為反函數(shù)所以其圖象關(guān)于直線l:x-y=0對稱，因交點(diǎn)為

A(x1,y1),B(x2,y2),所以x2=y1.即C第39頁二、填空題7.已知函數(shù)且f(2)=f(0),f(3)

=9,則關(guān)于x方程f(x)=x解個數(shù)為_____.解析由f(2)=f(0),得b=-4,再由f(3)=9,得c=3,∴當(dāng)x≥0時,f(x)=x,即2x2-5x+3=0,解得x=或x=1;當(dāng)x＜0時,3=x方程無解.2第40頁8.關(guān)于x方程|x2-4x+3|-a=x有3個不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a取值范圍是_______.解析因原方程可整理為|(x-2)2-1|=x+a，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)=|(x-2)2-1|及y=x+a圖象，由圖象可知：

①當(dāng)a=-1時，原方程有3個不等實(shí)數(shù)根；②消去y，令Δ=0,得綜上可知:a=-1或第41頁9.某地域預(yù)計(jì)年前x個月內(nèi)對某種商品需求總量f(x)(萬件)與月份x近似關(guān)系式是f(x)=

x(x+1)·(19-x)(x∈N*,1≤x≤12),若年第

x月份需求量g(x