7.1-Navier-Stokes方程的解省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

高等流體力學(xué)7Navier-Stokes方程解(第1部分)

第1頁7Navier-Stokes方程解因?yàn)镹avier-Stokes方程含有非線性項(xiàng)，而數(shù)學(xué)上至今還未找到求解非線性偏微分方程普遍方法，所以Navier-Stokes方程無普通準(zhǔn)確解法。不過，對一些物理現(xiàn)象簡單流體流動(dòng)問題，能夠取得Navier-Stokes方程準(zhǔn)確解。第2頁7Navier-Stokes方程解非線性是求解Navier-Stokes方程主要困難所在，據(jù)此，能夠?qū)⑶驨avier-Stokes方程準(zhǔn)確解問題分成兩大類：第3頁7Navier-Stokes方程解①依據(jù)流動(dòng)問題性質(zhì)，能夠使Navier-Stokes方程中非線性項(xiàng)全部消失，控制流體流動(dòng)Navier-Stokes方程變成線性方程，于是便能夠求出這一線性方程準(zhǔn)確解，這類問題通常是不可壓縮流體流動(dòng)，其流線形狀事先易于假定；第4頁7Navier-Stokes方程解②依據(jù)流動(dòng)問題性質(zhì)，即使保留有非線性項(xiàng)，但它形式簡單，Navier-Stokes方程成為簡單非線性偏微分方程，從而求得其準(zhǔn)確解。

(比如：經(jīng)過坐標(biāo)相同變換方法，將簡單非線性偏微分方程化為常微分方程，然后求得其準(zhǔn)確解。)第5頁7Navier-Stokes方程解自1887年Navier-Stokes方程發(fā)表后，人們在很長一段時(shí)間中一直探索著Navier-Stokes方程準(zhǔn)確解。然而，從20世紀(jì)50年代起，人們就不怎么熱心于尋找Navier-Stokes方程準(zhǔn)確解了。主要原因有三個(gè)：

第6頁7Navier-Stokes方程解①Navier-Stokes方程存在固有非線性問題，使得數(shù)學(xué)求解十分困難；②自1904年P(guān)randtl提出邊界層理論以后，許多粘性流體流動(dòng)問題能夠采取近似理論來處理；③伴隨大型電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)和不停升級，使得Navier-Stokes方程數(shù)值求解成為可能。第7頁7Navier-Stokes方程解討論Navier-Stokes方程準(zhǔn)確求解，目標(biāo)有：①能使學(xué)習(xí)者對流體力學(xué)發(fā)展歷程中若干經(jīng)典解法有所了解，以利于開闊處理流動(dòng)問題思緒；②能使學(xué)習(xí)者對一些粘性流體流動(dòng)問題及其基本特征有所了解，或許有利于求解較為復(fù)雜流動(dòng)問題；③有時(shí)能夠用這些準(zhǔn)確解來檢驗(yàn)?zāi)撤N近似解法準(zhǔn)確性與適用性。

第8頁7Navier-Stokes方程解Navier-Stokes方程準(zhǔn)確解僅限于層流問題，湍流問題不可能有準(zhǔn)確解。第9頁7.1平行流動(dòng)

不可壓縮流體平行流動(dòng)是最簡單一類流動(dòng)，它只有一個(gè)不為零速度分量，全部流體質(zhì)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。在直角坐標(biāo)系中，假如把流體運(yùn)動(dòng)方向取作x軸，那么，由連續(xù)性方程得即：運(yùn)動(dòng)速度u與坐標(biāo)軸x無關(guān)，

第10頁7.1平行流動(dòng)

為方便起見，忽略質(zhì)量力，X＝Y(jié)＝Z＝0，將此代入N-S方程y、z方向項(xiàng)：

得到

第11頁7.1平行流動(dòng)

可見，壓強(qiáng)與坐標(biāo)軸y、z無關(guān)，只是坐標(biāo)軸x函數(shù)

將上述式子代入N-S方程x方向項(xiàng)，得

這就是不可壓縮流體平行流動(dòng)線形二階偏微分方程。

第12頁7.1.1Couette剪切流

設(shè)有兩無限大平行放置平板，兩板相距h。下板固定，上板以向右速度U作勻速直線運(yùn)動(dòng)，以下列圖所表示。取x軸與下板重合，y軸垂直于板面，z軸則垂直于紙面向外。oUzxyhμ第13頁7.1.1Couette剪切流

按不可壓縮流體定常平行流動(dòng)考慮。因?yàn)槠桨鍩o限寬，所以流體流動(dòng)速度在z方向上改變率為零，即，，N-S方程x方向項(xiàng)簡化為

對應(yīng)邊界條件為

y＝0，u＝0

y＝h，u＝U第14頁7.1.1Couette剪切流

方程左側(cè)項(xiàng)是坐標(biāo)x函數(shù)，而右側(cè)項(xiàng)是坐標(biāo)y函數(shù)，方程成立條件就是

常數(shù)有

積分，得

第15頁7.1.1Couette剪切流

由邊界條件y＝0，u＝0，得C2＝0

y＝h，u＝U，得所以

無量綱速度式中：第16頁7.1.1Couette剪切流

流體經(jīng)過某斷面單寬流量為

由此能夠看出，上述流速分布由dp/dx＝0時(shí)流速分布及U＝0,dp/dx≠0時(shí)流速分布疊加而成。下列圖給出了不一樣壓強(qiáng)梯度(圖中用不一樣B表示)下流速分布。

第17頁7.1.1Couette剪切流

-0.200.20.40.60.81.01.21.4-0.40.20.40.60.81.0B＝-3-2-10123u/Uy/hCouette剪切流速度分布第18頁7.1.1Couette剪切流

①當(dāng)B＝0即時(shí)，為零壓強(qiáng)梯度下平行平板Couette剪切流，流速呈線性分布；

②當(dāng)B>0即時(shí)流動(dòng)稱為順壓強(qiáng)梯度流動(dòng)，壓強(qiáng)沿流動(dòng)方向逐步降低，順壓梯度流動(dòng)u>0；

③當(dāng)B<0即時(shí)流動(dòng)稱為逆壓強(qiáng)梯度流動(dòng)，逆壓強(qiáng)梯度流動(dòng)有可能出現(xiàn)回流；第19頁7.1.1Couette剪切流

④當(dāng)B＝-1即時(shí)逆壓梯度流動(dòng)是不產(chǎn)生回流極限情況；

⑤當(dāng)B<-1即時(shí)逆壓梯度流動(dòng)開始產(chǎn)生回流；

⑥當(dāng)B<-3即時(shí)，Q＝0，逆壓梯度對流動(dòng)回流作用與上板拖動(dòng)形成流量相平衡。

第20頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

Poiseuille流動(dòng)是指順壓梯度推進(jìn)槽內(nèi)、管內(nèi)不可壓縮粘性流體流動(dòng)。

(1)不可壓縮粘性流體經(jīng)過槽內(nèi)定常流動(dòng)

xy2bu

(y)

u

max

oPoiseuille流動(dòng)第21頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(1)不可壓縮粘性流體經(jīng)過槽內(nèi)定常流動(dòng)

上圖為不可壓縮粘性流體經(jīng)過二維槽內(nèi)定常流動(dòng)，z方向?yàn)闊o窮長。流動(dòng)基本方程為對應(yīng)邊界條件為

y＝b，u＝0

y＝-b，u＝0積分，得第22頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(1)不可壓縮粘性流體經(jīng)過槽內(nèi)定常流動(dòng)

由邊界條件y＝b，u＝0，得

y＝-b，u＝0，得解得

C1＝0；所以第23頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(1)不可壓縮粘性流體經(jīng)過槽內(nèi)定常流動(dòng)

流速分布為拋物線型。最大流速出現(xiàn)在兩板中心處(y＝0)單位寬度槽內(nèi)流量為

斷面平均流速為

第24頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

管道內(nèi)部流動(dòng)是N-S方程準(zhǔn)確解中最具實(shí)際意義流動(dòng)之一。因?yàn)檎承粤黧w在管道入口一段距離內(nèi)存在著邊界層發(fā)展過程，流速在剖面上分布是沿程改變，下面只研究入口段以后充分發(fā)展了管內(nèi)層流流動(dòng)。

充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)u

(r)

xrr0

o第25頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

采取圓柱坐標(biāo)系(r,θ,x)，ur＝0，uθ＝0，只有x方向流速ux＝u(r)不為零。

由連續(xù)性方程

可得

第26頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

流動(dòng)N-S方程可寫為

由上述可知，壓強(qiáng)p只與x坐標(biāo)相關(guān)而與(r,θ)坐標(biāo)無關(guān)，p＝p(x)第27頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

這么便得

等式左側(cè)項(xiàng)是坐標(biāo)x函數(shù)，而右側(cè)項(xiàng)是坐標(biāo)r函數(shù)，由此可見dp/dx只能是一常數(shù)。第28頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

積分，得

在圓管軸心處(r＝0)，因?yàn)閐u/dr≠

，所以r·du/dr＝0，從而C1＝0。再積分，得利用邊界條件：r＝r0，u＝0，得

第29頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

流速分布公式為

最大流速出現(xiàn)在管路中心處(r＝0)管內(nèi)流量為

第30頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

斷面平均流速為

這就是不可壓縮粘性流體圓管內(nèi)充分發(fā)展層流N-S方程準(zhǔn)確解。它只適合用于圓管層流，即Re＝Vd/ν

<

2320。

第31頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

考慮水平放置等徑直圓管，Bernoulli方程可表示成沿程水頭損失為而

第32頁7.1.2Poiseuille流動(dòng)

(2)充分發(fā)展圓管層流流動(dòng)

所以或其中：第33頁7.2運(yùn)動(dòng)平板引發(fā)流動(dòng)

7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

設(shè)有一無界(無限長、無限寬)平板，其上部無限空間充滿靜止不可壓縮粘性流體，初始時(shí)刻(t＝0)平板與流體都處于靜止?fàn)顟B(tài)。某瞬時(shí)平板由靜止突然加速，在本身平面內(nèi)以速度U0作等速運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)平板上部流體運(yùn)動(dòng)。此流動(dòng)問題由斯托克斯(Stokes)于1851年提出并給出解答，所以稱為斯托克斯第一問題。第34頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

在平板起動(dòng)瞬時(shí)，只有粘附在平板上流體質(zhì)點(diǎn)取得速度U0而與平板一起運(yùn)動(dòng)，流場其余部分仍處于靜止?fàn)顟B(tài)。伴隨時(shí)間增加，平板上方流體被逐層牽連而產(chǎn)生平行于無限大平板運(yùn)動(dòng)。xoyU0突然加速平板引發(fā)流動(dòng)xoyU0t1t2t3t4t1<

t2<

t3<

t4平板附近流動(dòng)第35頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

突然加速平板引發(fā)流動(dòng)能夠看成平面二維流動(dòng)：uz＝0，

/

z＝0；和平行流動(dòng)：uy＝uz＝0。由平行流動(dòng)連續(xù)性方程，得

所以

ux＝u(y，t)因?yàn)槠桨鍨闊o限大，在x方向?yàn)闊o限長，所以能夠認(rèn)為流動(dòng)參數(shù)沿x方向不變，即

/

x＝0。

第36頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

對于壓強(qiáng)p，有

而利用y方向N-S方程，有

由此可知，在整個(gè)流動(dòng)區(qū)域，壓強(qiáng)p處處相等，為一常數(shù)。

p＝p

＝Const.第37頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

x方向N-S方程可表示為

這就是突然加速平板引發(fā)非定常流動(dòng)基本方程，N-S方程中非線性項(xiàng)全部消失，控制流體流動(dòng)方程變成線性方程。該方程定解條件為初始條件：t＝0，u＝0(

y≧0)

邊界條件：y＝0，u＝U0

(

t

>0)

y

，u＝0(

t

>0)

第38頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

上述方程與有兩個(gè)自變量(y，t)經(jīng)典熱傳導(dǎo)方程形式相同，數(shù)學(xué)上有不少方法能夠用來求解這類方程，現(xiàn)采取相同變換法進(jìn)行求解。

引入無量綱自變量(相同變量)和無量綱速度

由此可得

第39頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

x方向N-S方程變?yōu)榛蛘哌@么，偏微分方程變成了常微分方程。上述方程邊界條件：

＝0，f(

)＝1；

，f(

)＝0。

第40頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

積分上述常微分方程

再進(jìn)行定積分利用邊界條件：

＝0，f(

)＝1；

，f(

)＝0，得第41頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

所以得到無量綱速度函數(shù)或者上述式子中積分之比稱為誤差函數(shù)(errorfunction)，用erf(

)表示。

第42頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

因?yàn)榇嬖谝韵聵O限所以流速分布可表示成1-erf(

)稱為賠償誤差函數(shù)，用erfc(

)表示。第43頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

下列圖為無量綱速度分布曲線。左圖為u/U0隨

改變一條曲線；右圖繪出了u/U0隨y改變關(guān)系曲線，其在各個(gè)時(shí)刻速度分布曲線不一樣，是一簇曲線。由此可見，經(jīng)過相同變量把一簇曲線變成了一條曲線。

第44頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

突然加速平板引發(fā)流動(dòng)無量綱速度分布u/U000.20.40.60.81.00.40.81.21.62.02.42.83.23.64.0

t=

11/21/41/8yu/U000.20.40.60.81.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

第45頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

分析右圖可知，在距平板一定距離某固定點(diǎn)上，流體速度是隨時(shí)間增加而增加，當(dāng)初間t

時(shí)，流體才和平板有相同速度U0；在某固定時(shí)刻，流速是隨距平板距離y呈誤差函數(shù)規(guī)律而衰減，在距板面無窮遠(yuǎn)處(y

)流速降為零。從左圖中能夠看出，

愈大，u/U0愈小，當(dāng)

＝2時(shí)，u/U0≈0，即u≈0。第46頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

所以，能夠認(rèn)為粘性作用顯著區(qū)域僅限于板面附近，定量地認(rèn)為，流體粘性作用僅局限在

＝2邊界限以內(nèi)，由此可得粘性影響邊界層厚度y

粘性影響邊界層厚度與運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)和時(shí)間之和平方根成正比。這一結(jié)果也表明，離開平板以外地方，流體幾乎不動(dòng)了。

第47頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

平板璧面上切應(yīng)力

因?yàn)?/p>

第48頁7.2.1突然加速平板引發(fā)流動(dòng)

平板面上局部摩擦阻力系數(shù)(當(dāng)?shù)刈枇ο禂?shù))Cf為

若令

則有

由此可見，阻力系數(shù)Cf與雷諾數(shù)Re平方根成反比。第49頁7.2.2周期性振動(dòng)平板引發(fā)流動(dòng)

設(shè)有一無限平板在本身所在平面內(nèi)作簡諧振動(dòng)，經(jīng)過粘性而帶動(dòng)周圍原來處于靜止流體形成流動(dòng)，也稱為斯托克斯第二問題。振動(dòng)平板引發(fā)流動(dòng)xoyU0cosωt第50頁7.2.2周期性振動(dòng)平板引發(fā)流動(dòng)

如上圖所表示，x軸位于平板上，y軸與平板壁面垂直。振動(dòng)平板引發(fā)流動(dòng)一樣能夠看成平面二維流動(dòng)：uz＝0，

/

z＝0